1、2015届江苏省泰兴市西城中学九年级上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 方程 的根是（ ） A B C , D , 答案： D 试题分析：直接对一元二次方程左边进行因式分解，得出两根 . 考点：解一元二次方程 . 已知 ，则 的值为 . 答案： 试题分析：本题可以根据条件求出 的值，再代入求解，也可以整体代入，显然后者更简便 .将所求式子化为 ，将 代入，得，故所求式子的值为 . 考点：整体思想求代数式的值 . 如图，边长为 的正方形 中，点 在 延长线上，连接 交 于点 ， （ ）， 则在下面函数图象中，大致能反映与 之闻函数关系的是（ ） 答案： C 试题分析：由图知， ，所以
2、 ，因为 ，所以， . ，即（ ） .选项中只有 C的图像是反比例函数图像，故选 C. 考点： 1.相似三角形对应边成比例； 2.求函数式； 3.反比例函数的图像 . 如图，在宽为 ，长为 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪要使草坪的面积为 ，求道路的宽 如果设小路宽为 ，根据题意，所列方程正确的是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：初看题目所给的图形，小路绕来绕去，似乎不好求解，但若 “变曲为直 ”，将原来的道路等价为十字形道路，甚至是等价为草坪外围的 L形道路（如图），则草坪的长为 ，宽为 ，问题迎刃而解 . 考点： 1.对图形的等价转换； 2.一元
3、二次方程的实际应用 . 已知 中， ， ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：本题考察的是基本概念，可作一简图，如图所示，由余弦的定义可设 ， ，由勾股定理求得 ，再根据正弦的定义即可求得. 考点： 1.锐角三角比的概念； 2.勾股定理 . 如图，在 中， 、 分别是边 、 的中点，则 的面积与四边形 的面积比为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由题意知， 为 的中位线，根据中位线定理， ， .故 和 为相似三角形，且相似比为 .根据相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方，所以 和 的面积之比为 ，所以 和四边形 的面积之比为 . 考点： 1.三角形中位线定理；
4、2.相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方 . 已知 的半径为 ，点 在 内，则 不可能等于（ ） A B C D 答案： D 试题分析：点在圆内，说明点到圆心的距离小于半径 .选项 A、 B、 C均符合点在圆内，选项 D中点到圆心的距离正好等于半径，说明点在圆上，故不可能为D. 考点：点与圆的位置关系及相应的数量关系 . 填空题 如图，在 55的正方形网格中（每个小正方形的边长为 1），规定三角形的顶点是网格的交点的三角形叫格点三角形 .若格点三角形 和 相似（这里全等除外） , 与 的相似比为 ，则满足条件的 的值为_. 答案： 试题分析：由图知，格点三角形 的三边长为 ，若要与其相似
5、，且为格点三角形，则边长应为 等的整数倍 .当相似比 时，三边长为 ；当相似比 时，三边长为 ；当相似比时，三边长为 ；当相似比 时，三边长为 ，此时三角形已占满大正方形，故讨论完毕 . 考点： 1.相似三角形的性质； 2.分类讨论 . 如图，线段 ，点 P1是线段 的黄金分割点（ ），点 是线段 的黄金分割点（ ），点 是线段 的黄金分割点（ ）， ，依次类推，则线段 的长度是 _. 答案： 试题分析：因为 ，由黄金分割的定义可知， ，故.同理， ， ， ， .迭代可得， . 考点： 1.黄金分割的定义； 2.迭代思想 . 中， ， 为 延长线上一点， 为 延长线上一点，当 时， . 答案：
6、 试题分析：由图知，若 ，根据相似三角形的性质，则，故所求角 .由三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，可得 .再根据等腰三角形的性质，易求得 ，故 . 考点： 1.等腰三角形的性质； 2.三角形内角与外角的关系； 3.相似三角形的性质 . 将半径为 ，圆心角为 的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为 . 答案： 试题分析：分析题意，欲求圆锥的底面半径，需求底面周长；而底面周长即为圆锥展开图扇形的弧长，根据弧长公式将数据代入即可 .因为扇形弧长，故圆锥底面周长 ，故半径 . 考点： 1.扇形的弧长公式； 2.圆锥的侧面展开图 . 如图，点 、 、 、 为 上的点， ，若 ， .则 .
7、答案： 试题分析：联结 ，因为 ，则 为直径， .考虑到和 均为 所对的圆周角，故 ，即，将 代入即得 . 考点： 1.同弧所对圆周角的关系； 2.圆的相关性质； 3.锐角三角函数 . 如图， 是 的直径， ， 分别是过 上点 ， 的切线，且 连接 ，则 的度数是 答案： 试题分析：联结 ，因为 、 均为圆的切线，故 ，所以 .而 为等腰三角形，即得 . 此题也可从圆心角和圆周角 的倍数关系得出答案： . 考点： 1.圆的相关性质； 2.等腰三角形的性质（或圆心角和圆周角的关系） . 如图是三角尺在灯泡 O的照射下在墙上形成的影子现测得 ，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长之比是_
8、答案： 试题分析：由图知， ，且 ， 故 ，根据相似三角形的性质，周长之比等于相似比，故. 考点：相似三角形的性质 . 如图， 、 分别与 相切于点 、 ，连接 ， ，则 的长是 . 答案： 试题分析：由切线长定理可知，过圆外一点可以作两条切线，且长度相等，图中 . 因为 ，所以 为等边三角形，所以 . 考点： 1.切线长定理； 2.等边三角形的判定及性质 . 正十边形的对称轴的条数为 _ _. 答案： 试题分析：正多边形都是轴对称图形，因为边数为偶数 10，故对称轴有两类：第一类是过相对顶点的直线，有 5条；第二类是相对边的垂直平分线，也有 5条，所以总共 10条 . 考点：正多边形的对称性
9、 . 计算题 （ 12分）用适当的方法解下列方程 . （ 1） （ 2） 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：除题目特殊要求外，若一元二次方程化为一般式后，常数项为 0或容易利用十字相乘法进行分解，则用因式分解法解方程较简单；若常数项系数为 1且一次项系数为偶数，可配成 时，采用配方法较简便；而公式法对所有一元二次方程均试用 . 试题：（ 1）化为 原方程的解为 . （ 2）化为 即 原方程的解为 . 考点：选取合适的方法解一元二次方程 . （ 12分）在 中， 分别为 所对的边，我们称关于 的一元二次方程 为 “ 的 方程 ”.根据规定解答下列问题： （ 1） “ 的 方程 ” 的根的情况
10、是 （填序号）； 有两个相等的实数根； 有两个不相等的实数根； 没有实数根 . （ 2）如图， 为 的直径，点 为 上的一点， 的平分线交 于点 ， 求 “ 的 方程 ” 的解； （ 3）若 是 “ 的 方程 ” 的一个根，其中 均为正整数，且 ，求： 求 的值； 求 “ 的 方程 ”的另一个根 . 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） ； 试题分析：（ 1）判断一元二次方程根的情况的依据是根的判别式，因为为三角形三边，故 恒成立，故原方程必有两个不等实根；（ 2）图中的关键信息是直径和角平分线，得到 是等腰直角三角形后，适当设值代入即可求出方程的解；（ 3）根据方程根的定义将 代入原方程，
11、得到 ，再结合 得出 的确切值，进而求出 的值，代入求方程的解 .本小题中求 的确切值是难点也是解题关键 . 试题：（ 1） ； （ 2）由图知， 为直径 平分 和 都是 所对的圆周角 为等腰直角三角形 不妨设 ， ，故原方程化为 解得 “ 的 方程 ” 的解为 ； （ 3） 将 代入原方程，得 且 均为正整数 能被 整除 （不能构成三角形，舍）或 原方程为 解得 方程另一根为 . 考点： 1.一元二次方程根的判别式； 2.圆的性质； 3.一元二次方程与不等式 . 解答题 （ 12分） 正方形 与扇形 有公共顶点 ，分别以 ， 所在直线为 轴、 轴建立平面直角坐标系如图所示，正方形两个顶点 、
12、 分别在 轴、 轴正半轴上移动，设 ， ， （ 1）当 时，正方形与扇形不重合的面积是 ；此时直线 对应的函数关系式是 ； （ 2）当直线 与扇形 相切时求直线 对应的函数关系式； （ 3）当正方形有顶点恰好落在弧 上时，求正方形与扇形不重合的面积 答案：（ 1） ； ；（ 2） ；（ 3） 或试题分析：（ 1）直接套用扇形面积公式求得，再减去正方形面积即可；因为直线 经过正方形对角线，所以斜率为 ，可直接写出直线 的式；（ 2）此类题目最好先作图，再数形结合求解 .因为直线 的斜率始终为 ，所以只需再求一点的坐标即可 .结合正方形的性质对角线互相垂直和勾股定理，就能求出的坐标了；（ 3）题中
13、没有指定那个顶点，所以需要分类讨论，再同（ 2）类似的思路，作图后数形结合即可求得 . 试题：（ 1） ； ； （ 2）如图， 为扇形切线时 切点 为正方形中心 联结 ， 所在直线的式为 . （ 3） 当正方形顶点 或 落在弧上时， 所求面积为 当正方形顶点 落在弧上时， 所求面积为 考点： 1.圆切线的性质； 2.正方形的性质； 3.分类讨论 . （ 10分）如图，小华在晚上由路灯 走向路灯 当他走到点 时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯 的底部；当他向前再步行 到达点 时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯 的底部已知小华的身高是 ，两个路灯的高度都是 ，且 （ 1）求两个路灯之间的距
14、离； （ 2）当小华走到路灯 的底部时，他在路灯 下的影长是多少 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：考虑到路灯和小华都是垂直于地面，故图中有多对相似三角形，本题就是应用相似三角形的性质解题 .（ 1）欲求两路灯之间的距离 ，已知的是其中一小段 的长度，而 ，故可先求出 或 ，放到一对相似三角形中求取即可；（ 2）同理，作出图以后，同样要放到一对相似三角形中求得 . 试卷：（ 1）由题意得 设 解得 答：两个路灯之间的距离为 . （ 2） 如图，设小华走到路灯 B的底部时在路灯A下的影子长 为 ， 解得 答：小华走到路灯 B的底部时在路灯 A下的影子长为 . 考点： 1.相似三角形在实际中的
15、应用； 2.相似三角形的性质 . （ 10分）如图， 的半径为 4， 是 外一点，连接 ，且 ，延长 交 于点 ,点 为 上一点，过点 作直线 的垂线，垂足为， 平分 （ 1）求证： 是 的切线； （ 2）求 的长 答案：（ 1）联结 ，证明 ，过程见；（ 2） 试题分析：（ 1）要证明圆的切线，一般思路是根据切线定义证垂直 .图中没有现成的直角，故要先联结 ，再证明 .又根据条件中的角平分线和垂直关系，可通过角相等证明平行，再由平行得到直角；（ 2）直接利用一对相似三角形 的相似比即可 . 试题：（ 1）联结 、 均为圆的半径 平分 是 的切线 （ 2）由（ 1）得 ， 考点： 1.圆的切线
16、的定义； 2.相似三角形的相似比 . （ 8分）如图所示在 中， 是 的延长线上一点， 与 交于点 ， . （ 1）求证： ； （ 2）若 面积为 2，求 的面积 . 答案：（ 1）证明有两组角对应相等即可，过程略；（ 2） 24 试题分析：（ 1）结合图形，要证明两三角形相似，可通过证明有两组角对应相等，根据条件中平行四边形的性质，即可证得；（ 2）直接求 的面积，条件不足，根据题意，可由相似三角形的性质求取 .分别证得 、 ，即可求得 、 ，相加即得 . 试题：（ 1） 是 延长线上一点 （ 2） 考点： 1.相似三角形的判定； 2.相似三角形的性质 . （ 8分）已知关于 的一元二次方程
17、 的一根为 2. （ 1）求 关于 的关系式；（ 3分） （ 2）试说明：关于 的一元二次方程 总有两个不相等的实数根 .（ 5分） 答案：（ 1） ；（ 2）证明 恒成立即可，过程略 试题分析：（ 1）根据题意，将方程的根代入原方程，即得 和 的关系式，再化成 关于 的关系式即可；（ 2）证明一元二次方程总有两个不等实根的一般思路是证明 恒成立，再结合（ 1）中的结论，进行适当配方即可 . 试题：（ 1）将 代入原方程，得 ，即 （ 2） 将 代入上式，得 即 恒成立 关于 的方程总有两个不等实根 . 考点： 1.方程根的意义； 2.根据一元二次方程根的判别式判定根的情况 . （ 8分） “
18、埃博拉 ”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生 “出血热 ”的烈性传染病毒，传染性极强 .一日本人在非洲旅游时不慎感染了 “埃博拉 ”病毒，经过两轮传染后，共有 64人受到感染 . （ 1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （ 2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 答案：（ 1） 7；（ 2） 448 试题分析：（ 1）最开始是 1个人为传染源，设每轮传染中平均一个人传染了个人，经过一轮传染后，共有 个人被感染 .此时这 人作为传染源，第二轮感染了 人，故经过两轮传然后，共有 人感染 .根据题意列出方程，接触即可； （ 2）注意题目问的是第三人感染了多少人，不是三轮下来共感染多少
19、人，故直接将 64乘以 7即得结果 . 试题：（ 1）设每轮传染中平均一个人传染了 个人，则 解得 （舍去） 答：每轮传染中平均一个人传染了 7个人 . （ 2） （人） 答：第三轮将又有 448人被传染 . 考点： 1.一元二次方程的实际应用； 2.解一元二次方程 . （ 10分）如图， 为原点， 、 两点坐标分别为 、 . （ 1）以 为位似中心在 轴左侧将 放大为原来的两倍，并画出图形； （ 2）分别写出 ， 两点的对应点 ， 的坐标； （ 3）已知点 为 内部一点，且 ，点 在 内的对应点为 ， 求 的长； （ 4）若点 为 的内心，则 度 答案：（ 1）图见；（ 2） ， ；（ 3）
20、 ；（ 4）试题分析：位似图形的性质为：任意一对对应点与位似中心在同一直线上，且到位似中心的距离之比为相似比 .（ 1）分别延长 、 至原来线段的两倍，即得对应点 、 ，顺次联结即得所画图形；（ 2）根据所给 、 的坐标，结合图形可得对应点 、 的坐标；（ 3） 和 也位似，故 ；（ 4）三角形内心指内接圆圆心，即三个内角角平线的交点 .结合图形可知， ，满足 ，故 为等腰直角三角形，所以 . 试题：（ 1） 即为所画图形； （ 2） ， ； （ 3）由位似图形的性质知， （ 4） 考点： 1.位似图形的定义及性质； 2.三角形内心的定义及性质； 3.勾股定理 . （ 12分）（ 1）问题背景
21、：如图 1， 中， ， ，的平分线交直线 于 ，过点 作 ，交直线 于 请探究线段 与 的数量关系（事实上，我们可以延长 与直线 相交，通过三角形的全等等知识解决问题） 结论：线段 与 的数量关系是 _ （请直接写出结论）； （ 2）类比探索：在（ 1）中，如果把 改为 的外角 的平分线，其他条件均不变（如图 2），（ 1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （ 3）拓展延伸：在（ 2）中，如果 ，且 （ ），其他条件均不变（如图 3），请你直接写出 与 的数量关系结论： _ （用含 的代数式表示） 答案：（ 1） ；（ 2）仍然成立，证明过程略；（ 3） 试题分析：（ 1）如图，分别延长 、 ，交于 .根据角平分线 和垂直关系 ，由等腰三角形三线合一可得 .（也可通过证明三角形全等）又根据 、两个直角以及 ，可证得 ，进而有 ，所以 ；（ 2）思路同（ 1），仍然通过两次证明三角形全等得到线段关系，第一次全等；（ 3）思路依然同（ 1），延长两线段交于一点后先证明 ，得到 ，再证明 ，且 ，所以有 . 试题：（ 1） ； （ 2）仍然成立，证明过程如下：分别延长 、 交于 ， 平分 平分 ； （ 3） 考点：（ 1）平面几何添加辅助线；（ 2）三角形全等的判定和性质；（ 3）三角形相似的判定和性质 .
