1、考研数学三（微积分）-试卷 102 及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：9，分数：18.00)1.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_2.设 y=f(x)满足 （分数：2.00）填空项 1:_3.设 f(x)在a，b上连续可导，f(a)=f(b)=0，且 a b f 2 (x)dx=1，则 a b xf(x)f(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_4.已知 f(x)连续, 0 1 f(x)dx=5，则 0 1 f(x) x 1 (t)dxdx= 1（分数：2.00）填空项 1:_5.设 f(x)具有连续导数，且 F(x)= 0 x (x 2
2、一 t 2 )f(t)dt，若当 x0 时 F(x)与 x 2 为等价无穷小，则 f(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_6.已知 f(x)= 1 x2 e -t2 dt，则 0 1 xf(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_7. 0 + x 7 e -x2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：15，分数：30.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.求下列积分(其中 n=1，2，3，)： （分数：2.00）_12.设 a
3、0，f(x)在(一，+)上有连续导数，求极限 （分数：2.00）_13.求 （分数：2.00）_14.设 f(x)在(一，+)连续，在点 x=0 处可导，且 f(0)=0，令 （分数：2.00）_15.设 x0，a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0，a)，又满足 （分数：2.00）_16.求函数 （分数：2.00）_17.求下列平面图形的面积： （分数：2.00）_18.设由曲线 （分数：2.00）_19.设 f(x)为非负连续函数，且满足 f(x) 0 x f(x 一 t)dt=sin 4 x，求 f(x)在 （分数：2.00）_20.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，
4、且 （分数：2.00）_21.设 f(x)为连续函数，证明： （分数：2.00）_22.设 f(x)在A，B上连续，AabB，求证： （分数：2.00）_23.设 f(x)在(一，+)上具有连续导数，且 f(0)0令 F(x)= 0 x (2t 一 x)f(t)dt求证： (I)若 f(x)为奇函数，则 F(x)也是奇函数 ()(0，0)是曲线 y=F(x)的拐点（分数：2.00）_24.证明：当 x0 且 n 为自然数时 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 102 答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：9，分数：18.00)1.= 1. （分数：2
5、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：2.设 y=f(x)满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：3.设 f(x)在a，b上连续可导，f(a)=f(b)=0，且 a b f 2 (x)dx=1，则 a b xf(x)f(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：4.已知 f(x)连续, 0 1 f(x)dx=5，则 0 1 f(x) x 1 (t)dxdx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：5.设 f(x)具有连续导数，且 F(x)= 0 x (x
6、 2 一 t 2 )f(t)dt，若当 x0 时 F(x)与 x 2 为等价无穷小，则 f(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 F(x)= 0 x (x 2 一 t 2 )f(t)dt=x 2 0 x (t)dt 一 0 x t 2 f(t)dt，所以 F(x)=2x 0 x f(t)(x 2 f(x)x 2 f(x)=2x 0 x f(t)dt又依题设，当 x0 时 F(x)与 x 2 为等价无穷小，从而 6.已知 f(x)= 1 x2 e -t2 dt，则 0 1 xf(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
7、：*）解析：解析：7. 0 + x 7 e -x2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析： t 3 3e -t dt=e -t (at 3 +bt 2 +dt+e)+C， 两边求导得 t 3 e -t =e -t 一 at 3 +(3ab)t 2 +(2bd)t+de， 比较两边 t 的同次幂项的系数得 a=一 1， b=一 3，d=一 6， e=一 6 于是 8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因(xe x )=e x
8、 (x+1)，令 xe x =t，则 dt=e x (x+1)dx，于是 二、解答题(总题数：15，分数：30.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.求下列积分(其中 n=1，2，3，)： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I) ()建立 J n 的递推公式首先 )解析：12.设 a0，f(x)在(一，+)上有连续导数，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 f(x)在(一，+)连续，在点 x=0 处可导，且 f(0)=0，令 （分数：2.0
9、0）_正确答案：(正确答案：(I)由变上限积分性质知 F(x)在 x0 时连续为使其在 x=0 处连续，只要 )解析：15.设 x0，a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0，a)，又满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 f(x)连续及 x x 可导知 f 2 (x)可导，又 f(x)0，从而 f(x)可导，且f 2 (x)=2f(x)f(x)，故将上式两边对 x 求导，得 2f(x)f(c)=f(x).2xf(x)=x 在(*)式中令 x=0可得 f(0)=0 )解析：16.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 f(x)在a，b上连续，其最大(小)值的求法是：
10、求出 f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出 f(a)与 f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若 f(x)单调，则最大(小)值必在端点处取得由 可知 f(x)在e，e 2 上单调增加，故 )解析：17.求下列平面图形的面积： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)如图 33由 x=xlnx，知两曲线的交点为(e，e) 由图形可以看出，阴影部分的面积等于三角形的面积 减去定积分 1 e xlnxdx，即 ()如图 34所求面积为 )解析：18.设由曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由曲线 与直线 y=a(其中 0a1)以及 x=0，x=1 围
11、成的平面图形分为左、右两个部分区域，即(见图 35) 在 D 1 绕 y 轴旋转一周所得旋转体中满足 yy+dy 的一层形状是圆形薄片，其半径为 ，厚度为 dy,从而这个圆形薄片的体积 dV=(1 一 y 2 )dy，于是区域 D 1 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积 在 D 2 绕 y 轴旋转一周所得旋转体中满足 yy+dy 的一层形状为圆环形薄片，其内半径为 ， 外半径为 1，厚度为 dy，从而这个圆环形薄片的体积为 dV=1 一(1一 y 2 )dy=y 2 dy，故区域 D 2 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 把 V 1 (a)与 V 2 (a)相加，就得到了 )解析：19.设 f
12、(x)为非负连续函数，且满足 f(x) 0 x f(x 一 t)dt=sin 4 x，求 f(x)在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 ，根据积分中值定理， 因而 根据题设 f(x)在0，上满足罗尔定理的条件，因此 )解析：21.设 f(x)为连续函数，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在左端表达式中令 x=2t，可得 )解析：22.设 f(x)在A，B上连续，AabB，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 xa，b，h充分小时，x+h
13、A，B，因而 f(x+h)一 f(x)在a，b上连续对 a b (x+h)dx 作积分变量替换，则有 由于上式每一项对 h 可导且 h0 时均趋于零因此，由洛必达法则有 )解析：23.设 f(x)在(一，+)上具有连续导数，且 f(0)0令 F(x)= 0 x (2t 一 x)f(t)dt求证： (I)若 f(x)为奇函数，则 F(x)也是奇函数 ()(0，0)是曲线 y=F(x)的拐点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)F(x)在(一，+)上有定义，且 F(x)=2 0 x tf(t)dt 一 x 0 x f(t)dt，故 F(一 x)=2 0 -x (t)dt+x 0 -x f
14、(t)dt 作换元 t=一 u，则当 t：0一 x u：0x，且 dt=一du，代入可得 有 F(一 x)=2 0 x (一 u)f(一 u)(一 du)+x 0 x f(一 u)(一 du) =一 2 0 x u一f(一 u)du+x 0 x -f(一 u)du =2 0 x uf(u)du+x 0 x f(u)du=一2 0 x uf(u)dux 0 x f(u)du=一 F(u)， 这表明 F(x)是(一，+)上的奇函数 ()显然 F(0)=0，由 f(x)在(一，+)上有连续导数，且 f(0)0 知 使当x 时 f(x)与 f(0)同号为确定起见，无妨设 f(0)0，于是当x 时 f(
15、x)0计算可得 F(x)=2xf(x)一 0 x f(x)dtxf(x)=xf(x)一 0 x f(t)dt， )解析：24.证明：当 x0 且 n 为自然数时 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= 0 x (t 一 t 2 )sin 2n tdt，则 f(x)=(x 一 x 2 )sin 2n x当0x1 时，f(x)0；当 x1 时，除 x=k(k=1，2，3，)时 f(x)=0 外，均有 f(x)0，故 f(x)在 0x1 单调上升，在 x1 单调减小，因此 f(x)在0，+)上取最大值 f(1)又当 t0 时，sintt，于是当 x0 时有 f(x)f(1)= 0 1 (t 一 t 2 )sin 2n dt 0 1 (t 一 t 2 )t 2n dt )解析：
