1、研究生入学考试（电磁场与电磁波）-试卷 2 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：30，分数：60.00)1.在圆柱坐标系中电荷分布为 （分数：2.00）_2.均匀带电导体球的半径为 a，电量为 q，求球内、外的电场及电位分布。（分数：2.00）_3.如图所示，计算方形均匀线电荷在轴线上的电位。 （分数：2.00）_4.如图所示，计算圆形均匀线电荷在轴线上的电位。 （分数：2.00）_5.已知空气填充的平板电容器内的电位分布为 =ax 2 +b，求与之相应的电场。（分数：2.00）_6.已知电场强度为 E=3e x 一 3e y 一 5e z ，试求点(0，0
2、，0)与点(1，2，1)之间的电压。（分数：2.00）_7.已知在球坐标中电场强度为 （分数：2.00）_8.已知半径为 a 的球内、外电场分布为 （分数：2.00）_9.一个半径为 a 的导体球表面套一层厚度为 b-a 的电介质，电介质的介电常数为 。假设导体球带电 q，求任意点的电位。 （分数：2.00）_10.两同心导体球壳半径分别为 a，b，两导体之间介电常数 ，内外导体球壳电位为 V，0。求两导体球壳之间的电场和球壳上的电荷面密度。 （分数：2.00）_11.由无限大的导电平板折成 45的角形区，在该角形区某一点(x 0 ，y 0 ，z 0 )有一点电荷 q，用镜像法求电位分布。 （
3、分数：2.00）_12.内外半径分别为 a、b 的导电球壳内距球心为 d(da)处有一点电荷 q，当 (1)导电球壳电位为 0； (2)导电球壳电位为 V； (3)导电球壳上的总电量为 Q 时，分别求导电球壳内外的电位分布。（分数：2.00）_13.接地无限大导体平板上有一个半径为 a 的半球形突起，在点(0，0，d)处有一个点电荷 q，求导体上方的电位。 （分数：2.00）_14.同轴电缆内导体半径为 10 cm，外导体半径为 40 cm，内外导体之间有两层媒质，内层从 10 cm 到 20 cm，媒质的参数为 1 =50sm， r1 =2；外层从 20 cm 到 40 cm，媒质参数为 2
4、 =100 sm， r2 =4，求：(1)每区域单位长度的电导；(2)单位长度的总电导。（分数：2.00）_15.平板电容器两导体板之间为 3 层非理想介质，厚度分别为 d 1 ，d 2 ，d 3 ，电导率分别为 1 ， 2 ， 3 ，平板面积为 S，如果给平板电容器加电压 V，求平板之间的电场。 （分数：2.00）_16.圆球形电容器内导体半径为 a，外导体半径为 c，内外导体之间填充两层介电常数分别为 1 、 2 ，电导分别为 1 、 2 的非理想介质，两层非理想介质分界面半径为 b，如果内外导体间的电压为V，求电容器中的电场及界面上的电荷密度。 （分数：2.00）_17.将半径为 a 的
5、半个导电球刚好埋人电导率为 的大地中，如图所示，求接地电阻。 （分数：2.00）_18.求截面为矩形的无限长区域(0xa，0yb)的电位，其四壁的电位为 (x，0)=(x，b)=0，(0，y)=0 （分数：2.00）_19.一个截面如图所示的长槽，向 y 方向无限延伸，两侧的电位是零，槽内 y，0，底部的电位为(x，0)=U 0 ，求槽内的电位。 （分数：2.00）_20.半径为无穷长的圆柱面上，有密度为 s = s0 cos 的面电荷，求圆柱面内外的电位。（分数：2.00）_21.有一半径为 a、带电量 q 的导体球，其球心位于介电常数分别为 1 和 2 的两种介质的分界面上，该分界面为无限
6、大平面。试求：(1)导体球的电容；(2)总的静电能量。 （分数：2.00）_22.长度为 L 的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为 l0 。(1)计算线电荷平分线上任意一点的单位；(2)利用直接积分法计算线电荷平分面上任意一点的电场 E，并用 E=一 核对。 （分数：2.00）_23.一个点电荷 q 1 =q 位于点 P 1 (一 a，0，0)，令一点电荷 q 2 =2q 位于点 P 2 (a，0，0)，求空间的零电位面。（分数：2.00）_24.如图所示的两块平行无限大接地导体板，两板之间有一与 z 轴平行的线电荷 q l ，其位置为(0，d)。求板间的电位分布。 （分数：2.00）_25.
7、电荷密度处处等于零的非均匀电介质中，静电位满足什么形式的微分方程?（分数：2.00）_26.试推导不同导电媒质的分界面上存在自由面电荷的条件。（分数：2.00）_27.在半径为 a、电导率为 的无限长直圆柱导线中，沿轴线方向通以均匀分布的恒定电流 I，且导线表面上有均匀分布的电荷密度 S 。 (1)求：导线表面外侧的坡印廷矢量 S； (2)证明：由导线表面进入其内部的功率等于导线内部的焦耳热损耗功率。（分数：2.00）_28.一环形密绕螺旋管的截面为半径等于 a 的圆，环的中心线半径为 R，线圈匝数为 N，通有电流 I。试求：(1)环的截面上任意点的 B； (2)通过环截面的磁通量 m ； (
8、3)截面上磁通量密度的平均值 B av 。（分数：2.00）_29.一同轴圆柱导线的内外导体都是用磁导率为 的铁磁材料制成，导体之间绝缘材料的磁导率为 0 。假设内导体的半径为 a，外导体的内表面和外表面的半径分别为 b 和 c，内导体通有电流 I，外导体上无电流。试计算任意点的 H 和 B。（分数：2.00）_30.假设 =1000 的铁磁材料水平表面外侧空气里的磁场强度为 60 Am，磁场强度矢量与表面法线之间的交角为 5。试求： (1)铁磁材料内部的磁场强度大小和方向； (2)铁磁材料内部的磁通量密度。（分数：2.00）_研究生入学考试（电磁场与电磁波）-试卷 2 答案解析(总分：60.
9、00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：30，分数：60.00)1.在圆柱坐标系中电荷分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可知，此场分布空间为圆柱形，假设此空间圆柱形分布长度为 l，其中电荷分布分两种情况，则 当 ra 时 S D 1 .dS= 0 E 1 .2r.l= V dV 当 ra 时 S D 2 .dS= 0 E 2 .2r.l= V dV )解析：2.均匀带电导体球的半径为 a，电量为 q，求球内、外的电场及电位分布。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 ra 时，E 1 =0 当 ra 时， S D 2 .dS= 0 E 2 .4r 2 =E
10、2 .4 0 r 2 =q 电位分布 )解析：3.如图所示，计算方形均匀线电荷在轴线上的电位。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图，假设方形均匀线电荷密度为 l ，则在任意一条边取一线电荷元，电量即为 l dx，则此线电荷元在 P 点产生的电位为： 因此方形每条边在 P 点处电位为： 根据对称性，可知方形线电荷各边在轴线处产生的电位相同。因此方形线电荷轴线上的总电位为： )解析：4.如图所示，计算圆形均匀线电荷在轴线上的电位。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设圆形线电荷半径为 a，其线密度为 l ，欲求在 P(0，0，z)处电位，在圆上取一线元 dl，则其所带电荷为 d
11、q= l dl，源点到场点 P 的距离为 在圆柱坐标系中，P 点电位为： 若要求轴线上的电场强度，可利用电位与电场强度关系求得，由于电荷分布的对称性，此处电场强度仅有 z 方向的分量，即 )解析：5.已知空气填充的平板电容器内的电位分布为 =ax 2 +b，求与之相应的电场。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：6.已知电场强度为 E=3e x 一 3e y 一 5e z ，试求点(0，0，0)与点(1，2，1)之间的电压。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A(0，0，0)，B(1，2，1)，则 U=E.dl 所以 U AB = A B E.dl= 0 1 3e x
12、dx 一 0 2 3e y dy 0 1 5e z dz =3325=一 8 V)解析：7.已知在球坐标中电场强度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用电场强度与电位关系，= l E.dl，可得两点间电压为： )解析：8.已知半径为 a 的球内、外电场分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在球外，ra 则 1 =0 在球内，ra )解析：9.一个半径为 a 的导体球表面套一层厚度为 b-a 的电介质，电介质的介电常数为 。假设导体球带电 q，求任意点的电位。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用电场强度的积分计算，导体球电荷只分布在球外表面，由高斯定理 当ra
13、时，导体球内电势 当 arb 时，介质内电势 当 rb 时， )解析：10.两同心导体球壳半径分别为 a，b，两导体之间介电常数 ，内外导体球壳电位为 V，0。求两导体球壳之间的电场和球壳上的电荷面密度。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设内导体带电量为 Q。以 O 点为圆心，在内、外导体球壳间构造一个半径为 r 的球形高斯面，电场方向沿径向，则：E=E r e r ，利用高斯定理，可得： 由于内、外导体电位差为V，则有： 因此，内、外导体球壳间电场为： 内、外导体上电荷面密度分别为： )解析：11.由无限大的导电平板折成 45的角形区，在该角形区某一点(x 0 ，y 0 ，z 0
14、)有一点电荷 q，用镜像法求电位分布。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：角度 45，n=18045=4 镜像电荷 2n 一 1=7 个，点电荷 q 的坐标为(x 0 ，y 0 ，z 0 )，各电荷的距离分别为 R 1 ，R 2 ，R 3 ，R 4 ，R 5 ，R 6 ，R 7 ，R 8 。 )解析：12.内外半径分别为 a、b 的导电球壳内距球心为 d(da)处有一点电荷 q，当 (1)导电球壳电位为 0； (2)导电球壳电位为 V； (3)导电球壳上的总电量为 Q 时，分别求导电球壳内外的电位分布。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)导电球壳电位为零时 此时导电球壳外无
15、电荷分布，则球壳外电位为零。导电球壳内的电位是由导电球壳内的点电荷和导电球壳内壁上的电荷产生，而导电球壳内壁上的电荷可用位于导电球壳外的镜像电荷等效，两个电荷使球壳内壁面上的电位为零，因此镜像电荷的大小、距球心的距离分别为 (2)导电球壳电位为 V 时 此时导电球壳内的电位可看成两部分的叠加： 一部分是内有点电荷但球壳为零时的电位，如(1)；另一部分是内无点电荷但球壳电位为 V 时的电位，这部分电位为 V 0 。则导电球壳内的电位为 (3)导电球壳上总电量为 Q 此时导电球体是等位面，且导电球外电位是球对称的，导电球壳内的总电量为 Q+q，其电位 导电球壳上的电位为 则导电球壳内的电位为 )解
16、析：13.接地无限大导体平板上有一个半径为 a 的半球形突起，在点(0，0，d)处有一个点电荷 q，求导体上方的电位。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用镜像法有 3 个镜像电荷 )解析：14.同轴电缆内导体半径为 10 cm，外导体半径为 40 cm，内外导体之间有两层媒质，内层从 10 cm 到 20 cm，媒质的参数为 1 =50sm， r1 =2；外层从 20 cm 到 40 cm，媒质参数为 2 =100 sm， r2 =4，求：(1)每区域单位长度的电导；(2)单位长度的总电导。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：内外导体间两层媒质是非理想的，因此设同轴电缆内外导
17、体之间单位长度的漏电流为 I，在半径为 r 的圆柱面上电流均匀，电流密度为 电场强度为 第一层的电压为 第二层的电压为 (1)第一层单位长度的电导为 第二层单位长度的电导为 (2)单位长度的总电导为 )解析：15.平板电容器两导体板之间为 3 层非理想介质，厚度分别为 d 1 ，d 2 ，d 3 ，电导率分别为 1 ， 2 ， 3 ，平板面积为 S，如果给平板电容器加电压 V，求平板之间的电场。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.圆球形电容器内导体半径为 a，外导体半径为 c，内外导体之间填充两层介电常数分别为 1 、 2 ，电导分别为 1 、 2 的非理想介质，两层非
18、理想介质分界面半径为 b，如果内外导体间的电压为V，求电容器中的电场及界面上的电荷密度。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于球形电容器内填充两层非理想介质，有电流流过，则设电流为 I。 在圆球形电容器内取一半径为 r 的球面，流过此球面的电流密度为 J=Je ， 则电流为 内导体表面电荷密度为 外导体表面电荷密度为 媒质分界面的电荷密度为 )解析：17.将半径为 a 的半个导电球刚好埋人电导率为 的大地中，如图所示，求接地电阻。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设由接地体流出的电流为 I，则 在离球心 x 远处的电流密度 (球面面积此处一半) )解析：18.求截面为矩形的
19、无限长区域(0xa，0yb)的电位，其四壁的电位为 (x，0)=(x，b)=0，(0，y)=0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由边界条件 (x，0)=(x，b)=0 知，方程基本解在 y 方向应该为周期函数，且仅仅取正弦函数，即 Y n =sink n y 在 x 方向，由于是有限区域，使用边界条件 (0，y)=0，则仅取双曲正弦函数，即 由分离变量法，可知区域中电位为 由 x=a 处边界条件确定待定系数，即 使用正弦函数的正交归一性，有： )解析：19.一个截面如图所示的长槽，向 y 方向无限延伸，两侧的电位是零，槽内 y，0，底部的电位为(x，0)=U 0 ，求槽内的电位。 （
20、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：采用直角坐标系，槽内电位函数满足 Laplace 方程 由边界条件 (x，0)=U 0 (x，)=0 (a，y)=0 (0，y)=0 设 =X(x)Y(y)，代入 Laplace 方程 )解析：20.半径为无穷长的圆柱面上，有密度为 s = s0 cos 的面电荷，求圆柱面内外的电位。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：假设无穷长的圆柱面半径为 R，根据高斯定理，有： rR 时，内部电荷量为零，因此 E 1 =0， 当 rR 时，电位分布为(假设零电位参考点为 P) 当 rR 时，电位分布为 )解析：21.有一半径为 a、带电量 q 的导体球，其球
21、心位于介电常数分别为 1 和 2 的两种介质的分界面上，该分界面为无限大平面。试求：(1)导体球的电容；(2)总的静电能量。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)C=2( 1 + 2 )a；(2) )解析：22.长度为 L 的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为 l0 。(1)计算线电荷平分线上任意一点的单位；(2)利用直接积分法计算线电荷平分面上任意一点的电场 E，并用 E=一 核对。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.一个点电荷 q 1 =q 位于点 P 1 (一 a，0，0)，令一点电荷 q 2 =2q 位于点 P 2 (a，0，0)，求空间的零电位面。
22、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.如图所示的两块平行无限大接地导体板，两板之间有一与 z 轴平行的线电荷 q l ，其位置为(0，d)。求板间的电位分布。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.电荷密度处处等于零的非均匀电介质中，静电位满足什么形式的微分方程?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.试推导不同导电媒质的分界面上存在自由面电荷的条件。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.在半径为 a、电导率为 的无限长直圆柱导线中，沿轴线方向通以均匀分布的恒定电流 I，且导线表面上有均匀分布的电荷密度 S 。 (1
23、)求：导线表面外侧的坡印廷矢量 S； (2)证明：由导线表面进入其内部的功率等于导线内部的焦耳热损耗功率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当导线的电导率 为有限值时，导线内部存在沿电流方向的电场 根据边界条件，在导线表面上电场的切向分量连续，即 E iz =E 0z 。因此，在导线表面外侧的电场的切向分量为 又利用高斯定律，容易求得导线表面外侧的电场的法向分量为 故导线表面外侧的电场为 利用安培环路定律，可求得导线表面外侧的磁场为 故导线表面外侧的坡印廷矢量为 (2)由内导体表面每单位长度进入其内部的功率 式中， )解析：28.一环形密绕螺旋管的截面为半径等于 a 的圆，环的中
24、心线半径为 R，线圈匝数为 N，通有电流 I。试求：(1)环的截面上任意点的 B； (2)通过环截面的磁通量 m ； (3)截面上磁通量密度的平均值 B av 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)求解环的截面上任意点的 B 需要在截面所确定的圆域内进行。B 只与圆域内点(r，)与环的中心线距离 R+rcos 有关，根据安培环路定律 l B.dl=2(R+rcos)B= 0 IN (2)建立如图所示的直角坐标系，因为 B 只与 x 有关，而与 y 无关，所以面元 dS=2ydx 横截面的方程为 y 2 +(xR) 2 =a 2 则 那么通过面元的磁通量 通过环截面的磁通量 (3)截
25、面上磁通量密度的平均值 )解析：29.一同轴圆柱导线的内外导体都是用磁导率为 的铁磁材料制成，导体之间绝缘材料的磁导率为 0 。假设内导体的半径为 a，外导体的内表面和外表面的半径分别为 b 和 c，内导体通有电流 I，外导体上无电流。试计算任意点的 H 和 B。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)ra 电流密度为 ，根据安培环路定律得 (2)arb 根据安培环路定律 H 2 2r=I (3)brc 根据安培环路定律 )解析：30.假设 =1000 的铁磁材料水平表面外侧空气里的磁场强度为 60 Am，磁场强度矢量与表面法线之间的交角为 5。试求： (1)铁磁材料内部的磁场强度大小和方向； (2)铁磁材料内部的磁通量密度。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)根据边界条件可以得到 H 1t =H 2t B 1n =B 2n 所以铁磁材料内部磁场强度的切线分量 H 2t =H 1t =H 0 sin 1 =60sin5=523 Am 法线分量 磁场强度大小 铁磁材料内部的磁场强度矢量与法线方向夹角 )解析：
