1、- 1 -2.1 抛物线及其标准方程1.抛物线 y2=20x 的焦点坐标为( )A.(20,0) B.(10,0)C.(5,0) D.(0,5)答案:C2.若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 =1 的右焦点重合,则 p 的值为( )A.-2 B.2 C.-4 D.4解析:椭圆的右焦点为(2,0), =2,p= 4.答案:D3.已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点, |AF|= x0,则 x0=( )A.4 B.2 C.1 D.8解析:如图, F ,过 A 作 AA准线 l,|AF|=|AA| , x0=x0+ ,x 0=1.答案:C4.抛物线 y2=ax(a
2、0)的焦点到其准线的距离是( )A. B. C.|a| D.-解析: 2p=|a|,p= . 焦点到准线的距离是 .答案:B5.一动圆的圆心在抛物线 y2=8x 上,且动圆恒与直线 x+2=0 相切,则动圆过定点( )- 2 -A.(4,0) B.(2,0)C.(0,2) D.(0,4)解析:由题意易知直线 x+2=0 为抛物线 y2=8x 的准线,由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点 .答案:B6.以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )A.x2+y2+2x=0 B.x2+y2+x=0C.x2+y2-x=0 D.x2+y2-2x=0解析:抛物线 y2=4x 的焦点
3、是(1,0), 圆的标准方程为( x-1)2+y2=1,即 x2+y2-2x=0.答案:D7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线关于 x 轴对称,顶点是原点 O,且过点 P(2,4),则该抛物线的方程是 . 解析:由题意可设抛物线方程为 y2=2ax, 点 P(2,4)在抛物线上, 42=4a,a= 4.即所求抛物线的方程为 y2=8x.答案: y2=8x8. 导学号 01844015 在抛物线 y2=12x 上,与焦点的距离等于 9 的点的坐标是 .解析:抛物线的焦点为 F(3,0),准线 x=-3,抛物线上的点 P,满足 |PF|=9,设 P(x0,y0),则|PF|=x0+ =x0
4、+3=9,x 0=6,y 0=6 .答案:(6, 6 )9.求满足下列条件的抛物线的标准方程:(1)焦点是直线 3x+4y-15=0 与 x 轴的交点;(2)准线是 x=- ;(3)焦点在 x 轴正半轴上,焦点到准线的距离是 2;(4)焦点在 x 轴正半轴上,焦点到直线 x=-5 的距离是 8.解(1)直线与 x 轴的交点为(5,0),故所求抛物线方程为 y2=20x.(2)准线方程为 x=- , ,p= 3,开口向右, 抛物线方程为 y2=6x.(3)由于 p=2,焦点在 x 轴正半轴上, 抛物线方程为 y2=4x.- 3 -(4)焦点在 x 轴正半轴上,设其坐标为( x0,0),x 0+5
5、=8,x 0=3. 焦点为(3,0),即 =3,p=6.故抛物线方程为 y2=12x.10. 导学号 01844016 已知抛物线 y2=2x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,点A(3,2).(1)求 |PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时 P 点的坐标 .(2)求点 P 到点 B 的距离与点 P 到直线 x=- 的距离之和的最小值 .解如图,将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x,得 y= . 2,A 在抛物线内部 .设抛物线上点 P 到准线 l:x=- 的距离为 d,由定义知 |PA|+|PF|=|PA|+d,当 PA l 时, |PA|+d 最小,最小值为 ,即 |PA|+|PF|的最小值为 ,此时 P 点纵坐标为 2,代入 y2=2x,得 x=2. 点 P 坐标为(2,2) .(2)设抛物线上点 P 到准线 l 的距离为 d,由于直线 x=- 即为抛物线的准线,根据抛物线定义得 |PB|+d=|PB|+|PF| |BF|,当且仅当 B,P,F 三点共线时取等号,而 |BF|= ,|PB|+d 的最小值为 .- 4 -
