1、1第 7 章 立体几何 第 3 讲A 组 基础关1如图， l， A， B ， C ，且 Cl，直线 AB l M，过 A， B， C 三点的平面记作 ，则 与 的交线必通过( )A点 A B点 BC点 C 但不过点 M D点 C 和点 M答案 D解析 因为 M AB平面 ABC， C平面 ABC.M l ， C ，所以 直线 CM.2(2016山东高考)已知直线 a， b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线 a， b 相交，设交点为 P，则 P a
2、， P b.又 a ， b ，所以P ， P ，故 ， 相交反之，若 ， 相交，则 a， b 可能相交，也可能异面或平行故“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的充分不必要条件3(2018华南师大附中模拟)在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 是线段 BC 上的动点， F是线段 CD1上的动点，且 E， F 不重合，则直线 AB1与直线 EF 的位置关系是( )A相交且垂直 B共面C平行 D异面且垂直答案 D解析 如图所示， AB1平面 BCD1， EF平面 BCD1，故 AB1 EF 且 AB1与 EF 异面4已知正方体 ABCD A1B1C1D1中， O 是 BD1
3、的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则下列结论错误的是( )2A A1， M， O 三点共线 B M， O， A1， A 四点共面C A1， O， C， M 四点共面 D B， B1， O， M 四点共面答案 D解析 由正方体的性质知， O 也是 A1C 的中点，因此 A1， M， O 三点共线，又直线与直线外一点确定一个平面，所以 B，C 中的结论正确由 BB1与 A1C 异面知 D 中的结论错误，故选 D.5在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别为棱 AA1， CC1的中点，则在空间中与三条直线 A1D1， EF， CD 都相交的直线( )A不存在 B有且只
4、有两条C有且只有三条 D有无数条答案 D解析 在 EF 上任意取一点 M，直线 A1D1与 M 确定一个平面，这个平面与 CD 有且仅有1 个交点 N，当 M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与 CD 有不同的交点 N，而直线 MN与这 3 条异面直线都有交点，如图：所以 D 正确6下列各图是正方体和正四面体， P， Q， R， S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( )3答案 D解析 在 A 中易证 PS QR， P， Q， R， S 四点共面在 C 中易证 PQ SR， P， Q， R， S 四点共面在 D 中， QR平面 ABC，PS面 ABC P 且 PQR，直线 PS 与
5、 QR 为异面直线 P， Q， R， S 四点不共面在 B 中 P， Q， R， S 四点共面，证明如下：取 BC 中点 N，可证 PS， NR 交于直线 B1C1上一点， P， N， R， S 四点共面，设为 ，可证 PS QN， P， Q， N， S 四点共面，设为 . ， 都经过 P， N， S 三点， 与 重合， P， Q， R， S 四点共面故选 D.7如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AA12 AB，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为( )4A. B15 25C. D35 45答案 D解析 连接 BC1，易证 BC1 AD1
6、，则 A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成的角连接A1C1，设 AB1，则 AA12， A1C1 ， A1B BC1 ，故 cos A1BC1 .2 55 5 2255 45故选 D.8如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段 AB， CD， EF， GH 在原正方体中互为异面的对数为_5答案 3解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB， CD， EF 和 GH 在原正方体中，显然 AB 与 CD， EF 与 GH， AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交， CD 与 GH 相交， CD 与 EF 平行故互为异面直线的有 3 对9如图，在正方体
7、 ABCD A B C D中， AB 的中点为 M， DD的中点为 N，则异面直线 B M 与 CN 所成的角是_答案 90解析 取 AA的中点 Q，连接 QN， BQ，且 BQ 与 B M 相交于点 H，则 QN 綊 AD 綊 BC，从而有四边形 NQBC 为平行四边形，所以 NC QB，则有 B HB 为异面直线 B M 与 CN 所成的角又 B B BA， B BM BAQ90， BM AQ， B BM BAQ， MB B QBM.而 B MB MB B90，从而 B MB QBM90， MHB90.B 组 能力关1正四棱锥 P ABCD 中，四条侧棱长均为 2，底面 ABCD 是正方形
8、， E 为 PC 的中点，若异面直线 PA 与 BE 所成的角为 45，则该四棱锥的体积是( )A4 B2 3C D43 233答案 D6解析 如图，连接 AC， BD.设 AC BD O，连接 PO， OE， O， E 分别是 AC 和 PC 的中点， OE PA， OE PA1，则 BEO 即为异面直线 PA， BE 所成的角，即 BEO45，12易证 PO平面 ABCD， OB平面 PAC，所以 PO OB， BOE 是等腰直角三角形，所以OB OE1， BC ， PO ，所以四棱锥的体积2 PB2 OB2 3V BC2PO 2 .13 13 3 2332(2018西安模拟)如图是正四面体的平面展开图， G， H， M， N 分别为DE， BE， EF， EC 的中点，在这个正四面体中， GH 与 EF 平行； BD 与 MN 为异面直线； GH 与 MN 成 60角； DE 与 MN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_答案 解析 还原成正四面体 A DEF，其中 H 与 N 重合， A， B， C 三点重合易知 GH 与 EF异面， BD 与 MN 异面又 GMH 为等边三角形， GH 与 MN 成 60角，易证 DE AF， MN AF， MN DE.7因此正确的序号是.
