1、2013-2014学年山东省文登市高二上学期期末统考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 （ 是虚数单位），则 的共轭复数的虚部是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，所以它的共轭复数为，所以它的共轭复数的虚部为 ，选 C. 考点： 1.复数的概念； 2.复数的四则运算 . 设 是双曲线 的两个焦点， 是 上一点，若，且 的最小内角为 ，则 的离心率为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：不妨设 是双曲线右支上的一点，根据定义可得 ，又 ，所以 ，又 且 ，所以的最小内角为 ，根据余弦定理可得，又 ，即 代入化简可得，故选 D. 考点： 1.双曲线的定义； 2.用余弦
2、定理解三角形 . 已知等比数列 的和为定值 ，且公比为 ，令，则 的取值范围为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 ，所以 ，而 ，所以 （当且仅当 即 时等号成立），所以，所以 ，所以 ，故选 A. 考点： 1.等比数列； 2.均值不等式 . 已知 的三边长成公差为 的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：设三角形的三边分别为 ，且 ，三个角分别为，则 ，即 ，因为 ， 或 ，若 ，因为三条边不相等，则必有角大于 ,矛盾 ,故， ， ， 这个三角形的周长为 ，故选 C. 考点： 1.等差数列； 2.余弦定理的应用 . 已
3、知点 满足条件 ，则 的最小值为（ ） A B C - D 答案： B 试题分析：满足约束条件的点 的可行域，如图所示 由图可知，目标函数 在点 处取得最小值 ，故选 B. 考点：线性规划问题 . 已知 中，若 ，则 是（ ） A直角三角形 B等腰三角形 C等腰或直角三角形 D等腰直角三角形 答案： A 试题分析：由或 而 ， 所以 不成立，所以 ，故选 A. 考点： 1.诱导公式； 2.两角和与差的三角函数 . 等差数列 中，已知 ，使得 的最大正整数 为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 ，设公差为 ，则有，解得 ，所以 ，由，故 的最大正整数为 6，选 A. 考点： 1.等
4、差数列的通项公式及其前 项和公式； 2.一次不等式 . 不等式 对一切 R恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：当 时，不等式 成立；当 时，不等式对一切 恒成立，须 ，解得 ；综上知 ，故选 D. 考点：本题主要考查二次不等式恒成立的问题 . 在复平面上，点 对应的复数是 ，线段 的中点对应的复数是 ，则点 对应的复数是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：依题意有，在复平面内，点 的坐标 ，线段 的中点坐标为，设点 的坐标为 ， 则有 ，解得 ，所以点 对应的复数是 ，选 A. 考点： 1.复数的几何意义； 2.中点坐标公式 . 随着市场的变化与
5、生产成本的降低，每隔 年计算机的价格降低 ，则年价格为 元的计算机到 年价格应为（ ） A 元 B 元 C 元 D 元 答案： C 试题分析：记 2000年的价格、 2004年的价格、 2008年的价格 分别为 ，则依题意可知数列 为等比数列且 ，公比 ，故，故 2016年的价格为 ，故选C. 考点：等比数列通项公式的应用 . “双曲线 的一条渐近线方程为 ”是 “双曲线 的方程为 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D不充分不必要条件 答案： B 试题分析：双曲线 的一条渐近线方程为 即 ，则该双曲线的方程为 ，当 时，双曲线的方程为 ，当时，即是 ，故 “双曲线 的
6、一条渐近线方程为 ”是“双曲线 的方程为 ”的必要不充分条件，选 B. 考点： 1.双曲线的标准方程与性质； 2.充分必要条件的判断 . 已知命题 ，则 的否定形式为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：命题 为特称命题，它的否定形式为，故选 B. 考点：全称命题与特称命题 . 填空题 过点 且和抛物线 相切的直线 方程为 . 答案： 和 试题分析：当直线 的斜率不存在时，过点 的直线为 ，此时显然满足要求；当直线 的斜率存在时，设 的方程： ，联立方程，消 得 ，由所求直线与抛物线 相切，可知 ，解得 ，此时 即，故所求的直线方程为 和 . 考点：直线与抛物线的位置关系 . 已知数列
7、 中， ，点 且 满足 ，则. 答案： 试题分析：依题意有 ，设 ，则展开整理得，对比 可得 ，即 ，而，所以数列 是以 1为首项， 2为公比的等比数列，故，即 ，所以. 考点： 1.由数列的递推关系求数列的通项； 2.等比数列的通项公式及前 项和公式； 3.分组求和法 . 如图，从高为 米的气球 上测量铁桥 ( )的长，如果测得桥头 的俯角是 ，桥头 的俯角是 ，则桥 长为 米 . 答案： 试题分析：如下图，设 于点 ，则依题意有 ，则有 即 ，由 ，得，所以 . 考点：解斜三角形 . 不等式 的解集为 . 答案： 试题分析：由，由穿根法，可得 或 ，故所求不等式的解集为 . 考点：分式不等
8、式及简单高次不等式的求解问题 . 解答题 在 中，角 的对边分别为 ，且满足. （ 1）求角 ； （ 2）求 的面积 . 答案：（ 1） ；（ 2） 或 . 试题分析：本试题主要是考查了解三角形中正弦定理和余弦定理的综合运用，求解边和角的关系，同时也考查了三角形面积公式的运用 .(1)根据已知中的边角关系可以用正弦定理将边化为角，得到角的关系式，得到角 ； (2)结合（ 1）中求出的角 ，运用余弦定理，求出 的值，然后利用正弦面积公式可得所求 . 试题：（ 1） 2分 即 4分 6分 （ 2）由余弦定理，得： 即 8分 即 ，解得 或 10分 由 或 12分 . 考点： 1.解斜三角形； 2.
9、正、余弦定理； 3.两角和差公式； 4.三角形的面积计算公式 . （ 1）已知点 和 ，过点 的直线 与过点 的直线 相交于点，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，如果 ，求点 的轨迹； （ 2）用正弦定理证明三角形外角平分线定理：如果在 中， 的外角平分线 与边 的延长线相交于点 ，则 . 答案：（ 1） 的轨迹是以 为顶点，焦点在 轴的椭圆（除长轴端点）；（ 2）证明详见 . 试题分析：（ 1）本题属直接法求轨迹方程，即根据题意设动点 的坐标，求出，列出方程，化简整理即可；（ 2）设 ，在 中，由正弦定理得 ，同时在在 中，由正弦定理得，然后根据 ，进而得到 ，最后将得到的两等式相除即可
10、证明 . 试题：（ 1）设 点坐标为 ，则 2分 整理得 4分 所以点 的轨迹是以 为顶点，焦点在 轴的椭圆（除长轴端点） 6分 （ 2）证明：设 在 中，由正弦定理得 8分 在 中，由正弦定理得 ，而 所以 10分 两式相比得 12分 . 考点： 1.轨迹方程的求法； 2.正弦定理的应用 . 已知命题 ：复数 ，复数 ，是虚数；命题 ：关于 的方程 的两根之差的绝对值小于 ；若 为真命题，求实数 的取值范围 . 答案： 的取值范围为 . 试题分析：对于 ， 为虚数的条件是且 ，然后将 的范围求出来；对于 ，利用二次方程根与系数的关系并结合不等式 求解出 的取值范围；由 为真命题可知， 都为真
11、命题，故求出 为真时的 的取值范围的集合的交集即可 . 试题：由题意知， 2分 若命题 为真， 是虚数，则有 且 所以 的取值范围为 且 且 4分 若命题 为真，则有 7分 而 所以有 或 10分 由题意知， 都是真命题，实数 的取值范围为 12分 . 考点： 1.复数的概念； 2.二次方程根与系数的关系； 3.逻辑联结词 . 已知等差数列 的首项 ，公差 ，且 分别是正数等比数列 的 项 . （ 1）求数列 与 的通项公式； （ 2）设数列 对任意 均有 成立，设 的前 项和为，求 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析：本题考查等差数列与等比数列的通项公式、前 项和公式等基础知识
12、，考查思维能力、分析问题与解决问题的能力 .第一问，先用等差数列的通项公式将 展开，因为 成等比，利用等比中项列等式求出 ，直接写出 的通项公式，通过求出来的 得出 和 ，写出数列 与 的通项公式；第二问，用 代替已知等式中的 ,得到新的等式， 2个等式相减，把第一问的两个通项公式代入得到 的通项公式，注意 的检验，最后利用等比数列的求和公式求和 . 试题： (1) 且 成等比数列 ，整理得 ，因为公差 ，所以 3分 4分 又 ， ， ， ， 6分 （ 2） 当 时， 得： 8分 ，又 即 10分 则 12分 . 考点： 1.等差数列与等比数列的通项公式； 2.等比数列的前 项和公式 . 设
13、为正实数，函数 . （ 1）若 ，求 的取值范围；（ 2）求 的最小值； （ 3）若 ，求不等式 的解集 . 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）当 时，解集为；当 时，解集为 . 试题分析：（ 1）由 ，结合式得 及 即可求出 的取值范围；（ 2）由已知函数的式可分 和 两种情况，分别得和 ，结合二次函数的图像和单调性可得和 ，从而有 ；（ 3）结合二次函数的图像和一元二次不等式的解集写出即可 . 试题：（ 1）若 ，则 2分 （ 2）当 时， 因为对称轴 ，所以 当 时， 因为对称轴 ，所以 综上 6分 （ 3） 时， 得 当 即 时，不等式的解为 8分 当 即 时，得 讨论：当 时，解
14、集为 10分 当 时，解集为 11分 综上：当 时，解集为 ；当 时，解集为12分 . 考点： 1.分段函数； 2.二次函数的最值； 3.一元二次不等式； 4.分类讨论的思想 . 如图，已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 为其下焦点，点 为坐标原点，过 的直线 ： （其中 ）与椭圆 相交于 两点，且满足： . （ 1）试用 表示 ； （ 2）求 的最大值； （ 3）若 ，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2）离心率 的最大值为 ；（ 3） 的取值范围是 . 试题分析：（ 1）设 ，联立椭圆与直线的方程 ，消去 得到 ，应用二次方程根与系数的关系得到， ，然后计算得，将其代入 化简即可得到 ；（ 2）利用（ 1）中得到的 ，即（注意 ），结合 ，化简求解即可得出 的最大值；（ 3）利用 与 先求出 的取值范围，最后根据（ 1）中 ，求出 的取值范围即可 . 试题：（ 1）联立方程 消去 ，化简得 1分 设 ，则有 ， 3分 5分 即 6分 （ 2）由（ 1）知 ， 8分 离心率 的最大值为 10分 (3) 12分 解得 即 的取值范围是 14分 考点： 1.椭圆的标准方程及其性质； 2.二次方程根与系数的关系 .
