1、2014届内蒙古赤峰市全市优质高中高三摸底考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，则 ( ) A x 0 x B x x 1 C x 0 x 1 D x 1 x 2 答案： B 试题分析：因为 ， 所以 . 考点： 1.集合的交集运算； 2.一元二次不等式的解法； 3.函数的值域 . 偶函数 满足 ，且在 0,1时， ，若直线 kx-y k 0(k0)与函数 的图象有且仅有三个交点，则 k的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 ,所以函数 的图像关于直线 对称 ,又是偶函数 ,所以 ，即有 ，所以 是周期为 2的函数 .由 ，得 ，即 ，画出函数和直线
2、 的示意图 . 因为直线 与函数 的图像有且仅有三个交点，所以根据示意图易知 . 考点： 1.函数的对称轴、奇偶性、周期性； 2.函数图像 . 已知矩形 ABCD的顶点都在半径为 5的球 O 的球面上，且 AB 6, BC=，则棱锥 O-ABCD的侧面积为 ( ) A 20+8 B 44 C 20 D 46 答案： B 试题分析：由题易知四棱锥 的侧棱长为 5，所以侧面积底边为 6和，斜高分别为 4和 ，所以棱锥 的侧面积为. 考点：棱锥的侧面积 . 设双曲线 的两个焦点为 ， P是双曲线上的一点，且,则 PF1 F2的面积等于 ( ) A 10 B 8 C 8 D 16 答案： C 试题分析
3、：依题意 ， ，又 ，所以， ，所以等腰 的面积为 . 考点： 1.双曲线的定义； 2.等腰三角形的面积公式 . 已知变量 x， y满足 则 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：画出约束条件所表示的平面区域可知，该区域是由点所围成的三角形区域（包括边界），记点 ，得 ，所以 的取值范围是 . 考点：线性规划 . 在三角形 ABC 中， E， F 分别为边 AB， AC 上的点，且 ， A=600，则 等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 ，所以 ， 所以 . 考点：向量的运算 . 已知 ，函数 在 上单调递增，则 的取值范围是 ( ) A B C D
4、答案： D 试题分析：函数 的单调递增区间为 ， 由 ，解得 ， 又 且 ，得 ，所以 . 考点：三角函数的单调性 . 在样本颇率分布直方图中，共有 9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于它 8 个长方形的面积和的 ，且祥本容量为 140，则中间一组的频数为 ( ) A 28 B 40 C 56 D 60 答案： B 试题分析：设中间一组的频数为 ，则其他 8组的频数和为 ，所以，解得 . 考点：频率分布直方图 . 已知数列 是公差为 3的等差数列，且 成等比数列，则 等于( ) A 30 B 27 C 24 D 33 答案： A 试题分析：依次得 ，解得 ，所以. 考点： 1.等差数列的
5、性质； 2.等比中项 . 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 ，则输出 的值为 ( ) A 6 B 12 C 30 D 7 答案： B 试题分析：在程序执行过程中， 的值依次为所以输出 . 考点：程序框图 . 已知 “ ”是 “ ”的充分不必要条件，则 k的取值范围是 ( ) A 2， ） B 1， ） C（ 2， ） D（一 ， -1 答案： A 试题分析：由 ，得 ，所以 或 ，因为“ ”是 “ ”的充分不必要条件，所以 . 考点： 1.充分必要条件； 2.分式不等式的解法 . 复数 的共扼复数 表示的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： C 试题
6、分析：因为 ，所以 ，所表示的点在第三象限 . 考点： 1.复数的运算； 2.共轭复数； 3.复数在复平面内与点的对应关系 . 填空题 已知数列 的前 n项和为 ，且 ，则使不等式成立的 n的最大值为 答案： 试题分析：当 时， ，得 ， 当 时， ，所以 ，所以 ， 又因为 适合上式，所以 ，所以 ， 所以数列 是以 为首项，以 4为公比的等比数列， 所以 ， 所以 ，即 ，易知 的最大值为 4. 考点： 1.等比数列的求和公式； 2.数列的通项公式 . 将 1， 2， 3， 4， 5五个数字任意排成一排，且要求 1和 2相邻，则能排成五位偶数的概率 为 . 答案： 试题分析：五个数字任意排
7、成一排，且 1和 2相邻的排列总数为 ，能够排成这样的五位数的个数为 ，所以所求概率为 . 考点： 1.排列组合； 2.概率 . 某三棱锥的三视图如图所示则该三棱锥的体积为 答案： 已知函数 ，若 ，则 . 答案： -3 试题分析：令 ，得 ，令 ，得 （舍去），所以 . 考点： 1.分段函数； 2.对数方程的解法 . 解答题 已知圆 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 O 为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 (1)将圆 的参数方程化为普通方程，将圆 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)圆 , 是否相交？若相交，请求出公共弦长，若不相交，请说明理由 答案：（ 1
8、） ， ；（ 2）相交，两圆的相交弦长为 . 试题分析：本题考查坐标系与参数方程、极坐标与直角坐标方程的互化，考查学生的转化能力和计算能力 .第一问，利用互化公式将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程；第二问，通过数形结合，利用几何性质求相交弦长 . 试题：（ 1）由 （ 为参数），得 ， 由 ，得 ， 即 ，整理得， . 5分 （ 2）由于圆 表示圆心为原点，半径为 2的圆，圆 表示圆心为 ，半径为 2的圆， 又圆 的圆心 在圆 上，由几何性质易知，两圆的相交弦长为 . 10分 考点： 1.参数方程与普通方程的互化； 2.极坐标方程与直角坐标方程的互化； 3.相交弦问题 . 如
9、图，已知 与圆 相切于点 ,直径 ，连结 交 于点 . (1）求证： ； (2)求证： . 答案：（ 1）证明过程详见；（ 2）证明过程详见 . 试题分析：本题主要以圆为几何背景考查线线相等的证明及相似三角形的证明，可以运用角之间的关系证明等腰，运用相似三角形的基本证明方法求证 .第一问，转化角，证明 ，即证明 ；第二问，证明 ，从而证明 . 试题：（ 1）连结 . ， ， 与圆 相切于点 ， ， ， ， ， 又 ， ， . 5分 （ 2）由（ 1）知， ， 又 ， ， ， . 10分 考点： 1.三角形的内角和； 2.相似三角形的证明 . 已知 a0，函数 . (1)若 ，求函数 的极值，
10、(2)是否存在实数 ，使得 成立？若存在，求出实数 的取值集合；若不存在，请说明理由 答案：（ 1）极小值 ，没有极大值；（ 2）存在， . 试题分析：本题主要考查导数的应用、不等式等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力 ,考查函数、转化与化归、特殊与一般等数学思想方法 .第一问，先求导数，判断函数的单调性，根据极值的定义求极值；第二问，是恒成立问题，设出函数 ，此题可以转化为求函数 最值的问题，此题比较综合 . 试题：（ 1）当 时， ， 因为 ，所以当 时， ，当 时， ，所以函数在 处取得极小值 ，函数没有极大值 . 4分 （ 2）令 ，即 ， ，令 ， ， 所以
11、有两个不等根 ， ，不妨设 ， 所以 在 上递减，在 上递增，所以成立， 因为 ，所以 ，所以 . 令 ， ， 所以 在 上递增，在 上递减， 所以 ，又 ， 所以 代入 得 ， 所以 . 12分 考点： 1.用导数求极值； 2.用导数判断函数的单调性； 3.求函数最值； 4.恒成立问题 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 ，直线 交椭圆于不同的两点 A， B. (1)求 的取值范围；， (2)若直线 不经过点 ，求证：直线 的斜率互为相反数 . 答案：（ 1） ；（ 2）证明过程详见 . 试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力、综合
12、分析和解决问题的能力 .第一问，用待定系数法，先设出椭圆方程，根据焦距和椭圆过 ，解出 ，得到椭圆方程，由于直线与椭圆有 2 个交点，所以联立得到的关于 的方程有 2 个不相等实根，所以利用 求解；第二问，分析题意得只需证明 ，设出 点坐标，利用第一问得出的关于 的方程找到 ，将 化简，把 的结果代入即可得证 . 试题：（ 1）设椭圆的方程为 ，因为 ，所以， 又因为椭圆过点 ，所以 ，解得 ，故椭圆方程为. 3分 将 代入 并整理得 ， ，解得 . 6分 （ 2）设直线 的斜率分别为 和 ，只要证明 . 设 ，则 ， . 9分 ， 分子 所以直线 的斜率互为相反数 . 12分 考点： 1.椭
13、圆的标准方程； 2.韦达定理 . 如图，四棱锥 P-ABCD的底面 ABCD是正方形， PD 平面 ABCD， E为PB上的点，且 2BE=EP. (1）证明： AC DE; （ 2）若 PC BC，求二面角 E-AC 一 P的余弦值 . 答案：（ 1）证明过程详见；（ 2） . 试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考查线面垂直、线线垂直的判定和二面角的求法，可以用传统几何法，也可以用空间向量方法求解，突出考查空间想象能力和计算能力 .第一问，先利用线面垂直得出线 垂直于面内的任意一条线，得到 的条件后，利用线面垂直的判定定理得到 平面 ，所以得证 ；第二问，用向量法求解，先求出面 与面 的法
14、向量，再利用夹角公式求夹角 . 试题：（ 1） 平面 ， ， 底面 是正方形， ， 平面 ， 平面 ， . 5分 （ 2）以 为原点， 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系 . 设 ，则 ，因为 ， 易知 ， 所以 ， 设平面 的法向量为 ，则 即 ，令 ，得 ，同理可取平面 的法向量， 所以 ，所以二面角 的余弦值为 . 12分 考点： 1.线面垂直的判定定理； 2.向量法求二面角 . 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为 ， 且他们是否破译出密码互不影响，若三人中只有甲破译出密码的概率为 . （ 1）求 的值， (2）设在甲、乙、丙三人中破译出密码的总人
15、数为 X，求 X的分布列和数学期望 E（ X） . 答案：（ 1） ；（ 2）分布列详见， . 试题分析：本题主要考 查概率的计算公式、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，考查基本运算能力 .第一问，是事件的相互独立性，通过独立事件的概率公式列出已知条件中的表达式，解方程解出 ；第二问，是求分布列和期望，同样利用独立事件的概率公式，求出每一种情况下的概率，画出分布列，利用期望的计算公式计算期望 . 试题：记 “甲、乙、丙三人各自破译出密码 ”分别为事件 ，依题意有， ，且 相互独立 . 2分 （ 1）设 “三人中只有甲破译出密码
16、 ”为事件 ， 则有 . 5分 所以 ，得 . 6分 （ 2） 的所有可能取值为 0,1,2,3. 所以 ， ， ， . 10分 的分布列为 所以 . 12分 考点： 1.独立事件的概率； 2.分布列； 3.期望 . 已知 ABC的三个内角 A、 B、 C所对的边分别为 a， b， c，且. (1)求角 A的大小， (2)若 ，求 ABC的面积 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：本题主要考查两角和与差的正弦公式、降幂公式、诱导公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查基本运算能力 .第一问，是求角的大小，利用等式的恒等变形，找出所求角的三角函数值，再判 断角的范围求角；第二问，是求
17、三角形面积，首先要求出一条边，用正弦定理可以求出 边，然后求，利用两角和与差的正弦公式 . 试题：（ 1）由 ，得 . ，得 ， 即 ，因为 ，所以 . 6分 （ 2）由 ，得 ，由正弦定理 ，得. . 所以 的面积 . 12分 考点： 1.诱导公式； 2.降幂公式； 3.正弦定理； 4.两角和的正弦公式； 5.三角形面积公式 . 已知函数 （ 1）若 ，解不等式 ； （ 2）若 ， ，求实数 的取值范围 答案：（ 1） 或 ；（ 2） . 试题分析：本题考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力 .第一问，利用零点分段法进行求解；第二问，利用函数的单调性求出最小值证明恒成立问题 . 试题：（ 1）当 时， ，而 ， 解得 或 . 5分 （ 2）令 ，则 ， 所以当 时， 有最小值 ， 只需 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 . 10分 考点： 1.绝对值不等式的解法； 2.恒成立问题； 3.分段函数的最值 .
