1、1专题强化练十一 空间点、线、面的位置关系一、选择题1(2018浙江卷)已知平面 ，直线 m， n 满足 m ， n ，则“ m n”是“m ”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：若 m ， n ， m n，由线面平行的判定定理知 m .若m ， m ， n ，不一定推出 m n，直线 m 与 n 可能异面故“ m n”是“ m ”的充分不必要条件答案：A2(2017全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为棱 CD 的中点，则( )A A1E DC1 B A1E BDC A1E BC1 D A1E AC解析：如图，由题设知， A1
2、B1平面 BCC1B1，从而 A1B1 BC1.又 B1C BC1，且 A1B1 B1C B1，所以 BC1平面 A1B1CD，又 A1E平面 A1B1CD，所以 A1E BC1.答案：C3(2018河南开封一模)在空间中， a， b 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )A若 a ， b ，则 a bB若 a ， b ， ，则 a bC若 a ， a b，则 b D若 ， a ，则 a 解析：对于 A，若 a ， b ，则 a， b 可能平行，可能相交，可能异面，故 A 是假命题；对于 B，设 m， a， b 均与 m 平行，则 a b，故 B 是假命题；对于
3、 C， b 或 b 在平面 内，故 C 是假命题；对于 D，若 ， a ，则 a 与 没有公共点，则 a ，故 D 是真命题答案：D4(2018全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为棱 CC1的中点，则异面直线 AE2与 CD 所成角的正切值为( )A. B. C. D.22 32 52 72解析：因为 CD AB，所以 BAE 即为异面直线 AE 与 CD 所成的角设正方体的棱长为 2，则 BE .5因为 AB平面 BB1C1C，所以 AB BE.在 Rt ABE 中，tan BAE .BEAB 52所以异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 .52答案：C5(2018长
4、沙雅礼中学联考)对于四面体 ABCD，有以下命题：若 AB AC AD，则AB， AC， AD 与底面所成的角相等；若 AB CD， AC BD，则点 A 在底面 BCD 内的射影是BCD 的内心；四面体 ABCD 的四个面中最多有四个直角三角形；若四面体 ABCD 的 6条棱长都为 1，则它的内切球的表面积为 .其中正确的命题序号是( ) 6A B C D解析：正确，若 AB AC AD，则 AB， AC， AD 在底面的射影相等，即与底面所成角相等；不正确，如图 1，点 A 在平面 BCD 的射影为点 O，连接 BO， CO，可得BO CD， CO BD，所以点 O 是 BCD 的垂心；正
5、确，如图 2，若 AB平面 BCD， BCD90，则四面体 ABCD 的四个面均为直角三角形；3正确，设正四面体的内切球的半径为 r，棱长为 1，高为 ，根据等体积公式 S63 13 4Sr，解得 r ，那么内切球的表面积 S 4 r2 .63 13 612 6故正确的命题是.答案：D二、填空题6.如图，在空间四边形 ABCD 中，点 M AB，点 N AD，若 ，则直线 MN 与平面AMMB ANNDBDC 的位置关系是_解析：由 ，得 MN BD.AMMB ANND而 BD平面 BDC， MN平面 BDC，所以 MN平面 BDC.答案：平行7正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为线段
6、 B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号) AC BE； B1E平面 ABCD；三棱锥 EABC 的体积为定值；直线 B1E直线 BC1.解析：因 AC平面 BDD1B1，故正确；因 B1D1平面 ABCD，故正确；记正方体的体积为 V，则 VEABC V，为定值，故正确； B1E 与 BC1不垂直，故错误16答案：8直三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长都为 1， AB BC1，且直线 AB 与平面 BB1C1C 所成的角为 60，则异面直线 A1B， AC 所成角的余弦值为_4解析：由于 ABCA1B1C1为直三棱柱，则 AB 与平面 BB1C1C 所成的角即为 ABC.依题设
7、， AB BC1， ABC60，则 ABC 为正三角形由 AC A1C1，知 BA1C1为异面直线 A1B 与 AC 所成的角由于 A1C11， A1B ， C1B .2 2由余弦定理得：cos BA1C1 .2 1 2221 24答案：24三、解答题9(2018湖南益阳模拟)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAB平面ABCD， AD BC， AD2 BC， DAB ABP90.(1)求证： AD平面 PAB；(2)求证： AB PC；(3)若点 E 在棱 PD 上，且 CE平面 PAB，求 的值PEPD(1)证明：因为 DAB90，所以 AD AB.因为平面 PAB平面 ABCD，
8、且平面 PAB平面 ABCD AB，所以 AD平面 PAB.(2)证明：由(1)知 AD AB，因为 AD BC，所以 BC AB.又因为 ABP90，所以 PB AB.因为 PB BC B，所以 AB平面 PBC，5因为 PC平面 PBC，所以 AB PC.(3)解：过 E 作 EF AD 交 PA 于 F，连接 BF.如图所示因为 AD BC，所以 EF BC.所以 E， F， B， C 四点共面又因为 CE平面 PAB，且 CE平面 BCEF，平面 BCEF平面 PAB BF，所以 CE BF，所以四边形 BCEF 为平行四边形，所以 EF BC AD.12在 PAD 中，因为 EF A
9、D，所以 ，即 .PEPD EFAD 12 PEPD 1210(2018北京卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD平面ABCD， PA PD， PA PD， E， F 分别为 AD， PB 的中点(1)求证： PE BC；(2)求证：平面 PAB平面 PCD；(3)求证： EF平面 PCD.证明：(1)因为 PA PD， E 为 AD 的中点，所以 PE AD.因为底面 ABCD 为矩形，所以 BC AD.所以 PE BC.(2)因为底面 ABCD 为矩形，所以 AB AD.又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD，所以 AB平面 P
10、AD.6所以 AB PD.又因为 PA PD，且 PA AB A，所以 PD平面 PAB.又 PD平面 PCD，所以平面 PAB平面 PCD.(3)如图，取 PC 中点 G，连接 FG， DG.因为 F， G 分别为 PB， PC 的中点，所以 FG BC， FG BC.12因为 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点，所以 DE BC， DE BC.12所以 DE FG， DE FG.所以四边形 DEFG 为平行四边形所以 EF DG.又因为 EF平面 PCD， DG平面 PCD，所以 EF平面 PCD.11如图，在矩形 ABCD 中， AB2 AD， M 为 DC 的中点，将 ADM
11、沿 AM 折起使平面ADM平面 ABCM.(1)当 AB2 时，求三棱锥 MBCD 的体积；(2)求证： BM AD.(1)解：取 AM 的中点 N，连接 DN.如图所示因为在矩形 ABCD 中， M 为 DC 的中点， AB2 AD，所以 DM AD.又 N 为 AM 的中点，所以 DN AM.7又因为平面 ADM平面 ABCM，平面 ADM平面 ABCM AM， DN平面 ADM.所以 DN平面 ABCM.因为 AD1，所以 DN .22又 S BCM CMCB .12 12所以 V 三棱锥 MBCD V 三棱锥 DBCM S BCMDN .13 212(2)证明：由(1)可知， DN平面 ABCM.又 BM平面 ABCM，所以 BM DN.在矩形 ABCD 中， AB2 AD， M 为 DC 中点，所以 ADM， BCM 都是等腰直角三角形，且 ADM90， BCM90，所以 BM AM.又 DN， AM平面 ADM， DN AM N，所以 BM平面 ADM.又 AD平面 ADM，所以 BM AD.
