1、考研数学三（多元函数微积分学）-试卷 3 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 z=f(x，y)= （分数：2.00）A.可微B.偏导数存在，但不可微C.连续，但偏导数不存在D.偏导数存在，但不连续3.设 z=f(x，y)= （分数：2.00）A.偏导数存在且连续B.偏导数不存在，但连续C.偏导数存在，可微D.偏导数存在，但不可微4.设 f(x，y)=x-y(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处连续且 (0，0)=0，则 f(x，y)在点(0，
2、0)处（分数：2.00）A.连续，但偏导数不存在B.不连续，但偏导数存在C.可微D.不可微5.已知(axy 3 -y 2 cosx)dx+(1+bysinx+3x 2 y 2 )dy 为某二元函数 f(x，y)的全微分，则常数（分数：2.00）A.a=-2，b=2B.a=2，b=-2C.a=-3，b=3D.a=3，b=-36.设 z=x 2 +y 2 -2lnx-2lny(x0，y0)，则下列结论正确的是（分数：2.00）A.函数 z 有四个驻点，且均为极小值点B.函数 z 有四个驻点，且均为极大值点C.函数 z 有四个驻点，其中两个为极大值点，两个为极小值点D.函数 z 有二个驻点，其中一个
3、为极大值点，一个为极小值点7.设平面区域 D 1 =(x，y)x 2 +y 2 R 2 ，D 2 =(x，y)x 2 +y 2 R 2 ，x0，D 3 =(x，y)x 2 +y 2 R 2 ，x0，y0，则必有 （分数：2.00）A.B.C.D.8.设平面区域 D 1 =(x，y)x+y1，D 2 =(x，y)x 2 +y 2 1，D 3 =(x，y) （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 B.I 1 I 3 I 2 C.I 3 I 1 I 2 D.I 3 I 2 I 1 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.已知函数 z=F(X，Y)在(1，1)处可微，且 F(1，1)=1，
4、 =3设 (x)=fx，f(x，x)，则（分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)= D=(x，y)-x+，-y+，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 D=(x，y)2xx 2 +y 2 ，0yx2，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.交换积分次序： （分数：2.00）填空项 1:_13.累次积分 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.计算累次积分： （分数：2.00）_16.计算二重积分 I= ，其中 D 是由 y=1，y=x 2 及 x=0 所围区域(
5、如图 433) （分数：2.00）_17.计算二重积分 ，其中 D 是由 y=x，y=0，x=1 所围成的区域(如图 434) （分数：2.00）_18.计算 （分数：2.00）_19.计算二重积分 ，其中积分区域 D 是由直线 x=0，x=2，y=2 与曲线 y= （分数：2.00）_20.计算二重积分 （分数：2.00）_21.计算下列二重积分： () ，其中 D 是由曲线 r= 围成的区域； () （分数：2.00）_22.计算下列二重积分： () x 2 +y 2 -1d，其中 D=(x，y)0x1，0y1； () （分数：2.00）_23.设函数 计算二重积分 （分数：2.00）_2
6、4.求下列二重积分： ()I= ，其中 D=(x，y)0x1，0y1； ()I= （分数：2.00）_25.设函数 f(x)在区间0，1上具有连续导数，f(0)=1，且满足 （分数：2.00）_26.计算二重积分 （分数：2.00）_27.设 D=(x，y)0x+，0y+，求 （分数：2.00）_28.设 D=(x，y)-x+，-y+，求 （分数：2.00）_29.计算下列函数指定的偏导数： ()设 u=f(2x-y)+g(x，xy)，其中 f 具有二阶连续导数，g 具有二阶连续偏导数，求 ()设 u=u(x，y)由方程 u=(u)+ 确定，其中 可微，P 连续，且 “(u)1，求 （分数：2
7、.00）_30.已知函数 x=u(x，y)e ax+by ，其中 u(x，y)具有二阶连续偏导数，且 （分数：2.00）_31.设函数 f(x)二阶可导，g(y)可导，且 F(x，y)=fx+g(y)，求证： （分数：2.00）_考研数学三（多元函数微积分学）-试卷 3 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 z=f(x，y)= （分数：2.00）A.可微B.偏导数存在，但不可微 C.连续，但偏导数不存在D.偏导数存在，但不连续解析：解析：设z=f
8、(x，y)-f(0，0)，则可知z= 这表明 f(x，y)= 在点(0，0)处连续 因 f(x，0)=0 ，所以 f“ x (0，0)= =0，同理 f“ y (0，0)=0 令 =z-f“ x (0，0)x-f“ y (0，0)y= ，当(x，y)沿 y=x 趋于点(0，0)时 3.设 z=f(x，y)= （分数：2.00）A.偏导数存在且连续B.偏导数不存在，但连续C.偏导数存在，可微 D.偏导数存在，但不可微解析：解析：由偏导数定义可知 这说明 f“ x (0，0)存在且为 0，同理 f“ y (0，0)存在且为 0 又 4.设 f(x，y)=x-y(x，y)，其中 (x，y)在点(0，
9、0)处连续且 (0，0)=0，则 f(x，y)在点(0，0)处（分数：2.00）A.连续，但偏导数不存在B.不连续，但偏导数存在C.可微 D.不可微解析：解析：逐项分析： ()x-y在(0，0)连续，(x，y)在点(0，0)处连续 f(x，y)在点(0，0)处连续5.已知(axy 3 -y 2 cosx)dx+(1+bysinx+3x 2 y 2 )dy 为某二元函数 f(x，y)的全微分，则常数（分数：2.00）A.a=-2，b=2B.a=2，b=-2 C.a=-3，b=3D.a=3，b=-3解析：解析：依题设由 df(x，y)=f“ x (x，y)dx+f“ y (x，y)dy =(axy
10、 3 -y 2 cosx)dx+(1+bysinx+3x 2 y 2 )dy， 可知 f“ x (x，y)=axy 3 -y 2 cosx，f“ y (x，y)=1+bysinx+3x 2 y 2 ， 所以 f“ xy (x，y)=3axy 2 -2ycosx，f“ yx (x，y)=bycosx+6xy 2 由 f“ xy (x，y)和 f“ yx (x，y)的表达式可知它们都是连续函数，根据当混合偏导数连续时与求导次序无关的定理即得 f“ xy (x，y)f“ yx (x，y)从而 a=2，b=-2故应选(B)6.设 z=x 2 +y 2 -2lnx-2lny(x0，y0)，则下列结论正确
11、的是（分数：2.00）A.函数 z 有四个驻点，且均为极小值点 B.函数 z 有四个驻点，且均为极大值点C.函数 z 有四个驻点，其中两个为极大值点，两个为极小值点D.函数 z 有二个驻点，其中一个为极大值点，一个为极小值点解析：解析： 所以有四个驻点(-1，1)，(-1，-1)，(1，-1)，(1，1)又 7.设平面区域 D 1 =(x，y)x 2 +y 2 R 2 ，D 2 =(x，y)x 2 +y 2 R 2 ，x0，D 3 =(x，y)x 2 +y 2 R 2 ，x0，y0，则必有 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由积分区域和被积函数的奇偶性判断可知(B)正确8.设平面
12、区域 D 1 =(x，y)x+y1，D 2 =(x，y)x 2 +y 2 1，D 3 =(x，y) （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 B.I 1 I 3 I 2 C.I 3 I 1 I 2 D.I 3 I 2 I 1 解析：解析：易见三个积分区域 D 1 ，D 2 ，D 3 各自分别关于 x 轴对称，又各自分别关于 y 轴对称，记它们各自在第一象限的部分区域为 D 11 ，D 21 ，D 31 再利用被积函数 f(x，y)=xy分别关于变量 x与变量 y 都是偶函数，从而有 因为三个积分区域 D 11 ，D 21 ，D 31 的左边界都是 y 轴上的直线段(x，y)x=0，0y1，
13、下边界都是 x 轴上的直线段(x，y)0x1，y=0，而 D 11 的上边界是直线段(x，y)0x1，y=1-x，D 21 的上边界是圆弧(x，y)0x1，y= ，D 31 的上边界是曲线弧(x，y)0x1， 不难发现当 0x1 时 即三个积分区域 D 11 ，D 21 与 D 31 的包含关系是 D 31 D 21 ，如图 41从而利用被积函数xy非负且不恒等于零即知三个二重积分的大小关系应是 I 3 I 1 I 2 ，即应选(C) 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.已知函数 z=F(X，Y)在(1，1)处可微，且 F(1，1)=1， =3设 (x)=fx，f(x，x)，则（分数
14、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：51）解析：解析：10.设 f(x)= D=(x，y)-x+，-y+，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 故在区域 D 1 =(x，y)0y1，-yx1-y(如图 42)上 f(y)=y，f(x+y)=x+y，在 D 1 的外部 f(y)=0，f(x+y)=0于是 11.设 D=(x，y)2xx 2 +y 2 ，0yx2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：采用极坐标计算首先画出 D 的图形(如图 43)，x 2 +y 2 =2x 的极坐标方程为p=2cos；
15、x=2 的极坐标方程为 p=2sec；y=x 的极坐标方程为 = ，故 12.交换积分次序： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设知，积分区域由 x=0，x=1，y= 2 ，y=3-x 所围成，即积分区域 D=D 1 +D 2 +D 3 (如图 44)，且 D 1 =(x，y)0y1，0x ， D 2 =(x，y)1y2，0x1， D 3 =(x，y)2y3，0x3-y， 于是交换积分次序得 13.累次积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：如图 45，在(，p)平面上交换积分次序，有三、解答题(总题数：18，分数
16、：36.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.计算累次积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由累次积分限知：0x1 时 1yx+1；1x2 时 xyx+1；2x3 时xy3，于是积分区域 D 如图 432 所示，因此 D 可表示为 D=(x，y)1y3，y-1xy，从而)解析：解析：本题实质上是二重积分的计算，而且已经化成了累次积分，但由于这里项数较多，计算起来较复杂，所以不宜先对 y 积分，必须先确定积分区域 D，然后再交换积分顺序16.计算二重积分 I= ，其中 D 是由 y=1，y=x 2 及 x=0 所围区域(如图 433
17、) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：被积函数中含有 ，若先对 y 积分，其原函数无法用初等函数表示，因此先对 x 积分 )解析：17.计算二重积分 ，其中 D 是由 y=x，y=0，x=1 所围成的区域(如图 434) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因被积函数中含 ，必须先用倍角公式化成一次幂，即 而D=(x，y)0x1，0yx，于是 )解析：解析：被积函数18.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 D 如图 435，区域 D 的上边界是方程为(x-a) 2 +(y-a) 2 =a 2 的下半圆上的一段弧，它的方程为 ，下边界方程为 y=0，故区域 D 可
18、表为 )解析：19.计算二重积分 ，其中积分区域 D 是由直线 x=0，x=2，y=2 与曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图 436 所示，D 的不等式表示是D=(x，y)0x2， y2，从而 )解析：20.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 如图 437 所示，用直线 y=x+2，y=-x 将 D 分成 D 1 ，D 2 与 D 23 ，于是可得 )解析：21.计算下列二重积分： () ，其中 D 是由曲线 r= 围成的区域； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()积分域 D 见图 438D 的极坐标表示是：0 ，0
19、rsin2，于是 ()在极坐标系 x=Feos，y=rsin 中积分区域 D= ，如图 439，故 )解析：解析：第()小题的积分域涉及圆，自然应该用极坐标系第()小题尽管与圆无关，但是若用直角坐标系，边界曲线的表达式很复杂，所以也应该用极坐标系22.计算下列二重积分： () x 2 +y 2 -1d，其中 D=(x，y)0x1，0y1； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()将积分区域分块，如图 440 设 D 1 =(x，y)x 2 +y 2 1D，D 2 =(x 2 ，y 2 )x+y1D，则 D=D 1 +D 2 ，且可分块计算二重积分 用极坐标x=rcos，y=rsin
20、 计算第一个二重积分由于 计算第二个二重积分由于 D 2 =D-D 1 ，故 ()依图 441 所示将区域 D 分割，则 )解析：23.设函数 计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图 442 所示 不难发现，区域 D 分别关于 x 轴和 y 轴对称，而被积函数关于 x 和 y 都是偶函数，从而原积分可化为在第一象限积分的 4 倍，即 为计算 D 2 上积分的方便，引入极坐标：x=rcos，y=rsin，则 x+y=1 的方程为 ，x+y=2 的方程为 )解析：24.求下列二重积分： ()I= ，其中 D=(x，y)0x1，0y1； ()I= （分数：2.00
21、）_正确答案：(正确答案：考察积分区域与被积函数的特点，选择适当方法求解 ()尽管 D 的边界不是圆弧，但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便 D 的边界线 x=1 及 y=1 的极坐标方程分别为 ()在积分区域 D 上被积函数分块表示，若用分块积分法较复杂因 D 是圆域，可用极坐标变换，转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形这时可利用周期函数的积分性质 作极坐标变换x=rcos，y=rsin，则 D=(r，)02，0r1从而 )解析：25.设函数 f(x)在区间0，1上具有连续导数，f(0)=1，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D t 如图 443 所示，计算
22、可得 从而 f(t)满足 将(*)式两端对 t 求导数得 解微分方程(*)又可得 代入 f(0)=1 可确定常数 C=16，故 )解析：26.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：无界区域 D 的左边界是 y 轴，右边界是 y=x，而 y 的取值范围是 0y+(如图444)不难发现，当 b+时 D b =Dyb=(x，y)0yb，0xy 将趋向于无界区域 D，从而 )解析：27.设 D=(x，y)0x+，0y+，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 R0，且 D R =Dx 2 +y 2 R 2 =(x，y)x 2 +y 2 R 2 ，x0，y0=(r，)0 ，0
23、rR，于是 )解析：28.设 D=(x，y)-x+，-y+，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 R0，且 D R =Dx，y)x 2 +y 2 R 2 =(x，y)x 2 +y 2 R 2 ，不难发现当 R+时 D R D引入极坐标系(r，)满足 x=Fcos，y=rsin，可得 )解析：29.计算下列函数指定的偏导数： ()设 u=f(2x-y)+g(x，xy)，其中 f 具有二阶连续导数，g 具有二阶连续偏导数，求 ()设 u=u(x，y)由方程 u=(u)+ 确定，其中 可微，P 连续，且 “(u)1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() =-2f“+xg“ 12 +g“ 2 +xyg“ 22 ()在 u=(u)+ 两边分别对 x，y 求偏导数可得 ()在方程两边分别对 x 求偏导数得 )解析：30.已知函数 x=u(x，y)e ax+by ，其中 u(x，y)具有二阶连续偏导数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设函数 f(x)二阶可导，g(y)可导，且 F(x，y)=fx+g(y)，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
