1、2013届江西南昌市高三第二次模拟测试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知复数 （其中 为虚数单位），则复数 在坐标平面内对应的点在（ ） A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案： A 试题分析： ，复数对应的点的坐标为 ,在第一象限，故选 A. 考点： 1.复数的运算； 2.复数与复平面上的点的对应关系 . 如图，在等腰梯形 中， ,且 ,设,以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为 ，以 为焦点且过点 的椭圆的离心率为 ，设 = 则 的大致图像是（ ） 答案： D 试题分析：以 为轴建系，设双曲线为 ，设 ， ，则代入双曲线有 ， ，当 时， ， ，易知 D选项正确，
2、故选 D. 考点： 1.建立直角坐标系； 2.双曲线 . 已知函数 对于任意的 ，导函数 都存在，且满足 0，则必有（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 0，所以当 时， ，函数 为减函数；当时， ，函数 为增函数，易知 在 时，取得最小值，得出 ，故选 A. 考点：用导数判断函数的单调性 . 已知点 是圆 ： 内任意一点，点 是圆上任意一点，则实数 （ ） A一定是负数 B一定等于 0 C一定是正数 D可能为正数也可能为负数 答案： A 试题分析：令 ， 又因为 小于 1，所以必定是负数 . 考点： 1.三角函数式的化简； 2.三角函数最值 . 某企业为了节能减排，决定安装一个
3、可使用 15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的成本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为 ，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式 .假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积 （单位：平方米）之间的函数关系是 .记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业 15年共将消耗的电费之和 （万元），则 等于（ ） A 80 B 60 CD 40 答案： B 试题分析： ， ，故选 B. 考点：列函数式求函数值 . 若 为等差数列 的前 n项和， ， ，则 与 的等比中项为（ ） B. C
4、.4 D. 答案： B 试题分析：有等差数列的通项公式展开，得： ，等比中项为 ，故选 B. 考点： 1.等差数列的通项公式； 2.等比中项的公式 . 若空间几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为（ ） A B C D 8 答案： C 试题分析：通过三视图可以看出几何图形如图： ，故选 C. 考点：三视图 . “ ”是 “函数 存在零点 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案： A 试题分析：函数 存在零点，则 有解，即 有解，所以 ，所以 “ ”是 “函数 存在零点 ”的充分不必要条件 . 考点： 1.函数零点问题； 2.充分必要条件 .
5、将函数 图像上所有的点向左平行移动 个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的 2倍（纵坐标不变），则所得到的图像的式为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：将函数 的图像向左平移 个单位长度，得到,横坐标扩大为原来的 2倍，得 ，故选 B. 考点：三角函数图像的平移 . 已知 ，则 的大小关系是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：设函数 ，是减函数，容易得出 ，又知 ，所以. 考点： 1.指数函数的单调性； 2.对数式的计算 . 填空题 设 若不等式 对任意实数 恒成立，则 的取值集合是 _. 答案： 或 试题分析： ，所以最大值为3，从而 ，解出 . 考点： 1.恒成
6、立问题； 2.基本不等式 . 在平面直角坐标系下 中，直线 的参数方程是 (参数 ).圆的参数方程为 (参数 )则圆 的圆心到直线 的距离为 _. 答案： 试题分析：化参数方程为普通方程，直线 ： ；圆 ： .根据点到直线的距离公式得： . 考点： 1.参数方程与普通方程的互换； 2.点到直线的距离公式 . 观察下面两个推理过程及结论： 若锐角 满足 ,以角 分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可得到等式： , 若锐角 满足 ，则 ，以角分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式： . 则：若锐角 满足 ，类比上面推理方法，可以得到的一个等式是 _. 答案： 试
7、题分析：根据提示，容易得出 . 考点：类比推理法 . 已知集合 , ,在集合中任意取一个元素 ,则 的概率是 _. 答案： 试题分析： , , . 考点：几何概型 . 在 中，若 ,则. 答案： 试题分析：由 ，两边平方得 ，所以，所以 . 考点： 1.向量的加减运算； 2.向量的垂直 . 解答题 南昌市为增强市民的交通安全意识，面向全市征召 “小红帽 ”志愿者在部分交通路口协助交警维持交通，把符合条件的 1000名志愿者按年龄分组：第 1组、第 2组 、第 3组 、第 4组 、第 5组 ，得到的频率分布直方图如图所示： (1)若从第 3、 4、 5组中用分层抽样的方法抽取 12名志愿者在五一
8、节这天到广场协助交警维持交通，应从第 3、 4、 5组各抽取多少名志愿者？ (2)在 (1)的条件下，南昌市决定在这 12 名志愿者中在第四或第五组的志愿者中，随机抽取 3名志愿者到学校宣讲交通安全知识，求到学校宣讲交通知识的资源者中恰好 1名市 第五组的概率 . 答案：（ 1）第 3层 6人，第 4层 4人，第 5层 2人；（ 2） . 试题分析： (1)先通过频率分步直方图求出每一组中的总人数 ,再用分层抽样求出每组中所需抽取的人数； (2)先分别求出每种情况的种数，再相除求概率 . 试题：（ 1）由题意可知，第 3组的人数为 ，第 4组的人数为 ，第 5组的人数为 。 3分 所以利用分层
9、抽烟在 名志愿者中抽取 12 名志愿者，每组抽取的人数分别为： 第 3组： ，第 4组 ，第 5组 6分 （ 2）设第四组的四名志愿者分别为 ，第五组的 2名志愿者分别为，从这六人中抽取 3人的所有结果有： 8分 符合条件的有 : 10分 所以所求概率是 12分 考点： 1.分层抽样； 2.概率 . 已知向量 ， 当 时，求函数 的值域： (2)锐角 中， 分别为角 的对边，若，求边 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先利用倍角公式、两角差的正弦公式将式化简，将已知 代入，求值域；（ 2）先通过第一问的式求出 ，再通过凑角求出 ，用余弦定理求边 . 试题：（ 1） ，所以
10、， 3分 即 ， 4分 当 时， ， ， 所以当 时，函数 的值域是 ； 6分 （ 2）由 ，得 ，又 ， 所以 ， 8分 因此 , 9分 由余弦定理 ，得 ， 11分 所以： 。 12分 考点： 1.三角函数式的化简； 2.降幂公式； 3.余弦定理 . 右表是一个由正数组成的数表，数表中各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等，已知 （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）设 求数列 的前 项和 。 答案：（ 1） ；（ 2） 为偶数时， ， 为奇数时，. 试题分析：（ 1）通过读表得到表达式，利用等差等比数列的通项公式将表达式展开，求出 ，得到数列 的通项公式；（ 2）将第一问的
11、结论代入，先用分组求和法，将式子分成两组，再用错位相减法求第一部分，第二部分用并项法求和 . 试题：（ 1）设第一行依次组成的等差数列的公差是 ，等比数列的公比是， 则 ， 2分 ， 4分 解得： ，所以： ； 6分 （ 2） ， ， 8分 记 ，则 ， 两式相减得 : ,所以 , 10分 所以 为偶数时， ， 为奇数时， 。 12分 考点： 1.等差等比数列的通项公式； 2.分组求和法； 3.错位相减法 . 如图已知：菱形 所在平面与直角梯形 ABCD所在平面互相垂直， 点 分别是线段的中点 . (1)求证：平面 平面 ; (2)试问在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ,若存在 ,求 的长并
12、证明；若不存在，说明理由 . 答案：（ 1）证明详见；（ 2）存在， . 试题分析：（ 1）先证 ，由面面垂直的性质定理得到 平面 ，所以 ，由勾股定理证 ，所以由线面垂直的判定定理得平面 ，所以面面垂直的判定定理得平面 平面 ；（ 2）先证四边形 是平行四边形，得 ，由线面平行的判定定理得 平面. 试题：（ 1）证明：在菱形 中，因为 ，所以 是等边三角形， 又 是线段 的中点，所以 ， 1分 因为平面 平面 ,所以 平面 ,所以 ； 3分 在直角梯形 中， ，得到： ,从而,所以 ,所以 平面 5分， 又 平面 ,所以平面 平面 7分 （ 2）存在， 证明：设线段 的中点为 ， 则梯形 中
13、，得到： ， 9分 又 ，所以 ， 所以四边形 是平行四边形，所以 ， 又 平面 ， 平面 ,所以 平面 。 12分 考点： 1.面面垂直的判定定理； 2.线面垂直的判定定理； 3.线面平行的判定定理 . 设函数 的图像在 处取得极值 4. (1)求函数 的单调区间； (2)对于函数 ，若存在两个不等正数 ，当 时，函数的值域是 ，则把区间 叫函数 的 “正保值区间 ”.问函数是否存在 “正保值区间 ”，若存在，求出所有的 “正保值区间 ”；若不存在，请说明理由 . 答案：（ 1）递增区间是 和 ，递减区间是 ；（ 2）不存在 . 试题分析：（ 1）求导，利用极值点的坐标列出方程组，解出 ，确
14、定函数式，再求导，求单调区间；（ 2）先假设存在 “正保值区间 ” ，通过已知条件验证是否符合题意，排除不符合题意得情况 . 试题：（ 1） ， 1分 依题意则有： ，即 解得 v 3分 .令 ， 由 解得 或 ， v 5分 所以函数 的递增区间是 和 ，递减区间是 6分 （ 2）设函数 的 “正保值区间 ”是 ，因为 ， 故极值点 不在区间 上； 若极值点 在区间 ，此时 ，在此区间上 的最大值是4，不可能等于 ；故在区间 上没有极值点； 8分 若 在 上单调递增，即 或 ， 则 ，即 ，解得 或 不符合要求； 10分 若 在 上单调减，即 1st3，则 ， 两式相减并除 得： ， 两式相除
15、可得 ，即 ， 整理并除以 得： ， 由 、 可得 ，即 是方程 的两根， 即存在 ， 不合要求 . 12分 综上可得不存在满足条件的 s、 t，即函数 不存在 “正保值区间 ”。 13分 考点： 1.求函数的极值； 2.求最值； 3.求单调区间 . 已知椭圆 C： 的离心率等于 ，点 P 在椭圆上。 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）设椭圆 的左右顶点分别为 ，过点 的动直线 与椭圆 相交于两点，是否存在定直线 ： ，使得 与 的交点 总在直线 上？若存在，求出一个满足条件的 值；若不存在，说明理由 . 答案：（ 1） ；（ 2）存在， . 试题分析：（ 1）由 ，点 代入椭圆方程，二者联立
16、可以解出 ；（ 2）以 的存在性分两种情况： 不存在，直线 : ,易证符合题意； 存在时，设直线 : ，用直线方程和椭圆方程联立方程组，消参得一元二次方程，利用韦达定理得， ，又因为 共线，有 ，由 得 ，得出 ，由于成立，所以点 在直线上，综上 :存在定直线 : ,使得 与 的交点 总在直线 上 , 的值是 . 试题：（ 1）由 ， 2分 又点 在椭圆上， ， 4分 所以椭圆方程是： ； 5分 （ 2）当 垂直 轴时， ，则 的方程是： ， 的方程是： ，交点 的坐标是： ，猜测 :存在常数 , 即直线 的方程是 : 使得 与 的交点 总在直线 上 , 6分 证明：设 的方程是 ，点 ， 将 的方程代入椭圆 的方程得到： ， 即： ， 7分 从而： ， 8分 因为： ， 共线 所以： ， ， 9分 又 ， 要证明 共线，即要证明 ， 10分 即证明： ， 即： ， 即： 相关试题 2013届江西南昌市高三第二次模拟测试文科数学试卷（带）
