1、研究生入学考试（电磁场与电磁波）-试卷 4 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、证明题(总题数：3，分数：6.00)1.试证明电磁能量密度 和 S=EH 在下列变换下都具有不变性： E 1 =Ecos+Hsin， （分数：2.00）_2.试证明任意的圆极化波的瞬时坡印廷矢量的值是个常数。（分数：2.00）_3.试证明任何的椭圆极化波均可分解为两个旋转方向相反的圆极化波。（分数：2.00）_二、计算题(总题数：27，分数：54.00)4.若真空中正弦电磁场的电场复矢量为 试求电场强度的瞬时值 E(r，t)，磁感应强度复矢量 及复能流密度矢量 （分数：2.00）_5.在自由空间
2、存在电磁场 求： (1)磁场强度复矢量 （分数：2.00）_6.已知无源自由空间的电场 E(r，t)=E m sin(t 一 kz)e y (1)由麦克斯韦方程求磁场强度； (2)证明k 等于光速 c； (3)求坡印廷矢量的平均值。（分数：2.00）_7.假设与 yz 平面平行的两无限大理想导体平板之间电场复矢量为 （分数：2.00）_8.若真空中无源区域有时变电场 E=E 0 cos(t 一 kz)e x (1)由麦克斯韦方程求时变磁场强度； (2)证明 以及 E 与 H 的比为 （分数：2.00）_9.在横截面为 ab 的矩形波导中，电磁场的复矢量为 （分数：2.00）_10.在半径为 a
3、、电导率为 的无限长直圆柱导线中，沿轴向通以均匀分布的恒定电流 I，且导线表面上有均匀分布的电荷面密度 s。 (1)导线表面外侧的坡印廷矢量； (2)证明：由导线表面进入其内部的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。（分数：2.00）_11.电场强度 E(r，t)=e x cos(310 8 t 一 2z)一 e y 4sin(310 8 t 一 2z)mVm 的均匀平面电磁波在相对磁导率 r =1 的理想介质中传播，求：(1)电磁波的极化状态；(2)理想介质的波阻抗；(3)电磁波的相速度 v p 。（分数：2.00）_12.电场复矢量振幅 E i (r)=e x 10e -jz mVm 的均匀平面
4、电磁波由空气一侧垂直入射到相对介电常数 r =225，相对磁导率 r =1 的理想介质一侧，其界面为 z=0 平面，求：(1)入射波磁场的瞬时值 H i (r，t)；(2)反射波的振幅 E rm ；(3)透射波坡印廷(Poynting)矢量的平均值 S av (r)。（分数：2.00）_13.真空中传播的均匀平面电磁波的电场复矢量振幅为 E r =40(e x +j4e y +j3e z )e -j(0.6y-0.8z) mVm，试求： (1)波传播方向的单位矢量 e n ； (2)波的频率 f； (3)波的磁场强度的瞬时值 H(r，t)。（分数：2.00）_14.电场复矢量振幅为 E i (
5、r)=5(e x 一 je y )e -jz Vm 的均匀平面电磁波由 r =1， r =9 的理想介质垂直入射向空气，若界面为 z=0 的平面， (1)试说明反射波的极化状态； (2)试求反射波电场的复矢量振幅 E r (r)； (3)试求当入射角 i 为何值时反射波为线性极化波； (4)试求当入射角 i 为何值时进入空气中的平均功率的 z 分量为零。（分数：2.00）_15.均匀平面电磁波在 r =1 的理想介质中传播，若电磁波的电场的瞬时值为 E(r，t)=e x 30cos2(10 8 t 一 05z)+ （分数：2.00）_16.频率 f=10 8 Hz 的均匀平面电磁波在 r =1
6、 的理想介质中传播，其电场强度矢量 E r (r)= （分数：2.00）_17.有一均匀平面波在 = 0 、=4 0 、=0 的媒质中传播，其电场强度 E= （分数：2.00）_18.在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为 （分数：2.00）_19.已知自由空间传播的均匀平面波的磁场强度为 （分数：2.00）_20.自由空间的均匀平面波的电场表达式为 E(r，t)=(e x +e y 2+e z E zm )10cos(t+3xyz)Vm 式中的 E zm 为待定量。试由该表达式确定波的传播方向、角频率 、极化状态，并求出与 E(r，t)相伴的磁场 H(r，t)。（分数：2.00）_21
7、.已知在 100 MHz 时，石墨的趋肤深度为 016 mm，试求：(1)石墨的电导率；(2)1 GHz 的电磁波在石墨中传播多长距离其振幅衰减了 30 dB?（分数：2.00）_22.一圆极化波自空气中垂直入射于一介质板上，介质板的本征阻抗为 2 。入射波电场为 E=E m (e x +e y j)e -jz 。求反射波与透射波的电场，它们的极化情况如何?（分数：2.00）_23.均匀平面波从 = 0 、=4 0 的理想电介质中斜入射到与空气的分界面上。试求：(1)希望在分界面上产生全反射，应该采取多大的入射角；(2)若入射波是圆极化波，而只希望反射波成为单一的直线极化波，应以什么入射角入射
8、?（分数：2.00）_24.在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为 E=E 0 cos(210 8 t 一 2z)e x Vm 已知介质的 r =1，求其 r ，并写出 H 的表达式。（分数：2.00）_25.无界自由空间传播的电磁波，其电场强度复矢量为 （分数：2.00）_26.在无界理想介质( r =5， r =1)中传播均匀平面波。已知其磁场强度复矢量为 （分数：2.00）_27.下列表达式中的平面波各是什么极化波?如果是圆或椭圆极化波，判断是左旋还是右旋? (1)E=E 0 sin(t 一 kz)e x +E 0 cos(t 一 kz)e y ； (2)E=E 0 sin(t 一 k
9、z)e x +2E 0 sin(t 一 kz)e y ； （分数：2.00）_28.已知自由空间中传播的电磁波的电场强度为 E=377cos(610 8 t+2z)e y (Vm)。 试问：该波是否属于均匀平面波?并求该电磁波的频率、波长、相速、相位常数、传播方向各 H 的大小和方向。（分数：2.00）_29.平面波从空气向理想介质( r 1， r =1)垂直入射，在分界面上 E 0 =10 Vm，H 0 =0226 Am。(1)求第二媒质的 r ；(2)求 E i0 ,H i0 ,E r0 ，H r0 ，E l0 ，H l0 .（分数：2.00）_30.有一频率为 100 MHz、沿 y 方
10、向极化的均匀平面波从空气(x0 区域)中垂直入射到位于 x=0 的理想导体板上。设入射波电场 E i 的振幅为 10 Vm，试求： (1)入射波电场 E i 和磁场 H i 的复矢量；(2)反射波电场 E r 和磁场 H r 的复矢量； (3)合成波电场 E 1 和磁场 H 1 的复矢量；(4)距离导体平面最近的合成波电场 E 1 为零的位置；(5)距离导体平面最近的合成波磁场 H 1 为零的位置。（分数：2.00）_研究生入学考试（电磁场与电磁波）-试卷 4 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、证明题(总题数：3，分数：6.00)1.试证明电磁能量密度 和 S=EH 在下列
11、变换下都具有不变性： E 1 =Ecos+Hsin， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：2.试证明任意的圆极化波的瞬时坡印廷矢量的值是个常数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设任一圆极化波为 E=e x E x +e y E y 由此得证，圆极化波的瞬时坡印廷矢量值为常数，等于 )解析：3.试证明任何的椭圆极化波均可分解为两个旋转方向相反的圆极化波。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可表示为 设两个旋向相反的圆极化波分别为 E 1 =(e x +e y j)E 1m e -jz E 2 =(e x 一 e y j)E 2m
12、e -jz 其中 E 1m ，E 2m 均为复数 令 E 1 +E 2 =E 即 (e x +e y j)E 1m e -jz +(e x 一 e y j)E 2m e -jz = 则有 E 1m +E 2m = E 1m 一 E m2 = 由此得解 故得两个旋向相反的圆极化波分别为 )解析：二、计算题(总题数：27，分数：54.00)4.若真空中正弦电磁场的电场复矢量为 试求电场强度的瞬时值 E(r，t)，磁感应强度复矢量 及复能流密度矢量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：5.在自由空间存在电磁场 求： (1)磁场强度复矢量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1
13、)依复数形式的麦克斯韦第二方程，得磁场强度复矢量为： (2)平均能流密度 )解析：6.已知无源自由空间的电场 E(r，t)=E m sin(t 一 kz)e y (1)由麦克斯韦方程求磁场强度； (2)证明k 等于光速 c； (3)求坡印廷矢量的平均值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)E=一 j 0 H (2)因为自由空间中有 H=j 0 E )解析：7.假设与 yz 平面平行的两无限大理想导体平板之间电场复矢量为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 所以得如下结果 s| x=0 = 0 E m cos(t 一 kz) s| x=d =- 0 E m cos(t 一 k
14、z) )解析：8.若真空中无源区域有时变电场 E=E 0 cos(t 一 kz)e x (1)由麦克斯韦方程求时变磁场强度； (2)证明 以及 E 与 H 的比为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)无源场，所以 Js=0，S=0，由麦克斯韦方程知： 取积分，并忽略与时间无关的常数，得 将 E=E 0 cos(t 一 kz)e x 代入得 )解析：9.在横截面为 ab 的矩形波导中，电磁场的复矢量为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.在半径为 a、电导率为 的无限长直圆柱导线中，沿轴向通以均匀分布的恒定电流 I，且导线表面上有均匀分布的电荷面密度 s。 (1
15、)导线表面外侧的坡印廷矢量； (2)证明：由导线表面进入其内部的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.电场强度 E(r，t)=e x cos(310 8 t 一 2z)一 e y 4sin(310 8 t 一 2z)mVm 的均匀平面电磁波在相对磁导率 r =1 的理想介质中传播，求：(1)电磁波的极化状态；(2)理想介质的波阻抗；(3)电磁波的相速度 v p 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)E=(e x +j4e y )e -j2z ，该波沿+z 方向传播 所以该波为左旋圆极化波。对于平面波的极化方向判断常常不易理解容易混
16、淆，其实只要记住：任意向量满足 e x e y =e z ，波沿 e z 正向传播时，当 x 一 y 0 时为右旋，否则左旋。此外 )解析：12.电场复矢量振幅 E i (r)=e x 10e -jz mVm 的均匀平面电磁波由空气一侧垂直入射到相对介电常数 r =225，相对磁导率 r =1 的理想介质一侧，其界面为 z=0 平面，求：(1)入射波磁场的瞬时值 H i (r，t)；(2)反射波的振幅 E rm ；(3)透射波坡印廷(Poynting)矢量的平均值 S av (r)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)入射波在空气中传播。 反射波振幅 |E nn |=|E im |
17、=2 mVm (3)透射系数 T=1+=08，|E tm |=|TE im |=8 mVm )解析：13.真空中传播的均匀平面电磁波的电场复矢量振幅为 E r =40(e x +j4e y +j3e z )e -j(0.6y-0.8z) mVm，试求： (1)波传播方向的单位矢量 e n ； (2)波的频率 f； (3)波的磁场强度的瞬时值 H(r，t)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由场方程知传播方向单位矢量为 e n =06e y 一 08e z (2)波在真空中传播， f=1510 8 Hz=150 MHz (3)磁场复振幅矢量 )解析：14.电场复矢量振幅为 E i
18、(r)=5(e x 一 je y )e -jz Vm 的均匀平面电磁波由 r =1， r =9 的理想介质垂直入射向空气，若界面为 z=0 的平面， (1)试说明反射波的极化状态； (2)试求反射波电场的复矢量振幅 E r (r)； (3)试求当入射角 i 为何值时反射波为线性极化波； (4)试求当入射角 i 为何值时进入空气中的平均功率的 z 分量为零。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)波沿+z 方向传播，|E xm |=|E ym | 反射波为右旋圆极化波 (2)介质波阻抗 反射波电场复振幅矢量为： E r (r)=.5(e x 一 je y )e -jz = (3)当入射角
19、 i 等于布儒斯特角时，反射波为线极化波。 (4)全反射时进入空气的波无 z 分量， 时进入空气的波无 z 分量。 本题需注意波是从介质射向空气的。熟悉布儒斯特角和全反射条件。3、4 问也可以直接通过几何光学来解，当入射角为布儒斯特角时反射光线与折射光线垂直，折射角和反射角互为余角，即折射角与入射角也互余。由折射公式 即可求出入射角为 arctan 全反射时可看做折射角定律在折射角为 90时的特例 )解析：15.均匀平面电磁波在 r =1 的理想介质中传播，若电磁波的电场的瞬时值为 E(r，t)=e x 30cos2(10 8 t 一 05z)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 电
20、场能量平均值等于磁场能量平均值， (3)坡印廷矢量平均值为：)解析：16.频率 f=10 8 Hz 的均匀平面电磁波在 r =1 的理想介质中传播，其电场强度矢量 E r (r)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 坡印廷矢量平均值为： 相速度：t 一 kz=const,v p =dzdt=z，群速度 v g =dd。定义式：能量传输速度 )解析：17.有一均匀平面波在 = 0 、=4 0 、=0 的媒质中传播，其电场强度 E= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 E 的表达式可看出这是沿+z 方向传播的均匀平面波，其波数为 (2)平均坡印廷矢量为 故得 E m =(
21、2026510 -6 ) 1/2 10 -2 Vm (3)随着时间 t 的增加，波将沿+z 方向传播，当 t=01s 时，电场为 )解析：18.在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)传播方向为 e z 由题意知 故 (2)原电场可表示为 E=(e x +je y )10 -4 e -j2z 是左旋圆极化波。 )解析：19.已知自由空间传播的均匀平面波的磁场强度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)波的传播方向由波矢量 k 来确定。由给出的 H 的表达式可知 k.r=k x x+k y y+k z z=一 x+y+05z 故
22、k x =-，k y =，k z =05 即 k=一 e x +e y +e z 05 则波传播方向单位矢量为 (3)与 H 相伴的 E 为 E=(He n ) 0 (4)平均坡印廷矢量 )解析：20.自由空间的均匀平面波的电场表达式为 E(r，t)=(e x +e y 2+e z E zm )10cos(t+3xyz)Vm 式中的 E zm 为待定量。试由该表达式确定波的传播方向、角频率 、极化状态，并求出与 E(r，t)相伴的磁场 H(r，t)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设波的传播方向的单位矢量为 e n ，则电场的复数形式可表示为 E(r)= 题目中给定的电场的复数形式为
23、 E(r，t)=e x +e y 2+e z E zn )10e -j(-3x+y+z) Vm 于是有 E m =e x 10+e y 20+e z 10E zm k.r=ke n .r=一 3x+y+z 又 k.r=k x x+k y y+k z z 可见 k x =一 3，k y =1，k z =1 故波矢量 k=一 e x 3+e y +e z 波传播方向的单位矢量 e n 为 波的角频率为 为了确定 E zm ，可利用均匀平面波的电场矢量垂直于波的传播方向这一性质，故有 k.E m =0，即 (一 e x 3+e y +e z ).(e x 10+e y 20+10E zm )=0 由
24、此得 -30+20+10 zm =0 故得到 E zm =1 因此，自由空间任意一点 r 处的电场为 E(r，t)=10(e x +e y 2+e z )cos(99510 8 t+3xyz)Vm 上式表明电场的各个分量同相位，故 E(r，t)表示一个直线极化波。 与 E(r，t)相伴的磁场 H(r，t)为 )解析：21.已知在 100 MHz 时，石墨的趋肤深度为 016 mm，试求：(1)石墨的电导率；(2)1 GHz 的电磁波在石墨中传播多长距离其振幅衰减了 30 dB?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由趋肤深度 得到石墨的电导率 (2)当 f=10 9 Hz 时 要求
25、20lge -az =-30 dB 故得到 )解析：22.一圆极化波自空气中垂直入射于一介质板上，介质板的本征阻抗为 2 。入射波电场为 E=E m (e x +e y j)e -jz 。求反射波与透射波的电场，它们的极化情况如何?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设媒质 1 为空气，其本征阻抗为 0 ，故分界面上的反射系数和透射系数分别为 都是实数，故 ，T 也是实数。 反射波的电场为 E 1 =E m (e x +e y j)e jz 可见，反射波电场的两个分量的振幅仍相等，相位关系与入射波相比没有变化，故反射波仍然是圆极化波。但波的传播方向变为一 z 方向，故反射波变为右旋圆极化
26、波，而入射波是沿+z 方向传播的左旋圆极化波。 透射波电场为 式中， )解析：23.均匀平面波从 = 0 、=4 0 的理想电介质中斜入射到与空气的分界面上。试求：(1)希望在分界面上产生全反射，应该采取多大的入射角；(2)若入射波是圆极化波，而只希望反射波成为单一的直线极化波，应以什么入射角入射?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)均匀平面波是从稠密媒质( 1 =4 0 )入射到稀疏媒质( 2 = 0 )，若取入射角 i 大于(或等于)临界角 c ，就可产生全反射。 故取 i 30时可产生全反射。 (2)圆极化波可分解为平行极化和垂直极化两个分量，当入射角 i 等于布儒斯特角 B
27、 时，平行极化分量就产生全透射，这样，反射波中只有单一的垂直极化分量，即 )解析：24.在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为 E=E 0 cos(210 8 t 一 2z)e x Vm 已知介质的 r =1，求其 r ，并写出 H 的表达式。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.无界自由空间传播的电磁波，其电场强度复矢量为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2)平均功率密度为 )解析：26.在无界理想介质( r =5， r =1)中传播均匀平面波。已知其磁场强度复矢量为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)由题意知波的传播方向为： (2)电场强度复
28、矢量 E=一 e k H=He k (3)坡印廷矢量平均值 (4)电磁场瞬时表达式 )解析：27.下列表达式中的平面波各是什么极化波?如果是圆或椭圆极化波，判断是左旋还是右旋? (1)E=E 0 sin(t 一 kz)e x +E 0 cos(t 一 kz)e y ； (2)E=E 0 sin(t 一 kz)e x +2E 0 sin(t 一 kz)e y ； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)E=E 0 sin(t 一 kz)e x +E 0 cos(t-kz)e y 所以为右旋圆极化波 (2) x = y 所以为线极化波 可见 )解析：28.已知自由空间中传播的电磁波的电场强
29、度为 E=377cos(610 8 t+2z)e y (Vm)。 试问：该波是否属于均匀平面波?并求该电磁波的频率、波长、相速、相位常数、传播方向各 H 的大小和方向。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按定义判断为均匀平面波 (波阵面即等相位为平面且在等相位面上各个场强都相等的电磁波) =610 8 =2f f=310 8 Hz v p =c=310 8 ms =cf=310 8 310 8 =1 m k=2 传播方向-z =377 )解析：29.平面波从空气向理想介质( r 1， r =1)垂直入射，在分界面上 E 0 =10 Vm，H 0 =0226 Am。(1)求第二媒质的 r
30、；(2)求 E i0 ,H i0 ,E r0 ，H r0 ，E l0 ，H l0 .（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.有一频率为 100 MHz、沿 y 方向极化的均匀平面波从空气(x0 区域)中垂直入射到位于 x=0 的理想导体板上。设入射波电场 E i 的振幅为 10 Vm，试求： (1)入射波电场 E i 和磁场 H i 的复矢量；(2)反射波电场 E r 和磁场 H r 的复矢量； (3)合成波电场 E 1 和磁场 H 1 的复矢量；(4)距离导体平面最近的合成波电场 E 1 为零的位置；(5)距离导体平面最近的合成波磁场 H 1 为零的位置。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 则入射波电场 E i 和磁场 H i 的复矢量分别为 (2)反射波电场 E r 和磁场 H r 的复矢量分别为 (3)合成波电场 E 1 和磁场 H 1 的复矢量分别为 (4)对于 E 1 (x)，当 x=0 时，E 1 (0)=0，而在空气中，第一个零点发生在 处，即 (5)对于 H 1 (x)， )解析：
