1、考研数学二（高等数学）-试卷 17 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.f(x)在-1，1上连续，则 x=0 是函数 g(x)= （分数：2.00）A.可去间断点B.跳跃间断点C.连续点D.第二类间断点3.设 f(x)二阶连续可导，f“(0)=0，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点4.设
2、 u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.00）A.f“ 2 +xf“ 11 +(x+z)f“ 12 +xzf“ 22B.xf“ 12 +xzf“ 22C.f“ 2 +xf“ 12 +xzf“ 22D.xzf“ 225.设 D：x 2 +y 2 16，则 （分数：2.00）A.40B.80C.20D.60二、填空题(总题数：7，分数：14.00)6.设 a0，且 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_7.若 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_8.设 f(x)二阶连续可导，且 =1，f“(0)=e，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.= 1 （分数：2.
3、00）填空项 1:_10.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 y“-3y“+ay=-5e -x 的特解形式为 Axe -x ，则其通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14. （分数：2.00）_15.求 （分数：2.00）_16.设 a 1 =1，a 2 =2，3a n+2 -4a n+1 =0，n=1，2，求 （分数：2.00）_17.设 f(x)=x-ag(x)，其中 g(x)连续，讨论 f“(
4、a)的存在性（分数：2.00）_18.设函数 f(x)，g(x)在a，+)上二阶可导，且满足条件 f(a)=g(a)，f“(a)=g“(a)，f“(x)g“(x)(xa)证明：当 xa 时，f(x)g(x)（分数：2.00）_19.证明不等式：xarctanx （分数：2.00）_20.证明：当 x0 时， （分数：2.00）_21.求 （分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23.求 0 1 3x 2 arcsinxdx（分数：2.00）_24.求 （分数：2.00）_25.设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 a b f(x)dx=(b-a) （分数
5、：2.00）_26.设 xy=xf(z)+yg(z)，且 xf“(z)+yg“(z)0，其中 z=z(x，y)是 x，y 的函数证明： （分数：2.00）_27.计算 （分数：2.00）_28.求满足初始条件 y“+2x(y“) 2 =0，y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 17 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.f(x)在-1，1上连续，则 x=0 是函数 g(x)= （分数：2.00）A.可去
6、间断点 B.跳跃间断点C.连续点D.第二类间断点解析：解析：显然 x=0 为 g(x)的间断点，因为3.设 f(x)二阶连续可导，f“(0)=0，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点 C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析：由极限保号，存在 0，当 03 0，则当 00， 从而 0 则 x=0 为 f(x)的极小点，应选(B)4.设 u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.00）A.f“ 2 +xf“ 11 +(x+z)f“ 12 +xzf
7、“ 22B.xf“ 12 +xzf“ 22C.f“ 2 +xf“ 12 +xzf“ 22 D.xzf“ 22解析：解析： =f“ 1 +zf“ 2 ， 5.设 D：x 2 +y 2 16，则 （分数：2.00）A.40B.80 C.20D.60解析：解析： 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)6.设 a0，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：解析：由 得 b=1， 则7.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：-4）解析：解析：8.设 f(x)二阶连续可导，且 =1，f“
8、(0)=e，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e2）解析：解析：由 =1 得 f(0)=0，f“(0)=1，于是9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 0 x f(u)du+xf(x)）解析：解析：11.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设 y“-3y“+ay=-5e -x 的特解形式为 Axe -x ，则其通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C 1 e -
9、x +C 2 e 4x +xe -x）解析：解析：因为方程有特解 Axe -x ，所以-1 为特征值，即(-1) 2 -3(-1)+a=0 a=-4， 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 a 1 =1，a 2 =2，3a n+2 -4a n+1 =0，n=1，2，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 3a n+2 -4a n+1 +a n =0，得 3(a n+2 -
10、a n+1 )=a n+1 -a n (n=1，2，) 令 b n =a n+1 -a n ，则 b n+1 b n =13(n=1，2，)， 由 b 1 =1，得 b n = (n=1，2，)，即 解得 a n =1+ ，所以 )解析：17.设 f(x)=x-ag(x)，其中 g(x)连续，讨论 f“(a)的存在性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =-g(a)f“ - (a)=-g(a)； 由 )解析：18.设函数 f(x)，g(x)在a，+)上二阶可导，且满足条件 f(a)=g(a)，f“(a)=g“(a)，f“(x)g“(x)(xa)证明：当 xa 时，f(x)g(x)（分数
11、：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)-g(x)，显然 (a)=“(a)=0，“(x)0(xa) 由 得 “(x)0(xa)； 再由 )解析：19.证明不等式：xarctanx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=xarctanx- ，f(0)=0令 f“(x)= +arctanx-=arctanx=0，得 x=0，因为 f“(x)- 0，所以 x=0 为 f(x)的极小值点，也为 最小值点，而 f(0)=0，故对一切的 x，有 f(x)0，即 xarctanx )解析：20.证明：当 x0 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (t)=ln
12、(x+t)，由拉格朗日中值定理得 )解析：21.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.求 0 1 3x 2 arcsinxdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 a b f(x)dx=(b-a) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= x f(t)dt，则 F(x)在a，b上三阶连续可导，取 x 0 = ，由泰勒公式得 F(a)=F(x 0
13、)+F“(x 0 )(a-x 0 )+ (a-x 0 ) 2 + (a-x 0 ) 3 ， 1 (a，x 0 )， F(b)=F(x 0 )+F“(x 0 )(b-x 0 )+ (b-x 0 ) 2 + (b-x 0 ) 3 ， 2 (x 0 ，b)， 两式相减得 F(b)-F(a)=F“(x 0 )(b-a)+ F“( 1 )+F“( 2 )，即 a b f(x)dx=(b-a) f“( 1 )+f“( 2 )， 因为 f“(x)在a，b上连续，所以存在 1 ， 2 (a，b)，使得 f“()= f“( 1 )+f“( 2 )，从而 a b f(x)dx=(b-a) )解析：26.设 xy=xf(z)+yg(z)，且 xf“(z)+yg“(z)0，其中 z=z(x，y)是 x，y 的函数证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：xy=xf(z)+yg(z)两边分别对 x，y 求偏导，得 )解析：27.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.求满足初始条件 y“+2x(y“) 2 =0，y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y“=p，则 y“= ，代入方程得 +2xp 2 =0，解得 =x 2 +C 1 ， 由 y“(0)=1 得 C 1 =1，于是 y“= )解析：
