1、2010年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案解析(总分：18.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：2，分数：4.00)1.已知方程 x 3 6x 2 +11x-6=0有整数根 x 1 =1，x 2 =2，x 3 =3设 是一个小正数考虑方程(1+)x 3 -6x 2 +11x-6=0，设其根为 x 1 ()，x 2 ()，x 3 ()，且 1)求 （分数：2.00）_2.求矩阵 A= （分数：2.00）_二、综合题(总题数：7，分数：14.00)3.考虑线性方程组 Ax=b，(A)其中 AR nn ，xR n ，bR n 设已将其写成了同解线性方程组x=Bx+
2、d，(B)且有B 1 1)证明(A)存在唯一解 x * ； 2)给出求解(B)收敛的迭代解法，并证明迭代解法的收敛性（分数：2.00）_4.设 f(x)=sinx，x0，求一个次数不超过 5的多项式 p(x)，使得函数 f(x)和 p(x)的曲线在点(0，0)， (,0)处相交且相切，并给出 （分数：2.00）_5.称型如 的积分为带权 的积分设 x 0 ，x 1 ，x m 为区间a，b中的 m+1个互异点，A 0 ，A 1 ，A m 为 m+1个与 f(x)无关的常数 称型如 的公式为计算积分 I(f)的数值求积公式现设 h=(ba)m，x i =a+ih，0im，应用插值多项式的有关结果构
3、造一个计算 I(f)的数值求积公式 I N (f)(写出 A i 的表达式即可)，要求该公式至少是 2阶的，并给出其截断误差 I(f)-I N (f)的型如 cf (p) h k 的估计式，其中 c为常数，p 和 k为正整数，f (p) = （分数：2.00）_6.考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(b-a)/n，x i =a+ih，0in 分析预测-校正公式 （分数：2.00）_7.设 h=1m，x i =ih，0im， h =x i 0im记 h 上的所有网格函数的集合为 v设u=(u 0 ，u 1 ，u m )v，定义 （分数：2.00）_8.取正整数 m，n，记 h=1m，
4、Tn，x i =ih，t k =k， 分析差分格式 （分数：2.00）_9.考虑热传导方程初边值问题 (D) 其中 f(x，t)，(x)为光滑函数， 为正常数取正整数M，N，记 h=1M，=TN，x i =ih，t k =k，且 （分数：2.00）_2010年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案解析(总分：18.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：2，分数：4.00)1.已知方程 x 3 6x 2 +11x-6=0有整数根 x 1 =1，x 2 =2，x 3 =3设 是一个小正数考虑方程(1+)x 3 -6x 2 +11x-6=0，设其根为 x 1 ()，x 2
5、 ()，x 3 ()，且 1)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)由条件得(1 十 )x 3 6x 2 +11x-6=(1+)xx 1 ()xx 2 ()xx 3 ()，上式两边关于 求导得 x 3 =xx 1 ()xx 2 ()xx 3 ()+(1+)-x“ 1 ()xx 2 ()xx 3)解析：2.求矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A是对称正定矩阵，设其最大特征值为 max ，最小特征值为 min ，则 展开得 3 6 2 +10-4=0 方法 1：( 2 4+2)(-2)=0 所以A 2 = cond(A) 2 = )解析：二、综合题(总题数：7
6、分数：14.00)3.考虑线性方程组 Ax=b，(A)其中 AR nn ，xR n ，bR n 设已将其写成了同解线性方程组x=Bx+d，(B)且有B 1 1)证明(A)存在唯一解 x * ； 2)给出求解(B)收敛的迭代解法，并证明迭代解法的收敛性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)因为(A)和(B)同解，故只要证明(B)有唯一解又 (B)B 1，故 1不是 B的特征值，从而行列式IB0，即 IB可逆，所以方程(IB)x=d 存在唯一解，即(B)有唯一解 2)记(B)的唯一解为 x * ，即有 x * =Bx * +d 构造迭代格式 x k+1 =Bx k +d，k=0，1，将上
7、面两式相减得 x * -x k+1)解析：4.设 f(x)=sinx，x0，求一个次数不超过 5的多项式 p(x)，使得函数 f(x)和 p(x)的曲线在点(0，0)， (,0)处相交且相切，并给出 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f“(x)=cos x，f“(0)=cos 0=1， f“()=cos=-1，所以插值条件为 p(0)=0， p()=0，P“(0)=1， ,P“()=-1 列差商表如下： 所以 )解析：5.称型如 的积分为带权 的积分设 x 0 ，x 1 ，x m 为区间a，b中的 m+1个互异点，A 0 ，A 1 ，A m 为 m+1个与 f(x)无关的常数 称型如
8、的公式为计算积分 I(f)的数值求积公式现设 h=(ba)m，x i =a+ih，0im，应用插值多项式的有关结果构造一个计算 I(f)的数值求积公式 I N (f)(写出 A i 的表达式即可)，要求该公式至少是 2阶的，并给出其截断误差 I(f)-I N (f)的型如 cf (p) h k 的估计式，其中 c为常数，p 和 k为正整数，f (p) = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 在x i-1 ，x i 上作 f(x)的 1次插值多项式 则有 令 则 )解析：6.考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(b-a)/n，x i =a+ih，0in 分析预测-校正公式 （分
9、数：2.00）_正确答案：(正确答案：y i+1 = f(x i ,y i )+f(x i+1 ,y i+1 (p) )=y i + f(x i ，y i )+f(x i+1 ,y i + )解析：7.设 h=1m，x i =ih，0im， h =x i 0im记 h 上的所有网格函数的集合为 v设u=(u 0 ，u 1 ，u m )v，定义 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 x u i-1/2 = (u i u i-1 )当 0jim 时 u i =u j + (u l -u l-1 )=u j +h x u l-1/2 两边平方，并应用 Cauchy不等式有 )解析：8.取正整数 m，n，记 h=1m，=Tn，x i =ih，t k =k， 分析差分格式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意到 用 乘以(C)，并对 i求和，得 应用分部求和公式，并注意到 t v 0 k =0， t v m k =0，有 将其代入得 即 1kn-1 递推可得 )解析：9.考虑热传导方程初边值问题 (D) 其中 f(x，t)，(x)为光滑函数， 为正常数取正整数M，N，记 h=1M，=TN，x i =ih，t k =k，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 Taylor展开得 考虑方程 可得 u(x i ,t k )-u(x i ,t k-1 )- )解析：
