1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 1及答案解析(总分：46.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1)，数 u 满足 PXu =，若P|X|x=，则 x等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 f 1 (x)为标准正态分布的概率密度，f 2 (x)为-1，3上均匀分布的概率密度，若 （分数：2.00）A.2a+3b=4B.3a+2b=4C.a+b=1D.a+b=24.设随机变量 X，Y 不相关，且 EX=2，
2、EY=1，DX=3，则 EX(X+Y-2)=( )（分数：2.00）A.-3B.3C.-5D.5二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.在区间(0，1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 （分数：2.00）填空项 1:_6.设两两相互独立的三事件 A，B 和 C满足条件：ABC=，P(A)=P(B)：P(C) ，且已知 P(ABC)= （分数：2.00）填空项 1:_7.设随机变量 X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X 2 在(0，4)内的概率分布密度 f Y (y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(1，0；1，1；0)，
3、则 PXY-Y0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设(X，Y)在 D：|x|+|y|a(a0)上服从均匀分布，则 E(X)= 1，E(Y)= 2，E(XY)= 3（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_10.设总体 XN(， 2 )，从 X中抽得容量为 16的简单样本，S 2 为样本方差，则 D(S 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：26.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设考生的报名表来自三个地区，各有 10份、15 份、25 份报名表，其中女生表分别为 3份、7 份、5 份。现随机抽一个地区的
4、报名表，从中先后任取 2份（分数：4.00）(1).求先取的一份是女生表的概率；（分数：2.00）_(2).已知后取的一份是男生表，求先取的一份是女生表的概率（分数：2.00）_12.袋中有 a白 b黑共 a+b只球，现从中随机、不放回地一只一只地取球，直至袋中所剩之球同色为止，求袋中所剩之球全为白球的概率（分数：2.00）_13.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_14.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_15.设 X服从参数为 2的指数分布，求 Y=1-e -2x 的概率密度 f Y (y)。（分数：2.00）_设 和 是相互独立且服从同一分布的两个随机变
5、量，已知 的分布律为 P(=i)=13，i=1，2，3又设 X=max(，)，Y=min(，)（分数：4.00）(1).写出二维随机变量(X，Y)的分布律；（分数：2.00）_(2).求 EX（分数：2.00）_16.当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在 04 至 06 之间的概率不小于09？试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解（分数：2.00）_设总体 X的分布函数为： （分数：4.00）(1). 的矩估计量；（分数：2.00）_(2). 的最大似然估计量（分数：2.00）_17.设总体的密度为： （分数：2.00）_18.一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之
6、比为 R：1，现有放回地一个接一个地抽球，直到抽到黑球为止，记 X为所抽的白球数，这样做了 n次以后，我们获得一组样本：X 1 ，X 2 ，X n 。基于此，求 R的最大似然估计（分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 1答案解析(总分：46.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1)，数 u 满足 PXu =，若P|X|x=，则 x等于( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 设 (x
7、)=P(Xx)为服从标准正态分布的 X的分布函数，有结果： (x)+(-x)= x(-，+)(1) 又由 =P(|X|x)=P(-xXx)=(x)-(-x)(显然 x0)(2) 由(1)、(2)式得 2(-x)=1-，得 =(-x)=1-(x)=1-P(Xx)=P(Xx) 与题目中 =P(X )比较，注意(x)为严格单调增函数 3.设 f 1 (x)为标准正态分布的概率密度，f 2 (x)为-1，3上均匀分布的概率密度，若 （分数：2.00）A.2a+3b=4 B.3a+2b=4C.a+b=1D.a+b=2解析：解析：由题意知： 故：1= - + f(x)dx= - 0 f 1 (x)dx+b
8、 0 + f 2 (x)dx 4.设随机变量 X，Y 不相关，且 EX=2，EY=1，DX=3，则 EX(X+Y-2)=( )（分数：2.00）A.-3B.3C.-5D.5 解析：解析：E(X 2 )=DX+(EX) 2 =3+2 2 =7，E(XY)=EXEY=21=2 EX(X+Y-2)=E(X 2 +XY-2X)=E(X 2 )+E(XY)-2E(X)=7+2-22=5二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.在区间(0，1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设这两个数为 x和 y，则(x，y)的取值范围为
9、图 41 中正方形 G， 那么“两数之和 使(x，y)的取值范围为图 41 中阴影部分 D，本题为等概型几何概率题，所求概率为 ，而 G的面积为 1，D 的面积为 1- 08 2 =068，故 6.设两两相互独立的三事件 A，B 和 C满足条件：ABC=，P(A)=P(B)：P(C) ，且已知 P(ABC)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由已知知：P(ABC)=0 P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C) 若记 P(A)=x，可得 =P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P
10、(BC)+P(ABC)=3x-3x 2 解得 x= (由题意，舍去)和 7.设随机变量 X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X 2 在(0，4)内的概率分布密度 f Y (y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：Y 的分布函数 F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)=0 是 X的概率密度 8.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(1，0；1，1；0)，则 PXY-Y0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：由题意可知 XN(1，1)，YN(0，1)，且 X与 Y
11、独立，可得 X-1N(0，1)，于是 P(Y0)=P(y0)=12，P(X-10)=P(X-10)=12，可得 P(XY-Y0)=Py(X-1)0=PY0，X-10)+PY0，X-109.设(X，Y)在 D：|x|+|y|a(a0)上服从均匀分布，则 E(X)= 1，E(Y)= 2，E(XY)= 3（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析：D 的面积为 2a 2 ，故(X，Y)的概率密度为： 10.设总体 XN(， 2 )，从 X中抽得容量为 16的简单样本，S 2 为样本方差，则 D(S 2 )=
12、1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：11，分数：26.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设考生的报名表来自三个地区，各有 10份、15 份、25 份报名表，其中女生表分别为 3份、7 份、5 份。现随机抽一个地区的报名表，从中先后任取 2份（分数：4.00）(1).求先取的一份是女生表的概率；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A i =(取的是第 i区的报名表，i=1，2，3，B i =从报名表中第 i次取的是女生表)，i=1，2，则 )解析：(2).已知后取的一份是男生表，求先取的一份是女生
13、表的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.袋中有 a白 b黑共 a+b只球，现从中随机、不放回地一只一只地取球，直至袋中所剩之球同色为止，求袋中所剩之球全为白球的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：我们将球一只一只地全部取完(这不影响所求之概率)，则 P袋中全剩白球)=P(最后一只取白球)= )解析：13.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) (2) Y的分布函数为 F Y (y)=PYy)=Pe -|X| y) 显然，y0时，F Y (y)=0，y1 时，F Y (y)=1，这时 f Y (y)=F“ Y (y)=0，
14、当 0y1 时，F Y (y)=p-|X|lny=P|X|-lny=1-PlnyX-lny=1- lny -lny f(x)dx，则 f Y (y)=F“ Y (y)=- f(-lny)+f(lny)，注意到 f(x)是一偶函数，故 )解析：14.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：关于 X的边缘密度为 f X (x)= - + f(x，y)dy若|x|1，则 f X (x)=0；若|x|1，则 f X (x)= 关于 Y的边缘密度为 f Y (y)= - x f(x，y)dx 即 X与 y不独立 而(|X|，|Y|)的分布函数为 F(x，y)=P(
15、|X|x，|y|y 当 x0 或 y0 时，f(x，y)=0； 当x0，y0 时，F(x，y)=p-xXx，-yYy= -x x du -y y f(u，v)dv 当 x1,y1 时，F(x，y)= -1 1 du -1 1 =1； 当 0x1，y1 时，F(x，y)= -x x du -1 1 dv=x； 当 x1，0y1 时，F(x，y)= -1 1 du -y y dv=y； 当 0x1，0y1 时，F(x，y)= -x x du -y y dv=xy。 于是，关于|X|的(边缘)分布函数为： 而关于|Y|的(边缘)分布函数为： 可见 F |X| (x)F |Y| (x，y)=F(x，y
16、) )解析：15.设 X服从参数为 2的指数分布，求 Y=1-e -2x 的概率密度 f Y (y)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的概率密度为：f X (x)= Y的分布函数 F Y (y)=P(Yy)=P(1-e -2x xy)=P(e -2x x1-y)，1-y0 即 y1 时，F Y (y)=1，f Y (y)=0；1-y0 即 y1 时，F Y (y)=P-2Xln(1-y)=PX ln(1-y)= f X (x)dxf Y (y)=F“ Y (y)= ，故 f Y (y)= )解析：设 和 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 的分布律为 P(=i)=13，
17、i=1，2，3又设 X=max(，)，Y=min(，)（分数：4.00）(1).写出二维随机变量(X，Y)的分布律；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(X，Y)的分布律见下表 )解析：(2).求 EX（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(X，Y)的分布律可得关于 X的边缘分布律为： 故 EX= )解析：16.当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在 04 至 06 之间的概率不小于09？试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设抛掷 n次硬币，正面出现 X次，则 XB(n，05)，现要求P(04 06)09，即 P
18、(04nX06n)09，(1)用切比雪夫不等式：P(04nX06n)=P(|X-05n|01n) 09，得 n250，(2)用中心极限定理：P(04nX06n)= 09，得 )解析：设总体 X的分布函数为： （分数：4.00）(1). 的矩估计量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：总体 X的概率密度为： )解析：(2). 的最大似然估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：似然函数为 当 x 1 ，x n 1 时， lnL=nln-(+1)ln(x 1 x n ) )解析：17.设总体的密度为： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩估计：EX= ；最大似然估计：似然函数为 )解析：18.一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为 R：1，现有放回地一个接一个地抽球，直到抽到黑球为止，记 X为所抽的白球数，这样做了 n次以后，我们获得一组样本：X 1 ，X 2 ，X n 。基于此，求 R的最大似然估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，总体 X的分布律为：PX=k= ，k=0，1，2，似然函数为 L= )解析：
