1、2013届福建省高三高考压轴理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若复数 ，其中 是虚数单位，则复数 的模为 ( ) A B C D 2 答案： B 试题分析：由题意，得： ，复数 的模，故选 B。 考点：本题主要考查复数的代数运算，复数模的概念及计算。 点评：简单题，注意分式的分子、分母同乘以分母的共轭复数，实现 “分母实数化 ”。 设等差数列 满足： ，公差 . 若当且仅当 时，数列 的前 项和 取得最大值，则首项的取值范围是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：先化简： 又当且仅当 时，数列 的前 项和 取得最大值，即： 故选 B。 考点：本题主要考查和差倍半的三角函数，等差数
2、列的求和公式。 点评：中档题，首先利用三角公式，对函数式进行化简，明确等差数列的公差。讨论等差数列和的最值，一般的要讨论数列中正负项的分界。本题综合性较强，有一定难度。 设函数 ，则函数 的零点的个数为 ( ) A 4 B 5 C 6 D 7 答案： C 试题分析：由题意， 的零点，即 的交点。 易绘 的函数图象，且 当 时， 依次类推，易得 又 , 同理 ， 不难绘出 的函数图象如右，显然零点共 6个，其中左边 1个，右边 5个。关系 C。 考点：本题主要考查函数的图象和性质，函数零点的概念。 点评：中档题，函数零点即函数与 x轴交点的横坐标，利用分段函数的式，研究图象的变化规律，确定零点个
3、数。 已知集合 ，集合 ，若，则实数 可以取的一个值是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析： 、 不难分析， A、 B分别表示两个圆，要满足 ，即两圆内切或内含。故圆心距 ，即： . 显然， ，故选 A。 考点：本题主要考查集合的包含关系，圆与圆的位置关系。 点评：中档题，利用转化与化归思想，将集合的包含关系，转化成圆与圆的位置关系研究，利用圆心距与半径和差的关系，得到解题目的。 设双曲线 的左 ,右焦点分别为 ,过 的直线 交双曲线左支于两点 ,则 的最小值为 ( ) A B C D 16 答案： B 试题分析：由题意，得： 显然， AB最短即通径， ，故 ，故选 B。 考点：本题
4、主要考查双曲线的定义，几何性质。 点评：中档题，涉及双曲线的焦点弦问题，一般要考虑双曲线的定义，结合其它条件，建立方程组求解。 设函数 的定义域为 ,值域为 ,若的最小值为 ,则实数 a的值为 ( ) A B 或 C D 或 答案： D 试题分析： 若 1m n，则 f（ x） =-logax， f（ x）的值域为 0， 1， f（ m） =0， f（ n） =1，解得 m=1， n= ， 又 n-m的最小值为 ， -1 ，及 0 a 1，当等号成立时，解得 a= 若 0 m n 1，则 f（ x） =logax， f（ x）的值域为 0， 1， f（ m） =1， f（ n） =0，解得 m
5、=a， n=1，又 n-m的最小值为 ， 1-a ， 及 0 a 1，当等号成立时，解得 a= 若 0 m 1 n时，不满足题意，故选 D。 考点：本题主要考查对数函数的性质，绝对值的概念。 点评：中档题，注意运用分类讨论思想，确定 m,n,的可能情况。本题易错，忽视不同情况的讨论。 若程序框图如图所示 ,则该程序运行后输出 的值是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由题意，得： n=5,k=0 n=16,k=1, n=8,k=2, n=4,k=3, n=2,k=4, n=1,k=5 终止，当 时，执行最后一次循环； 当 时，循环终止，这是关键。输出 。故选 B. 考点：本题主要考
6、查程序框图的功能识别。 点评：简单题，理解算法语句及算法功能，按循环体逐次计算。 设等差数列 的前 项和是 ，若 ( N*,且 )，则必定有 ( ) A ，且 B ，且 C ，且 D ，且 答案： C 试题分析：由题意，得： 。 显然，易得 ， ，故选 C。 考点：本题主要考查等差数列的求和公式，等差数列的性质。 点评：中档题，等差数列中， 。 设函数 ，则下列结论中正确的是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：由题意， ，即 为偶函数。 故 . 显然 单调递增。 所以 ，故选 D。 考点：本题主要考查指数函数的性质，函数的奇偶性、单调性。 点评：中档题，注意将给定函数互为分段函数，
7、讨论不同区间的单调性。 设 R，则 “ ”是 “直线 与直线 平行 ”的 ( )条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 答案： C 试题分析：由题意， ，即充分。 又 ，注意到此时 不重合，即必要。故选 C。 考点：本题主要考查充要条件的概念，直线平行的条件。 点评：简单题，充要条件问题，我综合性较强，本题与直线平行的条件相结合。 填空题 若整数 满足不等式组 ,则 的最大值为 答案： 试题分析：由题意，绘出可行性区域如下：设 ，即求 的截距的最大值。 因为 ，不妨找出 附近的 “整点 ”。有 (3, 3)、 (3, 4)满足 . 显然过 (3, 4)时， 最大 . 考点
8、：本题主要考查简单线性规划的应用。 点评：简单题，简单线性规划的应用问题，其步骤比较明确，遵循 “画，移，解，答 ”等步骤。 在 ABC中 ,角 A,B,C的对边分别 a,b,c,若 .则直线被圆 所截得的弦长为 答案： 试题分析：由题意：设弦长为 圆心到直线的距离 ，所以， = 。 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系。 点评：中档题，涉及圆的弦长问题，要充分利用 “特征直角三角形 ”，运用勾股定理求弦长。 若正数 满足 ，则 的最小值为 答案： 试题分析：由题意： ， 考点：本题主要考查均值定理的应用。 点评：简单题，从已知条件可以联想到应用均值定理，因此，构造式子的结构形式，以满足 “一
9、正，二定，三相等 ”。 “1”的代换是关键。 无穷数列 的首项是 ，随后两项都是 ，接下来 项都是 ，再接下来 项都是 ， ，以此类推 .记该数列为 ，若 ，则 答案： 试题分析：将 分组成。 第 组有 个数，第 组有 个数，以此类推 . 显然 在第 组，在第 组。 易知，前 20组共 个数 . 所以， 。 考点：本题主要考查归纳推理，等差数列的求和。 点评：中档题，此类问题，关键是总结发现规律，借助于数列的求和，解决问题。 从 中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是 (用数字回答 ) 答案： 试题分析：考虑三位数 “没 0”和 “有 0”两种情况。 （ 1）没 0： 2必填个
10、位， 种填法； （ 2）有 0： 0填个位， 种填法； 0填十位， 2必填个位， 种填法； 所以，偶数的个数一共有 + + =10种填法。 考点：本题主要考查简单排列问题，分类计数原理。 点评：中档题，本题较为典型，涉及数字构成问题，一般的要讨论特殊数字及特殊数位。 解答题 在极坐标中 ,已知圆 经过点 ,圆心为直线 与极轴的交点 ,求圆 的极坐标方程 . 答案：圆 的极坐标方程为 . 试题分析： 圆 圆心为直线 与极轴的交点 , 在中令 ,得 . 圆 的圆心坐标为 (1,0). 圆 经过点 , 圆 的半径为. 圆 经过极点 . 圆 的极坐标方程为 . 考点：本题主要考查简单曲线的极坐标方程，
11、余弦定理的应用。 点评：中档题，作为选考内容，难度不大，关键是掌握极坐标方程的基本求法 -利用几何关系。本题结合图形特征，应用余弦定理，确定得到了圆的半径，进一步写出曲线的极坐标方程。 已知矩阵 的逆矩阵 ,求矩阵 的特征值 . 答案：（ 1） . 令 ,解得矩阵 的特征值 . 试题分析：（ 1）解 : , . ,. 矩阵 的特征多项式为 . 令 ,解得矩阵 的特征值 . 考点：本题主要考查矩阵、逆矩阵、矩阵特征值的概念。 点评：简单题，作为选考内容，难度不大，关键是掌握基本的概念及计算方法。 已知函数 若存在函数 使得 恒成立，则称 是的一个 “下界函数 ”. （ I） 如果函数 为实数 为
12、 的一个 “下界函数 ”，求 的取值范围； （ ）设函数 试问函数 是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由 . 答案：（ I） （ ）函数 不存在零点 . 试题分析：（ I）解法一：由 得 1分 记 则 2分 当 时， 所以 在 上是减函数， 当 时， 所以 在 上是增函数， 3分 因此 即 5分 解法二：由 得 设 则 1分 （ 1）若 由 知 在 上是增函数，在 上是减函数， 2分 因为 恒成立，所以 解得 3分 （ 2）若 当 且 时， 此与 恒成立矛盾，故舍去 ； 4分 综上得 5分 （ ）解法一：函数 由（ I）知 即 6分 7分 设函数 （ 1）当 时， 在 上是
13、减函数，在 上是增函数， 故 因为 所以 即 8分 （ 2）当 时， 9分 综上知 所以函数 不存在零点 . 10分 解法二：前同解法一， 7分 记 则 所以 在 上是减函数，在 上是增函数， 因此 &nbs 已知椭圆 C： 的离心率为 ，右焦点到直线 的距离为 . ( )求椭圆 C的方程； ( )若直线 与椭圆 C交于 A、 B两点，且线段 AB中点恰好在直线 上，求 OAB的面积 S的最大值 .(其中 O为坐标原点 ). 答案： (I) .（ II） 试题分析： (I)由题意得 ， ，所以 ，所求椭圆方程为. (II)设 ，把直线 代入椭圆方程 得到 ，因此 ， ， 所以 中点 ，又 在直
14、线 上，得， ， 故 ， ， 所以 ，原点 到 的距离为 ， 得到 ，当且仅当 取到等号，检验 成立 . 考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，均值定理的应用。 点评：中档题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，注意明确焦点轴和 a,b,c 的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（ 2）利用弦长公式，确定得到三角形面积表达式，应用均值定理求得最大值。 已知数列 满足 ,其中 N*. ( )设 ，求证：数列 是等差数列，并求出 的通项公式 ； ( )设 ，数列 的前 项和为 ,是否存在正整数 ,使得对于 N*恒成立，若存在，求出
15、的最小值，若不存在，请说明理由 . 答案：（ I） . (II) 的最小值为 . 试题分析：（ I）证明 ， 所以数列 是等差数列， ，因此 ，由得 . (II) , ,所以 ， 依题意要使 对于 恒成立，只需 解得 或 ，所以 的最小值为 . 考点：本题主要考查等差数列的通项公式， “裂项相消法 ”。 点评：中档题，利用数列的递推公式，进一步确定数列的特征，从而得到等差数列通项公式，数列求和问题中， “错位相减法 ”、 “裂项相消法 ”、 “分组求和法 ”是高考常常考查到数列求和方法。本题为证明不等式，先求和、再放缩、做结论。 已知甲箱中只放有 x个红球与 y个白球 且 ，乙箱中只放有2个红
16、球、 1个白球与 1个黑球 (球除颜色外，无其它区别 ). 若甲箱从中任取 2个球， 从乙箱中任取 1个球 . ( )记取出的 3个球的颜色全不相同的概率为 P，求当 P取得最大值时 的值； ( )当 时，求取出的 3个球中红球个数 的期望 . 答案： (I) . (II)红球个数 的分布列为 . 试题分析： (I)由题意知 ， 当且仅当 时等号成 立，所以，当 取得最大值时 . (II)当 时，即甲箱中有 个红球与 个白球，所以 的所有可能取值为则 ， ，, ， 所以红球个数 的分布列为 于是 . 考点：本题主要考查独立事件的概率计算，随机变量分布列及其数学期望，均值定理的应用。 点评：典型
17、题，统计中的抽样方法，频率直方图，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型。独立事件的概率的计算问题，关键是明确事件、用好公式。本题综合性较强，特别是与不等式相结合，有新意。 设 . ( )求 的最大值及最小正周期； ( )在 ABC中 ,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,锐角 A满足 , ，求 的值 . 答案：（ I） 的最大值为 ，最小正周期为 . (II) . 试题分析：（ I） 故 的最大值为 ，最小正周期为 . (II)由 得 ，故 ， 又由 ，解得 。 再由 ， . 考点：本题主要考查和差倍半的三角函数，正弦定理的应用。 点评：典型题，为研究三角函数的图象和性质，首先要利用三角函数的和差倍半公式 “化一 ”，在此基础上进一步研究函数的图象和性质。（ 2）小题结合正弦定理及三角形内角和定理，解决问题。 已知函数 (1)当 时 ,求不等式 的解集 ; (2)若 的解集包含 ,求的取值范围 . 答案： (1) 或 (2) 试题分析： (1)当 时 , 或 或 或 (2)原命题 在 上恒成立 在 上恒成立 在 上恒成立 考点：本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式恒成立问题。 点评：中档题，绝对值不等式的解法，应立足于 “去绝对值符号 ”，一种思路是利用定义分类讨论，一种思路是通过平方，另一种思路是不去绝对值符号，利用几何意义。
