1、考研数学一（无穷级数）-试卷 1 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不确定3.已知级数 条件收敛，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 a n =cosn.ln (n=1，2，3，)，则级数 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.下列命题中正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.下列命题中错误的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.对于
2、级数 ，其中 u n 0(n=1，2，)，则下列命题正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.下列结论正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设 a 为正常数，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 a 为常数，若级数 （分数：2.00）填空项 1:_11.级数 （分数：2.00）填空项 1:_12.级数 （分数：2.00）填空项 1:_13.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)=x+x 2 ，-x，且周期为 T=2当 f(x)在-，)上的傅里叶级数为 （分数：2.00）填空项 1
3、:_15.常数项级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求 （分数：2.00）_18.求 （分数：2.00）_19.判别下列级数的敛散性(k1，a1)： （分数：2.00）_20.判别级数 （分数：2.00）_21.判别级数 （分数：2.00）_22.判别级数 （分数：2.00）_23.判别级数 （分数：2.00）_24.证明：级数 （分数：2.00）_25.已知 f n (x)满足 f“ n (x)=f n (x)+x n-1 e x (n 为正整数)，且 f n (1)=
4、 ，求函数项级数 （分数：2.00）_26.将函数 （分数：2.00）_27.求幂级数 的收敛域与和函数，并求 （分数：2.00）_28.设 （分数：2.00）_考研数学一（无穷级数）-试卷 1 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.敛散性不确定解析：解析：由 3.已知级数 条件收敛，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：设 u n = 的敛散性相同，故 而由 条件收敛
5、可知 03-a1，即2a3 若使两个结论都成立，只有 4.设 a n =cosn.ln (n=1，2，3，)，则级数 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为 a n = 是满足莱布尼茨条件的交错级数，因此 是等价无穷小，且调和级数 5.下列命题中正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为 w n u n v n ，所以 0u n -w n v n -w n 又因为 收敛，所以 收敛 因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A)；选项(B)，(C)将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对例如取级数 可以说明(B)不对，取级数 6.
6、下列命题中错误的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由级数收敛的性质知命题(A)正确 由反证法可知命题(B)正确 若设 ，这两个级数都发散，但是7.对于级数 ，其中 u n 0(n=1，2，)，则下列命题正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因(-1) n-1 u n =u n =u n ，由 绝对收敛，命题(B)正确(A)错误：如 8.下列结论正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由幂级数 在收敛域(-R，R)的和函数性质可知，命题(C)正确 (A)错误：如 ，收敛域为(-1，1，但在 x=1 处， 条件收敛 (
7、B)错误：因为可能 R=0 或 R=+ (D)错误：由幂级数的定义可知二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设 a 为正常数，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：发散）解析：解析：方法一 当 n1 时， 0，原级数为一个正项级数10.设 a 为常数，若级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a）解析：解析：因级数11.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因级数 为等比级数，其公比 q 满足12.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(-1，1）解析：解析：因 为不缺项的
8、x 的幂级数， 故 R=1 在 x=1 处， 发散 故13.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因 14.设 f(x)=x+x 2 ，-x，且周期为 T=2当 f(x)在-，)上的傅里叶级数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.常数项级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：发散）解析：解析：将已给级数每相邻二项加括号得新级数 因三、解答题(总题数：13，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求 （分数：2.00）
9、_正确答案：(正确答案：利用级数的收敛，求数列极限或证明数列收敛若 对于级数 ，由)解析：18.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：19.判别下列级数的敛散性(k1，a1)： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 ，所以该级数收敛 (2)因为 ，所以该级数收敛 (3)因为)解析：20.判别级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 易知当 n 充分大时， 单调递减且此数列收敛于 0，由莱布尼茨判别法知，级数 )解析：21.判别级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.判别级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式
10、， )解析：解析：这是交错级数，但不易判别u n u n+1 ，因此不能使用莱布尼茨判别法为了能确定一般项 23.判别级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 设 f(x)= ，f(x)单调减少，因此级数 满足莱布尼茨判别法条件，是条件收敛的 但级数 )解析：解析：这是交错级数，易见：u n 0，但u n u n+1 不成立，莱布尼茨判别法失效分母有理化后，可判定24.证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 是交错级数，但不满足莱布尼茨判别条件，因为u n = 发散 又因为 由于上式每个括号都小于 0，所以S 2n 单调递减，再由 )解析：25.已知 f n (x)满足
11、 f“ n (x)=f n (x)+x n-1 e x (n 为正整数)，且 f n (1)= ，求函数项级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件知，函数 f n (x)满足一阶线性非齐次微分方程 f“ n (x)f n (x)=x n-1 e x ， 其通解为 f n (x)= 由条件 f n (1)= 记 S(x)= ，容易求出其收敛域为-1，1)，且 S(0)=0，当 x(-1，1)时，求导得 于是得 S(x)= 由 S(x)=-ln(1-x)在 x=-1 点的连续性知，上述和函数在 x=-1 点也成立于是，当-1x1 时，有 )解析：26.将函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由已知展开式知 于是 )解析：27.求幂级数 的收敛域与和函数，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，当x1 时，幂级数收敛；当x1 时，幂级数发散；当 x=1 时，级数为 ，收敛；当 x=-1 时，级数为 ，发散所以，幂级数的收敛域为(-1，1 )解析：28.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=n-t，则 再次逐项求导，得 整理得 S(x)= 从而 )解析：
