1、考研数学二-高等数学一元函数微分学及答案解析(总分：199.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：48.00)1.设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)=0，f“(0)0则（分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)满足 f“(x)+xf(x)2=1-e-x，且 f(0)=0则（分数：4.00）A.x=0 是 f(x)的极小值点B.x=0 是 f(x)的极大值点C.曲线 y=f(x)在点(0，f(0)左侧邻近是凹的，右侧邻近是凸的D.曲线 y=f(x)在点(0，f(0)左侧邻近是
2、凸的，右侧邻近是凹的4.设函数 f(x)在 x=x0处二阶导数存在，且 f“(x0)0，f(x 0)=0，则必存在 0，使得（分数：4.00）A.曲线 y=f(x)在区间(x 0-，x 0+)上是凸的B.曲线 y=f(x)在区间(x 0-，x 0+)上是凹的C.函数 f(x)在区间(x 0-，x 0是严格单调增，在区间x 0，x 0+)是严格单调减D.函数 f(x)在区间(x 0-，x 0是严格单调减，在区间x 0，x 0+)是严格单调增5.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.6.下列 4 个命题若 f(x)在 x=a 处连续，且|f(x)|在 x=a 处可导，则 f(x)在 x=a 处必
3、可导设 (x)在 x=a 的某邻域内有定义，且 存在，则 f(x)=(x-a)(x)在 x=a 处必可导设 (x)在 x=a 的某邻域内有定义，且 存在，则 f(x)=|(x-a)|(x)在 x=a 处可导若 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，且 （分数：4.00）A.B.C.D.7.下述论断正确的是（分数：4.00）A.设 f(x)在(-，+)上有定义，除 x=0 外均可导，且 f(x)0，则 f(x)在(-，+)上是严格单调增加的B.设 f(x)为偶函数且 x=0 是 f(x)的极值点，则 f(0)=0C.设 f(x)在 x=x0处二阶导数存在，且 f“(x0)0，则 x=x0是 f(
4、x)的极小值点D.设 f(x)在 x=x0处三阶导数存在，且 f(x0)=0，f“(x 0)=0，f“(x 0)0，则 x=x0一定不是 f(x)的极值点8.设 f(x)在a，b上可导，f（分数：4.00）A.(a)0，fB.0则下述命题不正确的是(A) 至少存在一点 x0(a，b)使 f(x0)f(a)(B) 至少存在一点x0(a，b)使 f(x0)f(b)(C) 至少存在一点 x0(a，b)使 f(x0)=0(D) 至少存在一点 x0(a，b)使9.下述命题设 均存在，则 f(x)在 x=x0处必连续设 f-(x0)与 f+(x0)均存在，则 f(x)在 x=x0处必连续设 f(x)在 x
5、=x0处连续，且 存在等于 A，则 f(x0)存在等于 A设 f(x)在 x=x0的某邻域可导，且 f(x0)=A，则 （分数：4.00）A.B.C.D.10. （分数：4.00）A.B.C.D.11.设 f(x)在 x=0 的某邻域内存在二阶导数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.12.设 f(x)二阶导数存在，下述结论正确的是（分数：4.00）A.若 f(x)只有 2 个零点，则 f“(x)必定没有零点B.若 f“(x)至少有 1 个零点，则 f(x)必至少有 3 个零点C.若 f(x)没有零点，则 f“(x)至多有 2 个零点D.若 f“(x)没有零点，则 f(x)至多有 2 个零点
6、二、填空题(总题数：9，分数：36.00)13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 f“(a)存在，f(a)0，则 （分数：4.00）填空项 1:_15.设曲线 y=ax2+bx+c 与曲线 （分数：4.00）填空项 1:_16.设 f(x)在 x=0 处可导，且 （分数：4.00）填空项 1:_17.椭圆 x2+2xy+2y2-4y=0 与直线 x+y-6=0 之间的最短距离为_（分数：4.00）填空项 1:_18.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_19.设 y=y(x)由 x3+y2-3axy=0 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_20.设 f(x)=x2sinax，
7、a0，则对于 n1，f (2n+1)(0)= 1（分数：4.00）填空项 1:_21.设 f(x)有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，f(0)=2，n2，则 f(n)(0)= 1（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：115.00)22.在曲线 y=1-x2上在第一象限内的点作该曲线的切线，使该切线与两坐标轴围成的三角形面积为最小，求切点坐标（分数：5.00）_23.在极坐标曲线 r=e 的 （分数：5.00）_24.设 f(u)连续，f(0)=0，f(0)=1， ，并设 （分数：5.00）_25.设 f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f(0)=0，f“(x)
8、0在曲线 y=f(x)上任意一点(x，f(x)(x0)处作此曲线的切线，交 z 轴于点(u，0)求 （分数：5.00）_26.设 f(x)在(0，+)内有定义，且对于任意 x(0，+)，y(0，+)有 f(xy)=f(x)+f(y)+(x-1)(y-1)，又 f(1)=a1证明对任意 x(0，+)，f(x)存在并求之（分数：5.00）_27.设 ba0，证明： （分数：5.00）_28.证明：当 x0 时，(x 2-1)lnx(x-1) 2，且仅当 x=1 时成立等号（分数：5.00）_29.设 f(x)在区间(-，+)内存在二阶导数，且 f“(x)0， （分数：5.00）_30.设 f(x)
9、在0，+)上连续，在(0，+)内存在二阶导数，且 f“(x)0，f(0)=0证明：对任意x10，x 20，有 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2)（分数：5.00）_31.设 x0，证明： （分数：5.00）_32.设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，且 f(0)0，f(x)k0试证明存在唯一的(0，+)使 f()=0（分数：5.00）_33.设 f(x)在区间(-，+)上存在二阶导数，f(0)0，f“(x)0试证明：(1)在(-，+)上 f(x)至多有两个零点，至少有一个零点；(2)若的确有两个零点 x1与 x2，则 x1x20（分数：5.00）_34.讨论当 x0 时，方
10、程 （分数：5.00）_35.设 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导， （分数：5.00）_36.设 f(x)在a，b上存在一阶导数，在(a，b)内存在二阶导数，且 f(a)=f(b)，f(a)f(b)0试证明至少存在一点 (a，b)使 f“()=0（分数：5.00）_37.设 f(x)在(-，+)内存在二阶导数且与某直线至少交于 3 个点试证明，至少存在一点 使f“()=0（分数：5.00）_38.设 f(x)与 g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且对一切 x，f(x)g(x)-f(x)g(x)0，并设 f(x)在(a，b)内有 2 个零点，试证明至少存在一点 介于 f
11、(x)的 2 个零点之间，使 g()=0（分数：5.00）_39.设 f(x)与 g(x)在(a，b)内可导，并且 f(x)+f(x)g(x)0，试证明 f(x)在(a，b)至多有 1 个零点(特例：设 f(x)+f(x)0，则 f(x)至多有 1 个零点)（分数：5.00）_40.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=f(1)=0，M=maxf(x)0，m=minf(x)0证明：存在 (0，1)与 (0，1)，使 f()=M，f()=m（分数：5.00）_41.设 f(x)在 x=0 处存在二阶导数， （分数：5.00）_42.设 f(x)在0，1上存在二阶导数，且 f(
12、0)=f(1)=0试证明至少存在一点 (0，1)，使|f“()|（分数：5.00）_43.设 f(x)在a，b 上存在二阶导数，f(a)0，f(b)0， （分数：5.00）_44.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，0ab试证明：存在 (a，b)使（分数：5.00）_考研数学二-高等数学一元函数微分学答案解析(总分：199.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：48.00)1.设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)=0，f“(0)0则（分数：4.00）A.B.C. D.解析：命 u=x-t，则*2.设函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则（分数：4.
13、00）A.B. C.D.解析：用反证法证明(B)正确*3.设 f(x)满足 f“(x)+xf(x)2=1-e-x，且 f(0)=0则（分数：4.00）A.x=0 是 f(x)的极小值点B.x=0 是 f(x)的极大值点C.曲线 y=f(x)在点(0，f(0)左侧邻近是凹的，右侧邻近是凸的D.曲线 y=f(x)在点(0，f(0)左侧邻近是凸的，右侧邻近是凹的 解析：*4.设函数 f(x)在 x=x0处二阶导数存在，且 f“(x0)0，f(x 0)=0，则必存在 0，使得（分数：4.00）A.曲线 y=f(x)在区间(x 0-，x 0+)上是凸的B.曲线 y=f(x)在区间(x 0-，x 0+)上
14、是凹的C.函数 f(x)在区间(x 0-，x 0是严格单调增，在区间x 0，x 0+)是严格单调减 D.函数 f(x)在区间(x 0-，x 0是严格单调减，在区间x 0，x 0+)是严格单调增解析：*上 f(x)0，即 f(x)严格单调增，当 x(x 0，x 0+)时有 f(x)0，所以在区间(x 0，x 0+)上，f(x)0，即 f(x)严格单调减因此选(C)5.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*6.下列 4 个命题若 f(x)在 x=a 处连续，且|f(x)|在 x=a 处可导，则 f(x)在 x=a 处必可导设 (x)在 x=a 的某邻域内有定义，且 存在，则 f(x)=
15、(x-a)(x)在 x=a 处必可导设 (x)在 x=a 的某邻域内有定义，且 存在，则 f(x)=|(x-a)|(x)在 x=a 处可导若 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，且 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*7.下述论断正确的是（分数：4.00）A.设 f(x)在(-，+)上有定义，除 x=0 外均可导，且 f(x)0，则 f(x)在(-，+)上是严格单调增加的B.设 f(x)为偶函数且 x=0 是 f(x)的极值点，则 f(0)=0C.设 f(x)在 x=x0处二阶导数存在，且 f“(x0)0，则 x=x0是 f(x)的极小值点D.设 f(x)在 x=x0处三阶导数存在，
16、且 f(x0)=0，f“(x 0)=0，f“(x 0)0，则 x=x0一定不是 f(x)的极值点 解析：*8.设 f(x)在a，b上可导，f（分数：4.00）A.(a)0，fB.0则下述命题不正确的是(A) 至少存在一点 x0(a，b)使 f(x0)f(a)(B) 至少存在一点x0(a，b)使 f(x0)f(b)(C) 至少存在一点 x0(a，b)使 f(x0)=0(D) 至少存在一点 x0(a，b)使解析：*9.下述命题设 均存在，则 f(x)在 x=x0处必连续设 f-(x0)与 f+(x0)均存在，则 f(x)在 x=x0处必连续设 f(x)在 x=x0处连续，且 存在等于 A，则 f(
17、x0)存在等于 A设 f(x)在 x=x0的某邻域可导，且 f(x0)=A，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*10. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：函数|x|，|x-1|，|x+1|分别仅在 x=0，x=1，x=-1 不可导且它们处处连续因此只须在这些点考察 f(x)是否可导，下面按定义考察：*故 f+(0)f -(0)，因此 f(x)在 x=0 处不可导类似地可知 f(x)在 x=1 处不可导，在 x=-1 处可导且 f(-1)=0选(B)11.设 f(x)在 x=0 的某邻域内存在二阶导数，且 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：由题设条件及保号性知存在 x
18、=0 的去心某邻域 f“(x)0，从而知 f(x)单调增，又由 f(0)=0 知，f(x)在 x=0 从左到右由负变正，故知 f(0)为 f(x)的极小值选(A)12.设 f(x)二阶导数存在，下述结论正确的是（分数：4.00）A.若 f(x)只有 2 个零点，则 f“(x)必定没有零点B.若 f“(x)至少有 1 个零点，则 f(x)必至少有 3 个零点C.若 f(x)没有零点，则 f“(x)至多有 2 个零点D.若 f“(x)没有零点，则 f(x)至多有 2 个零点 解析：证明(D)正确，反证法，设 f(x)有 3 个或 3 个以上零点，则由罗尔定理知 f“(x)有 1 个或 1 个以上零
19、点，与题设矛盾二、填空题(总题数：9，分数：36.00)13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*14.设 f“(a)存在，f(a)0，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*15.设曲线 y=ax2+bx+c 与曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*16.设 f(x)在 x=0 处可导，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*17.椭圆 x2+2xy+2y2-4y=0 与直线 x+y-6=0 之间的最短距离为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*18.曲线 （分数：4.00）
20、填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*19.设 y=y(x)由 x3+y2-3axy=0 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*20.设 f(x)=x2sinax，a0，则对于 n1，f (2n+1)(0)= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2n(2n+1)(-1) n+1a2n-1）解析：*21.设 f(x)有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，f(0)=2，n2，则 f(n)(0)= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：n!2 n+1）解析：因为 f(x)=f2(x)，所以 f“(x)=2f(x)f(x)=2f3(x)，f“(x
21、)=32f 2(x)f(x)=321f4(x)，f (4)(x)=4321f5(x)，由数学归纳法可证得 f(n)(x)=n!fn+1(x)，所以 f(n)(0)=n!fn+1(0)=n!2n+1三、解答题(总题数：23，分数：115.00)22.在曲线 y=1-x2上在第一象限内的点作该曲线的切线，使该切线与两坐标轴围成的三角形面积为最小，求切点坐标（分数：5.00）_正确答案：(解 设切点为(x 0，y 0)，于是在切点处的切线方程为 y=y0=-2x0(x-x0)此切线与两坐标轴的截距分别为*所以此切线与两坐标轴围成的三角形面积*由求最小值的办法可得 S(x)的唯一驻点x=*，验知它是极
22、小值点，故为最小值点，相应地*故切点为*)解析：23.在极坐标曲线 r=e 的 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：24.设 f(u)连续，f(0)=0，f(0)=1， ，并设 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：25.设 f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f(0)=0，f“(x)0在曲线 y=f(x)上任意一点(x，f(x)(x0)处作此曲线的切线，交 z 轴于点(u，0)求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：26.设 f(x)在(0，+)内有定义，且对于任意 x(0，+)，y(0，+)有 f(xy)=f(x)+f(y)+(x-1)(y-1)，又 f(1
23、)=a1证明对任意 x(0，+)，f(x)存在并求之（分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：27.设 ba0，证明： （分数：5.00）_正确答案：(证明 *)解析：28.证明：当 x0 时，(x 2-1)lnx(x-1) 2，且仅当 x=1 时成立等号（分数：5.00）_正确答案：(证明 *)解析：29.设 f(x)在区间(-，+)内存在二阶导数，且 f“(x)0， （分数：5.00）_正确答案：(证明 *)解析：30.设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内存在二阶导数，且 f“(x)0，f(0)=0证明：对任意x10，x 20，有 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2)（分数
24、：5.00）_正确答案：(证明 *)解析：31.设 x0，证明： （分数：5.00）_正确答案：(证明 *)解析：32.设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，且 f(0)0，f(x)k0试证明存在唯一的(0，+)使 f()=0（分数：5.00）_正确答案：(证明 *)解析：33.设 f(x)在区间(-，+)上存在二阶导数，f(0)0，f“(x)0试证明：(1)在(-，+)上 f(x)至多有两个零点，至少有一个零点；(2)若的确有两个零点 x1与 x2，则 x1x20（分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：34.讨论当 x0 时，方程 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解
25、析：35.设 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导， （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：36.设 f(x)在a，b上存在一阶导数，在(a，b)内存在二阶导数，且 f(a)=f(b)，f(a)f(b)0试证明至少存在一点 (a，b)使 f“()=0（分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：37.设 f(x)在(-，+)内存在二阶导数且与某直线至少交于 3 个点试证明，至少存在一点 使f“()=0（分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：38.设 f(x)与 g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且对一切 x，f(x)g(x)-f(x)g(x)0，并设 f(x)
26、在(a，b)内有 2 个零点，试证明至少存在一点 介于 f(x)的 2 个零点之间，使 g()=0（分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：39.设 f(x)与 g(x)在(a，b)内可导，并且 f(x)+f(x)g(x)0，试证明 f(x)在(a，b)至多有 1 个零点(特例：设 f(x)+f(x)0，则 f(x)至多有 1 个零点)（分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：40.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=f(1)=0，M=maxf(x)0，m=minf(x)0证明：存在 (0，1)与 (0，1)，使 f()=M，f()=m（分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：41.设 f(x)在 x=0 处存在二阶导数， （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：42.设 f(x)在0，1上存在二阶导数，且 f(0)=f(1)=0试证明至少存在一点 (0，1)，使|f“()|（分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：43.设 f(x)在a，b 上存在二阶导数，f(a)0，f(b)0， （分数：5.00）_正确答案：(证明 *)解析：44.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，0ab试证明：存在 (a，b)使（分数：5.00）_正确答案：(证明 *)解析：
