1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 223 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)连续且 F(x)= （分数：2.00）A.a 2B.a 2 f(a)C.0D.不存在3.设 f(x)连续，且 F(x)= f(t)dt，则 F (x)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 x 2 +y 2 2ay(a0)，则 （分数：2.00）A. 0 d 0 2acos f(rcos，rsin)rdrB. 0 d 0 2acos f(rcos，rsi
2、n)rdrC.D.5.设幂级数 的收敛半径分别为 R 1 ，R 2 ，且 R 1 R 2 ，设 （分数：2.00）A.R 0 =R 2B.R 0 =R 1C.R 0 R 2D.R 0 R 2二、填空题(总题数：7，分数：14.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.设曲线 y=lnx 与 y= （分数：2.00）填空项 1:_8. 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_10.设 y=y(x)由 x 1 xy e t2 dt=0 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 L： 从 z 轴正向看，L 为逆时针，则 （分数：2.0
3、0）填空项 1:_12.微分方程 2y =3y 2 满足初始条件 y(一 2)=1，y (一 2)=1 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.求 （分数：2.00）_15.设 a n = ，证明：a n 收敛，并求 （分数：2.00）_16.设 f(x)在 x=a 处二阶可导，证明： （分数：2.00）_17.证明：当 x1 时， （分数：2.00）_18.计算 （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.求 （分数：2.00）_21.设 f(x)= 0 x e cost
4、dt，求 0 f(x)cosxdx（分数：2.00）_22.求过点 A(一 1，2，3)垂直于 L： （分数：2.00）_求 z=f(x，y)满足：dz=2xdx 一 4ydy 且 f(0，0)=5（分数：4.00）(1).求 f(x，y)（分数：2.00）_(2).求 f(x，y)在区域 D=(x，y)x 2 +4y 2 4)上的最小值和最大值（分数：2.00）_23.设 z=f(x，y)由 f(x+y，xy)=x 2 一 y 2 一 xy 确定，求 dz（分数：2.00）_24.计算 I= (x 2 +y 2 +z)dS，其中 S 是圆锥面 z= （分数：2.00）_25.求幂级数 （分数
5、：2.00）_26.求幂级数 （分数：2.00）_27.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 2 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 223 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)连续且 F(x)= （分数：2.00）A.a 2B.a 2 f(a) C.0D.不存在解析
6、：解析： 3.设 f(x)连续，且 F(x)= f(t)dt，则 F (x)=( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：F (x)=f(lnx)(lnx) 一 4.设 x 2 +y 2 2ay(a0)，则 （分数：2.00）A. 0 d 0 2acos f(rcos，rsin)rdrB. 0 d 0 2acos f(rcos，rsin)rdr C.D.解析：解析：令 其中 0，0r2asin，则 5.设幂级数 的收敛半径分别为 R 1 ，R 2 ，且 R 1 R 2 ，设 （分数：2.00）A.R 0 =R 2B.R 0 =R 1 C.R 0 R 2D.R 0 R 2解析：解析：
7、选(B)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设曲线 y=lnx 与 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=*1）解析：解析：设当 x=a 时，两条曲线相切，由 得 a=e 2 ，两条曲线的公共切线为 ylne 2 = (x 一 e 2 )，整理得切线为 y= 8. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 2 y 2 =5(1+z 2 )）解析：解析：设 M(x，y
8、，z)为曲面上的任一点，其所在的圆对应的直线 L 上的点为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z)所在圆的圆心为 T(0，0，z)，由MT=M 0 T得 x 2 +y 2 =x 0 2 +y 0 2 ，故所求的曲面为：x 2 +y 2 =(1+2z) 2 +(2 一 z) 2 ，即：x 2 y 2 =5(1+z 2 )10.设 y=y(x)由 x 1 xy e t2 dt=0 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e1）解析：解析：当 x=0 时，y=1，x 1 xy e t2 dt=0 两边对 x 求导，得 1 =0，将 x=0，y=1 代入得 11.设 L： 从 z
9、 轴正向看，L 为逆时针，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：16）解析：解析：点 O 到平面 x+y+z= 的距离为 d= =3 截口圆的半径为 r= =4 设 L 所在的截口圆为，取上侧，法向量为 n=1，1，1， 法向量的方向余弦为 cos=cos=cos= ，由斯托克斯公式得12.微分方程 2y =3y 2 满足初始条件 y(一 2)=1，y (一 2)=1 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=*）解析：解析：令 y =p，则 y = ，则原方程化为 =3y 2 ，解得 p 2 =y 3 +C 1 ， 由 y(一2)=1，y
10、(一 2)=1，得 C 1 =0，所以 y = =x+C 2 ， 再由 y(一 2)=1，得 C 2 =0，所求特解为 x= 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x0 时，由 1 一 cosx x 2 得 )解析：15.设 a n = ，证明：a n 收敛，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然a n 单调增加，现证明：a n 3， 当 n=1 时，a 1 = 3， 设 n=k时，a k 3， 当 n=k+1 时，a k1 = =3 由归纳法原理，对一切的自然数
11、 n，有 a n 3，所以 存在 )解析：16.设 f(x)在 x=a 处二阶可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.证明：当 x1 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 xlnx，f(1)=2ln20， 因为 f (x)=ln(1+x)+1lnx一 1=ln(1+ )0(x1)， 所以 f(x)在1，+)上单调增加， 再由 f(1)=2ln20 得当 x1 时，f(x)0，即 )解析：解析：当 x1 时，18.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(
12、正确答案： )解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)= 0 x e cost dt，求 0 f(x)cosxdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 cosxdx= 0 f(x)d(sinx)=f(x)sinx 0 一 0 f (x)sinxdx =一 0 f (x)sinxdx= 0 e cosx sinxdx= 0 e cosx d(cosx) =e cosx 0 =e 1 一 e)解析：22.求过点 A(一 1，2，3)垂直于 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线 L： 的方向向量为 s=4，5，6， 平面 ：7x
13、+8y+9z+10=0 的法向量为 n 0 =7，8，9， 因为所求直线与已知直线垂直及与已知平面平行，所以所求直线与s=4，5，6及 n 0 =7，8，9都垂直，于是所求直线的方向向量为 T=sn 0 =一 3，6，一 3，所求直线为 )解析：求 z=f(x，y)满足：dz=2xdx 一 4ydy 且 f(0，0)=5（分数：4.00）(1).求 f(x，y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 dz=2xdx 一 4ydy 得 dz=d(x 2 一 2y 2 )， 从而 f(x，y)=x 2 2y 2 +C，再由f(0，0)=5 得 f(x，y)=x 2 2y 2 +5)解析：(2
14、).求 f(x，y)在区域 D=(x，y)x 2 +4y 2 4)上的最小值和最大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x 2 +4y 2 4 时，由 ； 当 x 2 +4y 2 =4 时，令 )解析：23.设 z=f(x，y)由 f(x+y，xy)=x 2 一 y 2 一 xy 确定，求 dz（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 代入得 )解析：24.计算 I= (x 2 +y 2 +z)dS，其中 S 是圆锥面 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲面 S：z= 在 xOy 平面上的投影为 D：x 2 +y 2 1， )解析：25.求幂级数 （分数：2.00）
15、_正确答案：(正确答案：由 =1 得收敛半径为 R=1，当 x=1 时级数 收敛，故级数的收敛域为一 1，1 令 S(x)= ， S(0)=1； 当 x0 时， 故 S(x)= )解析：26.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =1 得该级数的收敛半径为 R=1，因为当 x=1 时， (2n+1)(1) n 发散，所以级数的收敛域为(一 1，1) 令 S(x)= (2n+1)x n 因为 ， 将 x 2 换成 x 得S(x)= )解析：27.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 2 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对曲线 L 1 ，由题意得 =2，解得 y=x(2x+C 1 )，因为曲线 L 1 过点(1，1)，所以 C 1 =一 1，故 L 1 ：y=2x 2 一 x 对曲线 L 2 ，由题意得 ， 因为曲线 L 2 过点(1，1)，所以 C 2 =一 1，故 L 2 ：y=2 一 由 2x 2 一 x=2 一 得两条曲线的交点为( ，0)及(1，1)， 故两条曲线所围成区域的面积为 A= )解析：
