1、考研数学一（高等数学）-试卷 72 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 g(x)= 0 x f(u)du，其中 f(x)= （分数：2.00）A.单调减少B.无界C.连续D.有第一类间断点3.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（分数：2.00）A. a x f(t)dtB. -x a f(t)dtC. -x 0 f(t)dt x 0 f(t)dtD. -x x tf(t)dt4.设函数 f(x)连续
2、，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x tf(t)一 f(一 t)dtB. 0 x tf(t)+f(一 t)dtC. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f 2 (t)dt二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.maxx+2，x 2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)满足等式 xf“(x)一 f(x)=
3、（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设 S(x)= 0 x costdt (1)证明：当 nx(n+1) 时，2nS(x)2(n+1)； (2)求 （分数：2.00）_14.设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明： （分数：2.00）_15.设 f(x)在0，1上连续，f(0)=0， 0 1 f(x)dx=0证明：存在 (0，1)，使得 0 f(x)dx=f()（分数：2.00）_16.设 f(x)在(一 a，a)(a0)内连续，且 f“(0)=2 (1)证
4、明：对 0xa，存在 01，使得 0 x f(t)dt+ 0 -x f(t)dt=xf(x)一 f(一 x)； (2)求 （分数：2.00）_17.设 a n = （分数：2.00）_18.设 f(x)有界，且 f“(x)连续，对任意的 x(一，+)有f(x)+f“(x)1证明：f(x)1（分数：2.00）_19.设 f(x)在(一，+)上有定义，且对任意的 x，y(一，+)有f(x)一 f(y)xy证明： a b f(x)dx 一(b 一 a)f(a) （分数：2.00）_20.设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明： （分数：2.00）_21.设 f(x)
5、在a，b上连续且单调增加，证明： a b xf(x)dx （分数：2.00）_22.设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少证明： 1 n+1 f(x)dx （分数：2.00）_23.设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_24.设 f“(x)在0，1上连续且f“(x)M证明： （分数：2.00）_25.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0令 （分数：2.00）_26.设 f“(x)在0，1上连续，且 f(1)一 f(0)=1证明： 0 1 f“ 2 (x)dx1（分数：2.00）_27.设 f(x
6、)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： a b f 2 (x)dx （分数：2.00）_28.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明： f(x) （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 72 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 g(x)= 0 x f(u)du，其中 f(x)= （分数：2.00）A.单调减少B.无界C.连续 D.有第一类间断点解析：解析：因为 f(x)在(0，2)内只有第一类间断点，所以
7、g(x)在(0，2)内连续，选(C)3.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（分数：2.00）A. a x f(t)dtB. -x a f(t)dtC. -x 0 f(t)dt x 0 f(t)dtD. -x x tf(t)dt 解析：解析：设 (x)= -x x tf(t)dt=2 0 x tf(t)dt， (x+T)=2 0 x+T tf(t)dt=2 0 x tf(t)dt+2 x x+T tf(t)dt(x)，选(D)4.设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x tf(t)一 f(一
8、 t)dtB. 0 x tf(t)+f(一 t)dt C. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f 2 (t)dt解析：解析：因为 tf(t)一 f(t)为偶函数，所以 0 x tf(t)一 f(t)dt 为奇函数，(A)不对；因为 f(t 2 )为偶函数，所以 0 x f(t 2 )dt 为奇函数，(C)不对；因为不确定 f 2 (t)的奇偶性，所以(D)不对，令 F(x)= 0 x tf(t)+f(t)dt，F(x)= 0 -x tf(t)+f(一 t)dt= 0 x (一 u)f(u)+f(u)(一 du)=F(x)，选(B)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.= 1 （分
9、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.maxx+2，x 2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：11.设 f(x)满足等式 xf“(x)一 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:
10、_ （正确答案：正确答案：2*）解析：解析：三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设 S(x)= 0 x costdt (1)证明：当 nx(n+1) 时，2nS(x)2(n+1)； (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 nx(n+1) 时， 0 n costdt 0 x costdt 0 (n+1) costdt， 0 n costdt=n 0 cosxdt= =2n， 0 (n+1) costdt=2(n+1)，则 2nS(x)2(n+1) (2) )解析：14.设 f(x)在
11、0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nTx(n+1)T， 因为 f(x)0，所以 0 nT f(t)dt 0 x f(t)dt 0 (n+1)T f(t)dt， )解析：15.设 f(x)在0，1上连续，f(0)=0， 0 1 f(x)dx=0证明：存在 (0，1)，使得 0 f(x)dx=f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)= ，因为 f(x)在0，1上连续，所以 (x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，又 (0)=0，(1)= 0 1 f(x)dx=0，由罗尔定理，存在 (0
12、，1)，使得 “()=0，而 “(x)= )解析：16.设 f(x)在(一 a，a)(a0)内连续，且 f“(0)=2 (1)证明：对 0xa，存在 01，使得 0 x f(t)dt+ 0 -x f(t)dt=xf(x)一 f(一 x)； (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 F(x)= 0 x f(t)dt+ 0 -x f(t)dt，显然 F(x)在0，x上可导，且 F(0)=0，由微分中值定理，存在 01，使得 F(x)=F(x)一 F(0)=F“(x)x，即 0 x f(t)dt+ 0 -x f(t)dt=xf(x)一 f(x) (2) )解析：17.设 a n
13、= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 f(x)有界，且 f“(x)连续，对任意的 x(一，+)有f(x)+f“(x)1证明：f(x)1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x f(x)，则 “(x)=e x f(x)+f“(x)， 由f(x)+f“(x)1得“(x)e x ，又由 f(x)有界得 (一)=0，则 (x)=(x)一 (一)= - x “(x)dx，两边取绝对值得 e x f(x) - x “(x)dx - x e x dx=e x ，所以f(x)1)解析：19.设 f(x)在(一，+)上有定义，且对任意的 x，y(一，+)有f(x)
14、一 f(y)xy证明： a b f(x)dx 一(b 一 a)f(a) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(b 一 a)f(a)= a b f(a)dx， 所以 a b f(x)dx 一(b 一 a)f(a)= a b f(x)f(a)dx a b f(x)一 f(a)dx a b (xa)dx= )解析：20.设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0mf(x)M，所以 f(x)一 m0，f(x)一 M0，从而 )解析：21.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： a b xf(x)dx （
15、分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少证明： 1 n+1 f(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 n+1 f(x)dx= 1 2 f(x)dx+ 2 3 f(x)dx+ n n+1 f(x)dx， 当x1，2时，f(x)f(1)，两边积分得 1 2 f(x)dx厂(1)， 同理 2 3 f(x)dxf(2)， n n+1 f(x)dxf(n)，相加得 1 n+1 f(x)doc f(k)； 当 x1，2时，f(2)f(x)，两边积分得f(2) 1 2 f(x)dx， 同理 f(3) 2 3 f(x)dx，f(n)
16、n1 n f(x)dx， 相加得 f(2)+f(n) 1 n f(x)dxf(x)dx，于是 )解析：23.设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 k f(x)dx 一 k 0 1 f(x)dx= 0 k f(x)dx 一 k 0 k f(x)dx+ k 1 f(x)dx =(1 一 k) 0 k f(x)dxk k 1 f(x)dx=k(1 一 k)f( 1 )一 f( 2 ) 其中 1 0，k， 2 k，1因为 0k1 且 f(x)单调减少， 所以 0 k f(x)dxk 0 1
17、 f(x)dx=k(1 一 k)f( 1 )一 f( 2 )0，故 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx 又固为 f(x)单调减少，所以 f(kx)f(x)，两边积分得 0 1 f(kx)dx 0 1 f(x)dx， 故 k 0 1 f(kx)dxk 0 1 f(x)dx，即 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx)解析：24.设 f“(x)在0，1上连续且f“(x)M证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f(x)一 f(0)=f“()x，其
18、中 介于 0 与 x 之间， 因为 f(0)=0，所以f(x)=f“()xMx，x0，a， 从而 0 a f(x)dx 0 a f(x)dx 0 a Mxdx= )解析：26.设 f“(x)在0，1上连续，且 f(1)一 f(0)=1证明： 0 1 f“ 2 (x)dx1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1=f(1)一 f(0)= 0 1 f“(x)dx， 得 1 2 =1=( 0 1 f“(x)dx) 2 0 1 1 2 dx 0 1 f“ 2 (x)dx= 0 1 f“ 2 (x)dx，即 0 1 f“ 2 (x)dx1)解析：27.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： a b f 2 (x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(a)=0，得 f(x)一 f(a)=f(x)= a x f“(t)dt，由柯西不等式得 f 2 (x)=( a x f“(t)dt) 2 a x 1 2 dt a x f“ 2 (t)dt(x 一 a) a b f“ 2 (x)dx 积分得 a b f 2 (x)dx a b (xa)dx a b f“ 2 (x)dx= )解析：28.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明： f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
