1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 52及答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f()在 a 处可导，且 f(a)0，则f()在 a 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.不一定可导D.不连续3.设 为 f()arctan 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 （分数：2.00）A.1B.C.D.4.设 f()在 a 处二阶可导，则 （分数：2.00）A.f(a)B.f(a)C.2f(a)D.f(a)5.设 f()在 0 处二阶可导，f(
2、0)0 且 （分数：2.00）A.f(0)是 f()的极大值B.f(0)是 f()的极小值C.(0，f(0)是曲线 yf()的拐点D.f(0)不是 f()的极值，(0，f(O)也不是曲线 yf()的拐点6.设 f()连续可导，g()连续，且 （分数：2.00）A.0 为 f()的极大值点B.0 为 f()的极小值点C.(0，f(0)为 yf()的拐点D.0 既不是 f()极值点，(0，f(0)也不是 yf()的拐点7.设 f()在 a 处的左右导数都存在，则 f()在 a 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续8.f()g()在 0 处可导，则下列说法正确的
3、是( )（分数：2.00）A.f()，g()在 0 处都可导B.f()在 0 处可导，g()在 0 处不可导C.f()在 0 处不可导，g()在 0 处可导D.f()，g()在 0 处都可能不可导9.f()在 0 处可导，则f()在 0 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.连续但不一定可导D.不连续10.设 f()为二阶可导的奇函数，且 0 时有 f()0，f()0，则当 0 时有( )（分数：2.00）A.f()0，f()0B.f()0，f()0C.f()0，f()0D.f()0，f()011.设 f()为单调可微函数，g()与 f()互为反函数，且 f(2)4，f(2) （分数
4、：2.00）A.B.C.D.4二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_13.设两曲线 y 2 ab 与2y1y 3 在点(1，1)处相切，则 a 1，b 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_14.设函数 y 满足 f()arctan ，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f()二阶连续可导，且 0，f(0)4，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 f()在 1 处一阶连续可导，且 f(1)2，则 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f()为二阶可导的偶函数，f(0)1，f(0)2 且 f()在 0 的邻域内
5、连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 f()满足 f()f(2)，f(0)0，又在(1，1)内 f()，则 f( （分数：2.00）填空项 1:_19.若 f()2n(1) n ，记 M n f()，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.设 (t)由 sint 0 确定，求 （分数：2.00）_22.设 3 3yy 3 3 确定 y为 的函数，求函数 yy()的极值点（分数：2.00）_23.(y)是 yf()的反函数，f()可导，且 f() （分数：2.00）
6、_24.设 f()连续，() 0 1 f(t)dt，且 （分数：2.00）_25.设函数 f()在 1 的某邻域内有定义，且满足f()2e (1) 2 ，研究函数 f()在 1 处的可导性（分数：2.00）_26.设 f()在 0 的邻域内二阶连续可导， （分数：2.00）_27.设 y （分数：2.00）_28.设 f() （分数：2.00）_29.设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)0，f( )1，f(1)0证明： (1)存在( （分数：2.00）_30.设 f()在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 0，又 f(2)2 （分数：2.00）_31.设 f()在0，1
7、上可导，f(0)0，f() （分数：2.00）_32.设 f()Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)f(b)1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2 (e a e b )f()f()（分数：2.00）_33.设 f()二阶可导，f(0)f(1)0 且 （分数：2.00）_34.一质点从时间 t0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4（分数：2.00）_35.设 f()在0，1上二阶可导，且f()1(0，1)，又 f(0)f(1)，证明：f() （分数：2.00）_36.设 f()在(1，1)内二阶连续可
8、导，且 f()0证明： (1)对(1，1)内任一点 0，存在唯一的 ()(0，1)，使得 f()f(0)f(0)f()； (2) （分数：2.00）_37.设 f()在a，b上二阶可导，且 f(a)f(b)0证明：存在 (a，b)，使得f()（分数：2.00）_38.f()在1，1上三阶连续可导，且 f(1)0，f(1)1，f(0)0证明：存在 (1，1)，使得 f()3（分数：2.00）_39.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得 f(b)2f f(a) （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 52答案解析(总分：78.00，做题
9、时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f()在 a 处可导，且 f(a)0，则f()在 a 处( )（分数：2.00）A.可导 B.不可导C.不一定可导D.不连续解析：解析：不妨设 f(a)0，因为 f()在 a 处可导，所以 f()在 a 处连续，于是存在0，当a 时，有 f()0，于是3.设 为 f()arctan 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 （分数：2.00）A.1B.C. D.解析：解析：令 f(a)f(0)f()a，4.设 f()在 a 处二阶可导，则 （
10、分数：2.00）A.f(a)B.f(a)C.2f(a)D.f(a) 解析：解析：5.设 f()在 0 处二阶可导，f(0)0 且 （分数：2.00）A.f(0)是 f()的极大值B.f(0)是 f()的极小值 C.(0，f(0)是曲线 yf()的拐点D.f(0)不是 f()的极值，(0，f(O)也不是曲线 yf()的拐点解析：解析：由 2，得 f(0)f(0)0，于是 f(0)0 再由6.设 f()连续可导，g()连续，且 （分数：2.00）A.0 为 f()的极大值点B.0 为 f()的极小值点C.(0，f(0)为 yf()的拐点 D.0 既不是 f()极值点，(0，f(0)也不是 yf()
11、的拐点解析：解析：由 0 g(t)dt 0 g(t)dt得 f()2 2 0 g(t)dt，f()4g()， 因为 40， 所以存在 0，当 0 时， 7.设 f()在 a 处的左右导数都存在，则 f()在 a 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续 解析：解析：因为 f()在 a 处右可导，所以 存在，于是8.f()g()在 0 处可导，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f()，g()在 0 处都可导B.f()在 0 处可导，g()在 0 处不可导C.f()在 0 处不可导，g()在 0 处可导D.f()，g()在 0 处都可能不可导 解析：解
12、析：令9.f()在 0 处可导，则f()在 0 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.连续但不一定可导 D.不连续解析：解析：由 f()在 0 处可导得f()在 0 处连续，但f()在 0 处不一定可导，如 f() 在 0 处可导，但f()在 0 处不可导，选 C10.设 f()为二阶可导的奇函数，且 0 时有 f()0，f()0，则当 0 时有( )（分数：2.00）A.f()0，f()0 B.f()0，f()0C.f()0，f()0D.f()0，f()0解析：解析：因为 f()为二阶可导的奇函数，所以 f()f()，f()f()，f()f()，即 f()为偶函数，f()为奇函数，
13、故由 0 时有 f()0，f()0，得当0 时有 f()0，f()0，选 A11.设 f()为单调可微函数，g()与 f()互为反函数，且 f(2)4，f(2) （分数：2.00）A.B. C.D.4解析：二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(14)e 8 ）解析：解析： 13.设两曲线 y 2 ab 与2y1y 3 在点(1，1)处相切，则 a 1，b 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：因为两曲线过点(1，1)，所以 ba0，又由 y 2
14、ab 得 a2，再由2y1y 3 得 14.设函数 y 满足 f()arctan ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设 f()二阶连续可导，且 0，f(0)4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2）解析：解析：由 0 得 f(0)0，f(0)0，则16.设 f()在 1 处一阶连续可导，且 f(1)2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：17.设 f()为二阶可导的偶函数，f(0)1，f(0)2 且 f()在 0 的邻域内连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
15、：正确答案：1）解析：解析：因为 f()为偶函数，所以 f()为奇函数，于是 f(0)0，又因为 f()在 0 的邻域内连续，所以 f()f(0)f(0) o( 2 )1 2 o( 2 )， 于是 18.设 f()满足 f()f(2)，f(0)0，又在(1，1)内 f()，则 f( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为在(1，1)内 f()， 所以在(1，1)内 f() 由 f(0)0 得19.若 f()2n(1) n ，记 M n f()，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 f()2n(1) n 2n 2 (
16、1) n1 0 得 ， 当 (0， )时，f()0；当 ( ，1)时，f()0，则 为最大点， 三、解答题(总题数：20，分数：40.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.设 (t)由 sint 0 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 t0 代入 sint 0 得 0， 再由 0 得 1， sint 0 两边对 t求导得 cost 0，从而 e1， cost 0 两边再对t求导得 将 t0，1， e1 代入得 )解析：22.设 3 3yy 3 3 确定 y为 的函数，求函数 yy()的极值点（分数：2.00）_正确答案：(
17、正确答案： 3 3yy 3 3 两边对 求导得 令 0 得 y 2 ，代入 3 3yy 3 3 得 1 或 ， 因为 10，所以 1 为极小值点，极小值为 y1； 因为 10，所以 为极大值点，极大值为 y y 2 时， )解析：23.(y)是 yf()的反函数，f()可导，且 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 (3) ，而 f(0)e，所以 (3) ， f()(21) ，f(0)e， )解析：24.设 f()连续，() 0 1 f(t)dt，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0 时， 当 0 时，(0) 0 1 f(0)dt0， )解析：25.设函数 f
18、()在 1 的某邻域内有定义，且满足f()2e (1) 2 ，研究函数 f()在 1 处的可导性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 1 代入不等式中，得 f(1)2e 当 1 时，不等式两边同除以1，得 )解析：26.设 f()在 0 的邻域内二阶连续可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 则 yf()在点(0，f(0)处的曲率为 K )解析：27.设 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当1 时，y ； 当 1 时，y1；当 1 时，y1； 由 0 得 y在 1 处不连续，故 y(1)不存在； 得 y (1)1， 因为 y (1)y (1)，所以 y在 1 处
19、不可导， 故 y )解析：28.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()在 0 处连续，所以 c0，即 由 f()在 0 处可导，得b1，即 由 f(0)存在，得 a ，即 a )解析：29.设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)0，f( )1，f(1)0证明： (1)存在( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 ()f()，()在0，1上连续， 0，(1)10， 由零点定理，存在 ( )解析：30.设 f()在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 0，又 f(2)2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0，得 f(1)1，
20、 又 所以 f(1)0 由积分中值定理得 f(2)2 f()df(c)，其中 c1， 由罗尔定理，存在 0 (c，2) (1，2)，使得 f( 0 )0 令 ()e f()，则 (1)( 0 )0， 由罗尔定理，存在(1， 0 ) )解析：31.设 f()在0，1上可导，f(0)0，f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()在0，1上可导，所以 f()在0，1上连续，从而f()在0，1上连续，故f()在0，1上取到最大值 M，即存在 0 0，1，使得f( 0 )M 当 0 0 时，则 M0，所以 f()0，0，1； 当 0 0 时，Mf( 0 )f( 0 )f(0)f()
21、0 )解析：32.设 f()Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)f(b)1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2 (e a e b )f()f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()e f()，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 再由f(a)f(b)1，得 e f()f()， 从而 (e a e b )e f()f()，令 ()e 2 ，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 )解析：33.设 f()二阶可导，f(0)f(1)0 且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()在0，1上二阶可导，所以 f()在0，1上连续且 f(0)f(1)0， f()1，由闭
22、区间上连续函数最值定理知，f()在0，1取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在 c(0，1)，使得 f(c)1，再由费马定理知 f(c)0， 根据泰勒公式 f(0)f(c)f(c)(0c) (0c) 2 ， 1 (0，c) f(1)f(c)f(c)(1c) (1c) 2 ， 2 (c，1) 整理得 当 c0， 时，f( 1 ) 8，取 1 ； 当 c( ，1)时，f( 2 ) )解析：34.一质点从时间 t0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设运动规律为
23、SS(t)，显然 S(0)0，S(0)0，S(1)1，S(1)0 由泰勒公式 两式相减，得 S( 2 )S( 1 )8 )解析：35.设 f()在0，1上二阶可导，且f()1(0，1)，又 f(0)f(1)，证明：f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(0)f()f() f( 1 ) 2 ， 1 (0，z)， f(1)f()f()(1) f( 2 )(1) 2 ， 2 (，1)， 两式相减，得 f() 两边取绝对值，再由f()1，得 )解析：36.设 f()在(1，1)内二阶连续可导，且 f()0证明： (1)对(1，1)内任一点 0，存在唯一的 ()(0，1)，使
24、得 f()f(0)f(0)f()； (2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)对任意 (1，1)，根据微分中值定理，得 f()f(0)f()，其中 0()1 因为 f()C(1，1)且 f()0，所以 f()在(1，1)内保号，不妨设 f()0， 则 f()在(1，1)内单调增加，又由于 0，所以 ()是唯一的 (2)由泰勒公式，得 f()f(0)f(0) ，其中 介于 0与 之间， 而 f()f(0)f()，所以有 令 0，再由二阶导数的连续性及非零性，得 )解析：37.设 f()在a，b上二阶可导，且 f(a)f(b)0证明：存在 (a，b)，使得f()（分数：2.00）_正
25、确答案：(正确答案：由泰勒公式得 两式相减得 f(b)f(a) f( 1 )f( 2 ) 取绝对值得f(b)f(a) f( 1 )f( 2 ) (1)当f( 1 )f( 2 )时，取 1 ，则有f() f(b)f(a)； (2)当f( 1 )f( 2 )时，取 2 ，则有f() )解析：38.f()在1，1上三阶连续可导，且 f(1)0，f(1)1，f(0)0证明：存在 (1，1)，使得 f()3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 两式相减得 f()f()6 因为 f()在1，1上三阶连续可导，所以 f()在 1 ， 2 上连续，由连续函数最值定理，f()在 1 ， 2 上取到最小值 m和最大值 M，故 2mf( 1 )f( 2 )2M，即 m3M 由闭区间上连续函数介值定理，存在 1 ， 2 )解析：39.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得 f(b)2f f(a) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()在(a，b)内二阶可导，所以有 两式相加得 因为 f()在(a，b)内连续，所以 f()在 1 ， 2 上连续，从而 f()在 1 ， 2 上取到最小值 m和最大值 M，故 m M， 由介值定理，存在 1 ， 2 (a，b)，使得 f() 故 )解析：
