1、考研数学一-高等数学多元函数微分学(二)及答案解析(总分：105.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.设函数 ，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.2.设可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )取得极小值，则下列结论正确的是（分数：2.00）A.f(x0，y)在 y=y0 处的导数大于零B.f(x0，y)在 y=y0 处的导数等于零C.f(x0，y)在 y=y0 处的导数小于零D.f(x0，y)在 y=y0 处的导数不存在3.如果函数 f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是
2、 A若极限 存在，则 f(x，y)在(0，0)处可微 B若极限 存在，则 f(x，y)在(0，0)处可微 C若 f(x，y)在(0，0)处可微，则极限 存在 D若 f(x，y)在(0，0)处可微，则极限 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设函数 ，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.5.设有三元方程 xy-z1ny+e xz =1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程（分数：2.00）A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 x=z(x，y)B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)和
3、z=z(x，y)C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 z=z(x，y)D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 y=y(x，z)二、填空题(总题数：9，分数：18.00)6.设 z=e sinxy ，则 dz= 1。 （分数：2.00）7.设 ，其中 f，g 均可微，则 （分数：2.00）8.设 z=e -x -f(x-2y)，且当 Y=0 时，z=x 2 ，则 （分数：2.00）9.设二元函数 z=xe x+y +(x+1)1n(1+y)，则 （分数：2.00）10.设函数 f(u)可微，且 ，则 z=f(4x 2 -y 2 )在点(1，2)处的全微分 （
4、分数：2.00）11.设 f(x，y，z)=e x yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 （分数：2.00）12.设函数 z=z(x，y)由方程 z=e 2x-3z +2y 确定，则 （分数：2.00）13.函数 f(u，v)由关系式 fxg(y)，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则 （分数：2.00）14.设 ，f(u)可导，则 （分数：2.00）三、计算证明题(总题数：28，分数：77.00)设 （分数：5.00）(1).； （分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_15.已知 z=f(u，v)，u=x+y，
5、v=xy，且 f(u，v)的二阶偏导数都连续，求 （分数：2.50）_16.已知 （分数：2.50）_17.设 ，求 （分数：2.50）_18.已知 ，求 （分数：2.50）_19.设 ，求 （分数：2.50）_20.设 ，求 dz 与 （分数：2.50）_21.已知 ， （分数：2.50）_22.设 f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 ，又 g(x，y)= ，求 （分数：2.50）_23.设 z=f(x 2 -y 2 ，e xy )，其中厂具有连续二阶偏导数，求 （分数：2.50）_24.设 f(u)具有二阶连续导数，且 ，求 （分数：2.50）_25.设 ，其中 为可微函数，求 （分数
6、：2.50）_26.已知 xy=xf(z)+yg(z)，xf(z)+yg(z)0，其中 z=z(x，y)是 x 和 y 的函数，求证： （分数：2.50）_27.设 z=f(x，y)是由方程 z-yx+xe z-y-x =0 所确定的二元函数，求 dz （分数：2.50）_28.设函数 z=f(u)，方程 确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微；p(t)，(t)连续，且(u)1求 （分数：2.50）_29.设 u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 e xy -y=0 和 e x -xz=0 所确定，求 （分数：2.50）_30.设 u=f(
7、x，y，z)有连续一阶偏导数，又函数 y=y(x)及 z=z(x)分别由下列两式确定 e xy -xy=2 和 ，求 （分数：2.50）_31.设函数 u=f(x，y，z)有连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 xe x -ye y )=ze z 所确定，求 du （分数：2.50）_32.设 f(u，v)具有连续偏导数，且满足 （分数：2.50）_某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告根据统计资料，销售收入 R(万元)与电台广告费用 x 1 (万元)及报纸广告费用 x 2 (万元)之间的关系有如下经验公式 （分数：5.00）(1).在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（分数
8、：2.50）_(2).若提供的广告费用为 1.5 万元，求相应的最优广告策略（分数：2.50）_33.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p 1 和 p 2 ；销售量分别为 q 1 和 q z ；需求函数分别为 q 1 =24-0.2p 1 ， q 2 =10-0.5p 2 总成本函数为 C=35+40(q 1 +q 2 ) 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?最大总利润为多少? （分数：2.50）_34.某养殖厂饲养两种鱼，若甲种鱼放养 x(万尾)，乙种鱼放养 y(万尾)，收获时两种鱼的收获量分别为 (3-x-y)x 和(4-x-2y)y (0) 求使得
9、产鱼总量最大的放养数 （分数：2.50）_35.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在由直线 x+y=6、x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的极值、最大值与最小值 （分数：2.50）_36.设生产某种产品必须投入两种要素，x 1 和 x 2 分别为两要素的投人量，Q 为产出量；若生产函数为 （分数：2.50）_假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是 p 1 =18-2Q 1 ，p 2 -12-2Q 2 ，其中 p 1 和 p 2 分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，Q 1 和 Q 2 分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求
10、量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是 C=2Q+5，其中 Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即 Q=Q 1 +Q 2 。（分数：5.00）(1).如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；（分数：2.50）_(2).如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小（分数：2.50）_37.已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx-2ydy，并且 f(1，1)=2求 f(x，y)在椭圆域 （分数：2.50）_38.求 f(x，y)=x 2
11、-y 2 +2 在椭圆域 （分数：2.50）_39.在椭圆 x 2 +4y 2 =4 上求一点，使其到直线 2x+3y-6=0 的距离最短 （分数：2.00）_考研数学一-高等数学多元函数微分学(二)答案解析(总分：105.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.设函数 ，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：2.设可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )取得极小值，则下列结论正确的是（分数：2.00）A.f(x0，y)在 y=y0 处的导数大于零B.f(x0，y)在 y=y0 处的导
12、数等于零 C.f(x0，y)在 y=y0 处的导数小于零D.f(x0，y)在 y=y0 处的导数不存在解析：3.如果函数 f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是 A若极限 存在，则 f(x，y)在(0，0)处可微 B若极限 存在，则 f(x，y)在(0，0)处可微 C若 f(x，y)在(0，0)处可微，则极限 存在 D若 f(x，y)在(0，0)处可微，则极限 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 若极限 存在，则有 (x，y)=0又由 f(x，y)在(0，0)处连续，可知 f(0，0)=0 ，类似地，f y (0，0)=0于是 4.设函数 ，其中函数 具有二阶导数，
13、具有一阶导数，则必有 A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由此可知 5.设有三元方程 xy-z1ny+e xz =1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程（分数：2.00）A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 x=z(x，y)B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)和 z=z(x，y)C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 z=z(x，y)D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 y=y(x，z) 解析：解析 F(x，y，z)=0，其中 F(x，y，z)=xy-z1ny+e xz -1
14、显然，F 在点(0，1，1)附近对x，y，z 均有连续偏导数，且 F(0,1,1)=0。 相应的三个偏导数： 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)6.设 z=e sinxy ，则 dz= 1。 （分数：2.00）解析：e sinxy cos(xy)(ydx+xdy)7.设 ，其中 f，g 均可微，则 （分数：2.00）解析：8.设 z=e -x -f(x-2y)，且当 Y=0 时，z=x 2 ，则 （分数：2.00）解析：2(x-2y)-e -x +e 2y-x9.设二元函数 z=xe x+y +(x+1)1n(1+y)，则 （分数：2.00）解析：2edx+(e+2)dy10.设函数
15、f(u)可微，且 ，则 z=f(4x 2 -y 2 )在点(1，2)处的全微分 （分数：2.00）解析：4dx-2dy11.设 f(x，y，z)=e x yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 （分数：2.00）解析：112.设函数 z=z(x，y)由方程 z=e 2x-3z +2y 确定，则 （分数：2.00）解析：213.函数 f(u，v)由关系式 fxg(y)，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则 （分数：2.00）解析：14.设 ，f(u)可导，则 （分数：2.00）解析：2z三、计算证明题(总题数：28，分数：77
16、.00)设 （分数：5.00）(1).； （分数：2.50）_正确答案：()解析：(2). （分数：2.50）_正确答案：()解析：15.已知 z=f(u，v)，u=x+y，v=xy，且 f(u，v)的二阶偏导数都连续，求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：16.已知 （分数：2.50）_正确答案：()解析：17.设 ，求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：18.已知 ，求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：19.设 ，求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：20.设 ，求 dz 与 （分数：2.50）_正确答案：()解析：21.已知 ， （分数：2.50）_正确答案：(
17、)解析：22.设 f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 ，又 g(x，y)= ，求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：x 2 +y 2 23.设 z=f(x 2 -y 2 ，e xy )，其中厂具有连续二阶偏导数，求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：24.设 f(u)具有二阶连续导数，且 ，求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：25.设 ，其中 为可微函数，求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：26.已知 xy=xf(z)+yg(z)，xf(z)+yg(z)0，其中 z=z(x，y)是 x 和 y 的函数，求证： （分数：2.50）_正确答案：()解析：按隐函数求导
18、验证27.设 z=f(x，y)是由方程 z-yx+xe z-y-x =0 所确定的二元函数，求 dz （分数：2.50）_正确答案：()解析：28.设函数 z=f(u)，方程 确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微；p(t)，(t)连续，且(u)1求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：029.设 u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 e xy -y=0 和 e x -xz=0 所确定，求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：30.设 u=f(x，y，z)有连续一阶偏导数，又函数 y=y(x)及 z=z(x)分别由下列两式确定 e
19、xy -xy=2 和 ，求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：31.设函数 u=f(x，y，z)有连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 xe x -ye y )=ze z 所确定，求 du （分数：2.50）_正确答案：()解析：32.设 f(u，v)具有连续偏导数，且满足 （分数：2.50）_正确答案：()解析：某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告根据统计资料，销售收入 R(万元)与电台广告费用 x 1 (万元)及报纸广告费用 x 2 (万元)之间的关系有如下经验公式 （分数：5.00）(1).在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（分数：2.50）_正确答案：()解
20、析：x 1 =0.75，x 2 =1.25(2).若提供的广告费用为 1.5 万元，求相应的最优广告策略（分数：2.50）_正确答案：()解析：x 1 =0，x 2 =1.533.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p 1 和 p 2 ；销售量分别为 q 1 和 q z ；需求函数分别为 q 1 =24-0.2p 1 ， q 2 =10-0.5p 2 总成本函数为 C=35+40(q 1 +q 2 ) 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?最大总利润为多少? （分数：2.50）_正确答案：()解析：P 1 =80，P 2 =120，最大利润 L=60534.
21、某养殖厂饲养两种鱼，若甲种鱼放养 x(万尾)，乙种鱼放养 y(万尾)，收获时两种鱼的收获量分别为 (3-x-y)x 和(4-x-2y)y (0) 求使得产鱼总量最大的放养数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：35.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在由直线 x+y=6、x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的极值、最大值与最小值 （分数：2.50）_正确答案：()解析：f(2，1)=4 为极大值，f(2，1)=4 为最大值，f(4，2)=-64 为最小值36.设生产某种产品必须投入两种要素，x 1 和 x 2 分别为两要素的投人量，Q 为产出量；若生产函数为 （分数：
22、2.50）_正确答案：()解析：假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是 p 1 =18-2Q 1 ，p 2 -12-2Q 2 ，其中 p 1 和 p 2 分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，Q 1 和 Q 2 分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是 C=2Q+5，其中 Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即 Q=Q 1 +Q 2 。（分数：5.00）(1).如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；（分数：2.50）_正确答案：()解析：Q1 一
23、4，Pl 一 10，Q25，P27，L 一 52(2).如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小（分数：2.50）_正确答案：()解析：Q 1 =5，Q 2 =4，P 1 =P 2 =8，L=4937.已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx-2ydy，并且 f(1，1)=2求 f(x，y)在椭圆域 （分数：2.50）_正确答案：()解析：3，-238.求 f(x，y)=x 2 -y 2 +2 在椭圆域 （分数：2.50）_正确答案：()解析：3，-239.在椭圆 x 2 +4y 2 =4 上求一点，使其到直线 2x+3y-6=0 的距离最短 （分数：2.00）_正确答案：()解析：
