1、考研数学一（无穷级数）-试卷 3 及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设级数 收敛，则必收敛的级数为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.如果级数 都发散，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)=x 2 ，0x1，而 s(x)= b n sinnx，一x+，其中 b n =2 0 1 f(x)sinnxdx，n=1，2，3，则 s(一 )等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.已知级数 收敛，则下列级数中必
2、收敛的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 a n 0(n=1，2，)，且 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 有关7.下列命题成立的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 0a n (n=1，2，)，则下列级数中肯定收敛的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设有命题 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.410.设 u n =(一 1) n ln(1+ )，则级数( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.级数 （分数：2.00）A.仅与 取值有关B.仅与 取值有关C.与 和 的取值都有关D.与 和 的取值都无关12.设
3、常数 0，且级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与 A 有关二、填空题(总题数：11，分数：22.00)13.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_14.若数列a n 收敛，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_15.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_16.若级数(a 1 +a 2 )+(a 3 +a 4 )+(a 2n1 +a 2n )+发散，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_17.设幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_18.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_19.无穷级数 （分数：2.00）填空项 1:_20.幂级数 （分数：2.00
4、）填空项 1:_21.已知幂级数 a n (x+2) n 在 x=0 处收敛，在 x=一 4 处发散，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_22.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_23.无穷级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.将函数 f(x)=x 一 1(0x2)展开成周期为 4 的余弦函数（分数：2.00）_26.求级数 （分数：2.00）_27.设 a 1 =2，a n+1 = ，(n=1，2，)证明 （分数：2.00）_28.求 （分数：2.00）_29.
5、设正项数列a n 单调减少，且 （分数：2.00）_30. （分数：2.00）_31.求幂级数 （分数：2.00）_32.设 f(x)= （分数：2.00）_33.(1)验证函数 y(x)= (一x+)满足微分方程 y“+y“+y=e x (2)求幂级数 y(x)= （分数：2.00）_34.将函数 f(x)= （分数：2.00）_35.设方程 x n +nx 一 1=0，其中 n 为正整数证明此方程存在唯一正实根 x n ，并证明当 1 时，级数 （分数：2.00）_36.求幂级数 （分数：2.00）_37.将函数 f(x)= （分数：2.00）_考研数学一（无穷级数）-试卷 3 答案解析(
6、总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设级数 收敛，则必收敛的级数为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为级数 收敛，再由收敛级数的和仍收敛可知，级数 3.如果级数 都发散，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于 4.设函数 f(x)=x 2 ，0x1，而 s(x)= b n sinnx，一x+，其中 b n =2 0 1 f(x)sinnxdx，n=1，2，3，则 s(一 )等于( ) （分数：2.00）A.B
7、. C.D.解析：解析：因为 s(x)是正弦级数，所以此傅里叶级数是对 f(x)在(一 1，0)内作奇延拓后展开的，于是和函数 s(x)在一个周期内的表达式为5.已知级数 收敛，则下列级数中必收敛的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于 去掉了前 k 项，则其敛散性相同，故 6.设 a n 0(n=1，2，)，且 （分数：2.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性与 有关解析：解析：利用比较法因为7.下列命题成立的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由于8.设 0a n (n=1，2，)，则下列级数中肯定收敛的是( ) （分数：2.00
8、）A.B.C.D. 解析：解析：由 0a n 收敛及正项级数的比较判别法知，级数 9.设有命题 （分数：2.00）A.1 B.2C.3D.4解析：解析：只有是正确的，事实上，级数 (a n+1 一 a n )的部分和数列 S n =(a 2 一 a 1 )+(a 3 一 a 2 )+(a n+1 a n )=a n+1 一 a 1 ， 10.设 u n =(一 1) n ln(1+ )，则级数( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：11.级数 （分数：2.00）A.仅与 取值有关B.仅与 取值有关C.与 和 的取值都有关 D.与 和 的取值都无关解析：解析：由于 ， (1)当
9、01 时，级数发散 (2)当 1 时，级数收敛 (3)当 =1 时，原级数为12.设常数 0，且级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.收敛性与 A 有关解析：解析：二、填空题(总题数：11，分数：22.00)13.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：首先设 a n = 时，该幂级数是收敛的因此，此幂级数的收敛半径是 14.若数列a n 收敛，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：收敛）解析：解析：由题干知，级数 (a n+1 一 a n )的部分和数列为 S n =(a 2 一 a 1 )+(a 3
10、一 a 2 )+(a n+1 a n ) =a n+1 一 a 1 ， 因为数列a n 收敛，所以S n 收敛 因此级数 15.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意，有16.若级数(a 1 +a 2 )+(a 3 +a 4 )+(a 2n1 +a 2n )+发散，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：发散）解析：解析：根据级数性质可知，收敛级数加括号后仍然收敛假设 收敛，则级数(a 1 +a 3 )+(a 3 +a 4 )+a 2n1 +a 2n )+收敛，与题设矛盾，故 17.设幂级数 （分数：2.00）填空项 1
11、:_ （正确答案：正确答案：(一 2，4)）解析：解析：根据幂级数的性质：对原幂级数逐项求导后得 ，收敛半径不变， 因此有18.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1，1)）解析：解析：19.无穷级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：20.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据收敛半径的判断方法，有21.已知幂级数 a n (x+2) n 在 x=0 处收敛，在 x=一 4 处发散，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，5）解析：解析：由题意可
12、知， 的收敛域包含区间(一 2，2所以 22.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4，6)）解析：解析：23.无穷级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：14，分数：28.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.将函数 f(x)=x 一 1(0x2)展开成周期为 4 的余弦函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由傅里叶级数展开式，可得 )解析：26.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设 a 1 =2，a n+1 = ，(
13、n=1，2，)证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)显然 a n 0(n=1，2)，由初等不等式：对任意非负数 x，y 必有 )解析：28.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 )解析：29.设正项数列a n 单调减少，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于正项数列a n 单调递减，因此极限 存在，将极限记为 a，则有 a n a，且 a0 又因为 (一 1) n a n 是发散的，根据莱布尼茨交错级数判别法可知 a0(否则级数 (一 1) n a n 是收敛的) 已知正项级数a n 单调递减，因此 )解析：30. （分数：2.00）_正确答案：(正确
14、答案：(1)因为 )解析：31.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：32.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直接将 arctanx 展开不容易，但(arctan x)“易展开，即 因为右端级数在x=1 时均收敛，又 arctanx 在 x=1 连续，所以展开式在收敛区间端点 x=1 成立 )解析：33.(1)验证函数 y(x)= (一x+)满足微分方程 y“+y“+y=e x (2)求幂级数 y(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为幂级数 (2)与 y“+y“+y=e x 对应的齐次微分方程为 y“+y“+y=0，其
15、特征方程为 2 +1=0， 设非齐次微分方程的特解为 y * =Ae x ，将 y * 代入方程 y“+y“+y=e x 可得 )解析：34.将函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：35.设方程 x n +nx 一 1=0，其中 n 为正整数证明此方程存在唯一正实根 x n ，并证明当 1 时，级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 f n (x)=x n +nx 一 1由 f n (0)=一 10，f n (1)=n0，于是由连续函数的介值定理知，方程 x n +nx 一 1=0 存在正实数根 x n (0，1) 当 x0 时，f“ n (x)=nx n1 +n0，可见 f n (x)在0，+)上单调增加，故方程 x n +nx 一 1=0 存在唯一正实数根 x n 由 x n +nx 一 1=0 与x n 0 知 )解析：36.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 所以当 x 2 1 时，原级数绝对收敛，当 x 2 1 时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为 1，收敛区间为(一 1，1) )解析：37.将函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
