1、考研数学三（微积分）模拟试卷 145 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f（x）= （分数：2.00）A.f（x）在点 x=1 连续，在点 x=1 间断B.f（x）在点 x=1 间断，在点 x=1 连续C.f（x）在点 x=1，x=一 1 都连续D.f（x）在点 x=1，x=1 都间断3.设 f（x）=3x 3 +x 2 |x|，则使 f （n） （0）存在的最高阶数 n 为（ ）（分数：2.00）A.0B.1C.2D.34.设函数 f（x）在
2、闭区间a，b上有定义，在开区间（a，b）内可导，则（ ）（分数：2.00）A.当 f（a）f（b）0，存在 （a，b），使 f（）=0B.对任何 （a，b），有C.当 f（a）=（b）时，存在 f（a，b），使 f（）=0D.存在 （a，b），使 f（b） f（a）=f（）（ba）5.设 f（x）=|x（1x）|，则（ ）（分数：2.00）A.x=0 是 f（x）的极值点，且（0，0）不是曲线 y=f（x）的拐点B.x=0 不是 f（x）的极值点，但（0，0）是曲线 y=f（x）的拐点C.x=0 是 f（x）的极值点，且（0，0）是曲线 y=f（x）的拐点D.x=0 不是 f（x）的极值点，且
3、（0，0）也不是曲线 y=f（x）的拐点6.设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：2.00）A.仅与 m 的取值有关B.仅与 n 的取值有关C.与 m，n 的取值都有关D.与 m，n 的取值都无关7.设函数 u（x，y）=（x+y）+（x y）+ xy x+y （t） dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.8.累次积分 0 1 dx x 1 f（x，y）dy+ 1 2 dy 0 2y f（x，y）dx 可写成（ ）（分数：2.00）A. 0 2 dx x 2x f（x，y）dyB. 0 1 dy 0 2y f（x，y）dxC. 0
4、2 dx x 2x f（x，y） dyD. 0 1 dy y 2y f（x，y）dx9.如果级数 （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 u n =（一 1） n ln（1+ ），则（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.11.具有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是（ ）（分数：2.00）A.y“一 y“一 y+y=0B.y“+y“一 y一 y=0C.y“一 6y“+11y一 6y=0D.y“一 2y“一 y+2y=0二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.设函数 （分数
5、：2.00）填空项 1:_14.设 y= y（x）是由方程 （分数：2.00）填空项 1:_15.函数 y=x 2x 在区间（0，1上的最小值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_18.设 f（x，y，z）=e x +y 2 z，其中 z=z（x，y）是由方程 x+y+z+xyz =0 所确定的隐函数，则 f x （0，1，1）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.设函数 f（u，）具有二阶连续偏导数 z=f（x，xy），则 （分数：2.00）填空项 1:_20.级数 （分数：2.00）填空项
6、1:_21.微分方程 xy+y=0 满足条件 y（1）=1 的特解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.证明： （）对任意正整数 n，都有 成立； （）设 a n =1+ （分数：2.00）_24.设 a1，f（t）=a t at 在（一，+）内的驻点为 t（a）。问 a 为何值时，t（a）最小？并求出最小值。（分数：2.00）_25.设 f（x）在（1，1）内具有二阶连续导数且 f“（x）0。证明：（）对于任意的 x（1，0）（0，1），存在唯一的 （x）（0，1
7、），使 f（x）=f（0）+xf（x）x）成立； （分数：2.00）_26.设 y=f（x）是区间0，1上的任一非负连续函数。 （）试证存在 x 0 （0，1），使得在区间0，x 0 上以 f（x 0 ）为高的矩形面积，等于在区间x 0 ，1上以 y=f（x）为曲边的梯形面积。 （）又设 f（x）在区间（0，1）内可导，且 f（x）一 （分数：2.00）_27.证明可微的必要条件：设 z=f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处可微，则 f x （x 0 ，y 0 ）与 f y （x 0 ，y 0 ）都存在，且 dz| （x0，y0） =f x （x 0 ，y 0 ）x+f y （x 0 ，y
8、 0 ）y。（分数：2.00）_28.求 f（x，y）=xe （分数：2.00）_29.求二重积分 （分数：2.00）_30.求幂级数 （分数：2.00）_31.用变量代换 x=cost（0t）化简微分方程（1 一 x 2 ）y“一 xy+y=0，并求其满足 y| x=0 =1，y| x=0 =2 的特解。（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 145 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f（x）= （分数：2.00）A.f（x）在
9、点 x=1 连续，在点 x=1 间断B.f（x）在点 x=1 间断，在点 x=1 连续 C.f（x）在点 x=1，x=一 1 都连续D.f（x）在点 x=1，x=1 都间断解析：解析：由函数连续的定义可知，3.设 f（x）=3x 3 +x 2 |x|，则使 f （n） （0）存在的最高阶数 n 为（ ）（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：由于 3x 3 任意阶可导，本题实质上是考查分段函数 x 2 |x|在 x=0 处的最高阶导数的存在性。事实上，由 f（x）= 4.设函数 f（x）在闭区间a，b上有定义，在开区间（a，b）内可导，则（ ）（分数：2.00）A.当 f（a）
10、f（b）0，存在 （a，b），使 f（）=0B.对任何 （a，b），有 C.当 f（a）=（b）时，存在 f（a，b），使 f（）=0D.存在 （a，b），使 f（b） f（a）=f（）（ba）解析：解析：因只知 f（x）在闭区间a，b上有定义，而 A、C、D 三项均要求 f（x）在a，b上连续，故三个选项均不一定正确，故选 B。5.设 f（x）=|x（1x）|，则（ ）（分数：2.00）A.x=0 是 f（x）的极值点，且（0，0）不是曲线 y=f（x）的拐点B.x=0 不是 f（x）的极值点，但（0，0）是曲线 y=f（x）的拐点C.x=0 是 f（x）的极值点，且（0，0）是曲线 y=f
11、（x）的拐点 D.x=0 不是 f（x）的极值点，且（0，0）也不是曲线 y=f（x）的拐点解析：解析：因为6.设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：2.00）A.仅与 m 的取值有关B.仅与 n 的取值有关C.与 m，n 的取值都有关D.与 m，n 的取值都无关 解析：解析：显然 x=0，x=1 是该积分可能的两个瑕点，有7.设函数 u（x，y）=（x+y）+（x y）+ xy x+y （t） dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：先分别求出 ，再进一步比较结果。 可见有8.累次积分 0 1 dx x 1 f（x，y
12、）dy+ 1 2 dy 0 2y f（x，y）dx 可写成（ ）（分数：2.00）A. 0 2 dx x 2x f（x，y）dyB. 0 1 dy 0 2y f（x，y）dxC. 0 2 dx x 2x f（x，y） dy D. 0 1 dy y 2y f（x，y）dx解析：解析：原积分域为直线 y=x，x+y =2，与 y 轴围成的三角形区域，故选 C。9.如果级数 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于 a n 发散，则 a n 发散，而|a n |a n |+|b n |，故 10.设 u n =（一 1） n ln（1+ ），则（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.
13、解析：解析： 是一个交错级数，而 单调递减趋于零，由莱布尼茨定理知，级数 u n 收敛。 11.具有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是（ ）（分数：2.00）A.y“一 y“一 y+y=0B.y“+y“一 y一 y=0 C.y“一 6y“+11y一 6y=0D.y“一 2y“一 y+2y=0解析：解析：由 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 2 =3e x 是所求方程的三个特解知，r=-1，一 1，1 为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r-1)(r+1) 2 =0，即 r 3 +r
14、2 一 r 一1=0，对应的微分方程为 y“+y“-y一 y=0，故选 B。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：因为 13.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x0 时，14.设 y= y（x）是由方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在方程两边对 x 求导得15.函数 y=x 2x 在区间（0，1上的最小值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 y=e 2xlnx ）
15、 = x 2x 2（lnx +1） = 所以 x 在 上取得最小值，最小值为 y= 16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：令 I n =e x sinnxdx=e x sinnx+ne x cosnxdx =e x sinnxne x cosnx n 2 I n 。 所以 17.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由体积公式 V= 1 2 （x 2 一 1）dx= 18.设 f（x，y，z）=e x +y 2 z，其中 z=z（x，y）是由方程 x+y+z+xyz =0 所确定的隐函数，则 f x （0，
16、1，1）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：已知 f（x，y，z）=e x + y 2 z，那么有 f x （x，y，z）=e x + y 2 z x 。在等式x+y+z+xyz=0 两端对 x 求偏导可得 1+z x +yz+xyz x =0。 由 x=0，y=1，z=1，可得 z x =0。 故 f x （0，1，1）=e 0 =1。19.设函数 f（u，）具有二阶连续偏导数 z=f（x，xy），则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xf 12 “ +f 2 +xyf 22 “）解析：解析：由题干可知， =f 1 +f 2
17、y， 20.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：21.微分方程 xy+y=0 满足条件 y（1）=1 的特解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 两边积分，得 ln |y|=一 ln |x|+C，代入条件 y（1）=1，得 C=0。所以 y=三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.证明： （）对任意正整数 n，都有 成立； （）设 a n =1+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）令 =x，则原不等式可
18、化为 ln（l +x）x，x0。 先证明ln（1+x）x，x0。 令 f（x）=xln（1+x）。 由于 f（x）=1 0，x0， 可知 f（x）在0，+）上单调递增。又由于 f（0）=0，因此当 x0 时，f（x）f（0）=0。 也即 ln（1+x）x，x0。 再证明 ln（1+x），x0。 令 g（x）=ln（1+x） 。 由于 可知g（x）在0，+）上单调递增。又因 g（0）=0，因此当 x0 时，g（x）g（0）=0。 即 ln（1+x），x0。 因此，有 ln（1+x）x，x0。 再代入 =x，即可得到所需证明的不等式。 （）a n+1 a n = 可知数列a n 单调递减。 又由不
19、等式 )解析：24.设 a1，f（t）=a t at 在（一，+）内的驻点为 t（a）。问 a 为何值时，t（a）最小？并求出最小值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f（t）=a t lna a=0，解得 f（t）的驻点为 t（a）=1 。 对t（a）关于 a 求导，可得 令 t（a）0，解得 ae e 。则当 ae e 时，t（a）单调递增；当1ae e 时，t（a）单调递减。所以当 a=e e 时，t（a）最小，且最小值为 t（e e ）=1 一 )解析：25.设 f（x）在（1，1）内具有二阶连续导数且 f“（x）0。证明：（）对于任意的 x（1，0）（0，1），存在唯一的
20、 （x）（0，1），使 f（x）=f（0）+xf（x）x）成立； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由拉格朗日中值定理，对任意 x（1，1），x0，存在 （0，1）使 f（x）=f（0）+xf（x），（ 与 x 有关）。 又由 f“（x）连续且 f“（x）0，故 f“（x）在（1，1）不变号，所以 f（x）在（1，1）严格单调， 唯一。 （）由（）中的式子，则有由上式可得 的表达式，并令 x0 取极限得 )解析：26.设 y=f（x）是区间0，1上的任一非负连续函数。 （）试证存在 x 0 （0，1），使得在区间0，x 0 上以 f（x 0 ）为高的矩形面积，等于在区间x 0 ，1
21、上以 y=f（x）为曲边的梯形面积。 （）又设 f（x）在区间（0，1）内可导，且 f（x）一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）本题可转化为证明 x 0 f（x 0 ）= x0 1 f（x）dx。令 （x）=一 x x 1 f（t）dt，则 （x）在闭区间0，1上是连续的，在开区间（0，1）上是可导的，又因为 （0）=（1）=0，根据罗尔定理可知，存在 x 0 （0，1），使得 （x 0 ）=0，即 （x 0 ）=x 0 f（x 0 ）一 x0 1 f（t）dt=0， 即 x 0 f（x 0 ）= x0 1 f（x）dx。 （）令 F（x）= xf（x）一 x 1 f（t）dt，
22、 且由 f（x） )解析：27.证明可微的必要条件：设 z=f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处可微，则 f x （x 0 ，y 0 ）与 f y （x 0 ，y 0 ）都存在，且 dz| （x0，y0） =f x （x 0 ，y 0 ）x+f y （x 0 ，y 0 ）y。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 z=f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处可微，则等式成立。令 Ay =0，于是 令x0，有 =B，于是证明了 f x （x 0 ，y 0 ）与 f x （x 0 ，y 0 ）存在，并且 )解析：28.求 f（x，y）=xe （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求
23、函数 f（x，y）=xe 的驻点，f x （x，y）=ex=0，f y （x，y）=y=0，解得函数 f（x，y）的驻点为（e，0）。 又 A=f xx “ （e，0）=一 1，B=f xy “ （e，0）=0，C=f yy “ （e，0）=1，所以 B 2 AC0，A0。故 f（x，y）在点（e，0）处取得极大值，f（e，0）= )解析：29.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图 1418，D 的极坐标表示是：0，0r2（1+cos），因此 )解析：30.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.用变量代换 x=cost（0t）化简微分方程（1 一 x 2 ）y“一 xy+y=0，并求其满足 y| x=0 =1，y| x=0 =2 的特解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入原方程，得 +y=0。 解此微分方程，得 y=C 1 Cost+C 2 sint=C 1 x+C 2 ，将 y| x=0 =1，y| x=0 =2 代入，得 C 1 =2，C 2 =1。 故满足条件的特解为 y=2x+ )解析：
