1、考研数学三（多元函数微积分学）-试卷 5 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：30，分数：60.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_2.设函数 f(x，y)= ，且 g 有二阶导数，求证： （分数：2.00）_3.已知函数 f(x，y，z)=x 2 y 2 z 及方程 x+y+z-3+e -3 =e -(x+y+z) (*) ()如果 x=x(y，z)是由方程(*)确定的隐函数满足 x(1，1)=1，又 u=f(x(y，z)y，z)，求 ()如果 z=z(x，y)是由方程(*)确定的隐函数满足 z(1，1)=1，又 w
2、=f(x，y，z(x，y)，求 （分数：2.00）_4.设 z=f(x，y，u)，其中 f 具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程 u 3 -5xy+5u=1 确定求 （分数：2.00）_5.设 u=f(x，y，z)，(x 2 ，e y ，z)=0，y=sinx 确定了函数 y=y(x)，其中 f， 都有一阶连续偏导数，且 （分数：2.00）_6.设 y=f(x，t)，且方程 F(x，y，t)=0 确定了函数 t=t(x，y)，求 （分数：2.00）_7.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，函数 g(y)连续可导，且 g(y)在 y=1 处取得极值 g(1)=2求复合函数 z=f(xg(y
3、)，x+y)的二阶混合偏导数 （分数：2.00）_8.设 f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且 f“ y (a，b)0，证明由方程 f(x，y)=0 在x=a 的某邻域所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值 b=(a)的必要条件是： f(a，b)=0，f“ x (a，b)=0， 且当 r(a，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值，其中 （分数：2.00）_9.求使得不等式 （分数：2.00）_10.试求多项式 P(x)=x 2 +ax+b，使积分 （分数：2.00）_11.某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 x
4、 和 y(单位：吨)时的总收益函数为 R(x，y)=42x+27y-4x 2 -2xy- 2 ，总成本函数为 C(x，y)=36+8x+12y(单位：万元)除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费 2 万元，1 万元 ()在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少吨时总利润最大?总利润是多少? ()当限制排污费用支出总额为 8 万元的条件下，甲、乙两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大总利润是多少?（分数：2.00）_12.生产某种产品需要投甲、乙两种原料，x 1 和 x 2 (单位：吨)分别是它们各自的投入量，则该产品的产出量为 （分数：2.00）_13.已知三角形的
5、周长为 2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形（分数：2.00）_14.证明不等式： （分数：2.00）_15.将下列累次积分交换积分次序： （分数：2.00）_16.计算累次积分 （分数：2.00）_17.计算 （分数：2.00）_18.设区域 D 是由直线 y=x 与曲线 （分数：2.00）_19.求 I= （分数：2.00）_20.计算 （分数：2.00）_21.计算 （分数：2.00）_22.设 f(x，y)= （分数：2.00）_23.设 x=rcos，y=rsin，将如下直角坐标系中的累次积分化为极坐标系中的累次积分 （分数：2.00）_24.计算二重积分
6、 （分数：2.00）_25.交换下列累次积分的积分顺序： （分数：2.00）_26.计算二重积分 （分数：2.00）_27.计算二重积分 （分数：2.00）_28.求 I= （分数：2.00）_29.计算二重积分 （分数：2.00）_30.设 f(x)在a，b上连续，求证： （分数：2.00）_考研数学三（多元函数微积分学）-试卷 5 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：30，分数：60.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x，y)= ，且 g 有二阶导数，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正
7、确答案： )解析：3.已知函数 f(x，y，z)=x 2 y 2 z 及方程 x+y+z-3+e -3 =e -(x+y+z) (*) ()如果 x=x(y，z)是由方程(*)确定的隐函数满足 x(1，1)=1，又 u=f(x(y，z)y，z)，求 ()如果 z=z(x，y)是由方程(*)确定的隐函数满足 z(1，1)=1，又 w=f(x，y，z(x，y)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()依题意， 为 fx(y，z)，y，z对 y 的偏导数，故有 因为题设方程(*)确定 x 为 y，z 的隐函数，所以在(*)两边对 y 求导数时应将 z 看成常量，从而有 在题设方程(*)中将
8、 x 看成常量，对 y 求导，可得 =-1，故有 )解析：解析：f 是 x，y，z 的函数，而 x 和 z 又分别是 y，z 和 x，y 的函数，所以在()中把 x 看成中间变量，在()中把 z 看成中间变量4.设 z=f(x，y，u)，其中 f 具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程 u 3 -5xy+5u=1 确定求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程 u 5 -5xy+5u=1 两端对 x 求导数，得 5u 4 u“ x -5y+5u“ x =0，解得 在上式对 x 求导数时，应注意其中的 f“ 1 ，f“ 3 仍是 x，y，u 的函数，而 u 又是 x，y 的函数，于是
9、)解析：解析：z 是 x，y，z 的函数，而 u 是由方程 u 5 -5xy+5u=1 所确定的 x，y 的隐函数，所以本题是隐函数的复合函数求偏导数的问题5.设 u=f(x，y，z)，(x 2 ，e y ，z)=0，y=sinx 确定了函数 y=y(x)，其中 f， 都有一阶连续偏导数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由复合函数求导法知 其中上式中的 表示由方程 (x 2 ，e sinx ，z)=0 所确定的函数 z=z(x)的导数 由 (x 2 ，e sinx )=0 两端对 x 求导得 将 dz 代入式即得 )解析：6.设 y=f(x，t)，且方程 F(x，y，t)=0 确
10、定了函数 t=t(x，y)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y=f(x，t(x，y)两端对 x 求导得 而 t=t(x，y)由 F(x，y，t)=0 所确定，则 )解析：解析：由本题要求的7.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，函数 g(y)连续可导，且 g(y)在 y=1 处取得极值 g(1)=2求复合函数 z=f(xg(y)，x+y)的二阶混合偏导数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：计算可得 =g(y)f“ 1 (xg(y)，x+y)+f“ 2 (xg(y)，x+y)， =g“(y)f“ 1 (xg(y)，x+y)+g(y)f“ 11 (xg(y)，x+y)
11、.xg“(y)+f“ 12 (xg(y)，x+y)+f“ 21 (xg(y)，x+y).xg“(y)+f“ 22 (xg(y)，x+y) 将 x=1 与 y=1 代入并利用 g(1)=2，g“(1)=0 即得 )解析：8.设 f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且 f“ y (a，b)0，证明由方程 f(x，y)=0 在x=a 的某邻域所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值 b=(a)的必要条件是： f(a，b)=0，f“ x (a，b)=0， 且当 r(a，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值，其中 （分数：2.00）_正确答
12、案：(正确答案：y=(x)在 x=a 处取得极值的必要条件是 “(a)=0按隐函数求导法，“(x)满足 f“ x (x，(x)+f“ y (x，(x)x(x)=0 (*) 因 b=(a)，则有 f(a，b)=0， “(a)= 于是 f“ x (a，b)=0 将(*)式两边对 x 求导得 f“ xx (x，(x)+f“ xy (x，(x)“(x)+ f“ y (x，(x)“(x)+f“ y (x，(x)“(x)=0， 上式中令 x=a，(a)=b，“(a)=0，得 因此当 时，“(a)0，故 b=(a)是极大值； 当 )解析：9.求使得不等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在区域 D
13、=(x，y)x0，y0内 ln(x 2 +y 2 )A(x 2 +y 2 ) 因此使上式成立的常数 4 的最小值就是函数 f(x，y)= 在区域 D 上的最大值令 r=x 2 +y 2 ，则 A 的最小值就是函数 F(r)= 在区间(0，+)内,的最大值计算可得 因此使上式成立的常数 B 的最大值就是函数 g(x，y)=xyln(x 2 +y 2 )在区域 D 上的最小值计算可得 由此可知 g(x，y)在 D 中有唯一驻点 因为在区域 D 的边界(x，y)x=0，y0与(x，y)x0，y=0上函数 g(x，y)=0，而且当 x 2 +y 2 1 时 g(x，y)0，从而 就是 g(x，y)在
14、D 内的最小值即 B 的最大值是 )解析：10.试求多项式 P(x)=x 2 +ax+b，使积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题是要确定 a，b 的值，使积分 取最小值，因此可把定积分看成 a，b 的二元函数求极值 所以点 是极小值点，由于驻点唯一，该点也就是最小值点，故 )解析：11.某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 x 和 y(单位：吨)时的总收益函数为 R(x，y)=42x+27y-4x 2 -2xy- 2 ，总成本函数为 C(x，y)=36+8x+12y(单位：万元)除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费 2 万元，1 万元 ()在不限制排
15、污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少吨时总利润最大?总利润是多少? ()当限制排污费用支出总额为 8 万元的条件下，甲、乙两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大总利润是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据题设知该厂生产这两种产品的总利润函数 L(x，y)=R(x，y)-C(x，y)-2x-y =42x+27y-4x 2 -2xy-y 2 -36-8x-1y-2x-y =32x+14y-4x 2 -2xy-y 2 -36， 求 L(x，y)的驻点：令 可解得唯一驻点(3，4) 因 L(x，y)的驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，在不限制排污费用支出的
16、情况下，当甲、乙两种产品的产量分别为 x=3(吨)与 y=4(吨)时总利润 L(x，y)取得最大值且 maxL=L(3，4)=40(万元) ()当限制排污费用支出总额为 8 万元的条件时应求总利润函数L(x，y)在约束条件 2x+y=8 即 2x+y-8=0 下的条件最大值可用拉格朗日乘数法，为此引入拉格朗日函数 F(x，y，)=L(x，y)+(2x+y-8)， 为求 F(x，y，)的驻点，令 )解析：12.生产某种产品需要投甲、乙两种原料，x 1 和 x 2 (单位：吨)分别是它们各自的投入量，则该产品的产出量为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知应求函数 在条件 p 1 x
17、 1 +p 2 x 2 =P 之下的最大值点用拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数 为求 F(x 1 ，x 2 ，)的驻点，解方程组 因驻点唯一，且实际问题必有最大产出量，故计算结果表明，在两种原料投入的总费用为 P(万元)时，这两种原料的投入量分别为 )解析：13.已知三角形的周长为 2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设三角形的三边长为 a，6，c，并设以 AC 边为旋转轴(见图 46)，AC 上的高为h，则旋转所成立体的体积为 又设三角形的面积为 5，于是有 问题化成求 V(a，b，c)在条件a+b+c-2p=0 下的最大
18、值点，等价于求 V 0 (a，b，c)= (p-a)(p-b)(p-c)=ln(p-a)+ln(p-b)+ln(p-c)-lnb 在条件 a+b+c-2p=0 下的最大值点 用拉格朗日乘子法令 F(a，b，c，)=V 0 (a，b，c)+(a+b+c-2p)，求解方程组 比较，得 a=c，再由得 b=2(p-a) 比较，得 b(p-b)=(p-a)p 由，解出 由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解因而也是条件最大值点所以当三角形的边长分别为 )解析：14.证明不等式： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由以上分析知 其中 D 1 =(x，y)x 2 +y 2 1，
19、x0，y0，D 2 =(x，y)x 2 +y 2 2，x0，y0. )解析：解析：由定积分与积分变量所选用的字母无关可知 此二重积分的积分区域 D 为正方形，即 D=(x，y)0x1，0y1现将该积分区域 D 作放缩，取 D 1 =(x，y)x 2 +y 2 1，x0，y0，D 2 =(x，y)x 2 +y 2 2，x0，y0，显然 ，根据二重积分性质，有 15.将下列累次积分交换积分次序： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()首先画出积分域如图 47 所示交换积分次序后原积分可以写成 ()画出积分域，如图 48 所示由图可知，交换积分次序后原积分成为 )解析：16.计算累次积分 （
20、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域图形如图 49，由被积函数的形式，可以看出应先对 x 积分，故交换积分次序，得 )解析：17.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由累次积分知积分区域 D 如图 410，由被积函数和区域 D 看出，本题在极坐标系 x=rcos，y=rsin 中计算较方便 y= 在极坐标下的方程为 r=2cos，且 D=D 1 +D 2 ，其中 )解析：18.设区域 D 是由直线 y=x 与曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 D 如图 411，在极坐标系 x=rcos，y=rsin 中它可表示为 )解析：19.求 I= （分数：2.0
21、0）_正确答案：(正确答案：作出区域 D 的平面图形，如图 412将 D 分割成 D 1 与 D 2 ，则 D=D 1 +D 2 ，其中 若本题选择对 y 积分，则 )解析：20.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 为扇形(见图 413)： )解析：解析：因为无法得到 21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域如图 414由被积函数形式可以看出，此积分只能先对 x 积分，故)解析：22.设 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x，y)的定义域和 D 确定的积分区域如图 415 中的 D 1 ，即 )解析：23.设 x=
22、rcos，y=rsin，将如下直角坐标系中的累次积分化为极坐标系中的累次积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题中积分区域如图 416 中阴影部分所示 将其化为极坐标，可知 由于 y=1-x 可表示为 rsin=1-rcos，即 r= 而 y 2 =2x-x 2 可表示为 r=2cos，故 r2cos从而原积分可化为 )解析：24.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 分别关于 x 轴与 y 轴对称，如图 417由于被积函数 f(x，y)= 分别是 x 与 y 的偶函数，从而 其中 D 1 是 D 在第一象限的部分因被积函数的表达式中包含 ，采用极坐
23、标系 x=rcos，y=rsin 来计算较简，这时 )解析：25.交换下列累次积分的积分顺序： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题意知，积分区域 D=D 1 D 2 ，其中 D 1 =(x，y)0x1，1-x 2 y1，D 2 =(x，y)1xe，lnxy1， 见图 418，交换积分顺序得 ()由 I 2 可知，D=D 1 D 2 ，其中 D 1 =(x，y)0y1，0x ，D 2 =(x，y)1y2，0x2-y， 见图 419，交换积分顺序得 )解析：26.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图 420 所示由于被积函数 f(x，y)=y
24、关于 x 轴对称，积分区域D 也关于 x 轴对称，所以积分值为 0 )解析：27.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作出 D 的平面图形如图 421因积分区域关于原点 O 对称，被积函数又是 x 与y 的偶函数，故 其中 D 1 =(x，y)0x1，x-1y0， D 2 =(x，y)0x1，0yx+1，)解析：29.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知 D=(x，y)0x+，x+1ye x ，(如图 422)设常数 b0，且 D b =Dxb=(x，y)0xb，x+1ye x ，则 )解析：30.设 f(x)在a，b上连续，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设积分区域 D=(x，y)axb，ayb，由 可知二重积分 另一方面利用不等式 f(x)f(y) f 2 (x)+f 2 (y)，又有 )解析：
