1、2014届广东省广州市高三年级调研测试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 为虚数单位， 则复数 的模等于（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，即则复数 的模等于 ，故选 D. 考点： 1.复数的除法； 2.复数的模 对于实数 和 ，定义运算 “*”： 设，且关于 的方程为 恰有三个互不相等的实数根 、 、 ，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：当 时，即当 时， 当 时，即当 时， 所以 ，如下图所示，当 时， 当 时， ，当直线 与曲线 有三个公共点时，设 ， 则 且 ， ，且 ，所以 ，因此 ，所以， ， 故选 A. 考点： 1.新定义； 2.
2、分段函数； 3.函数的图象与零点 若点 和点 到直线 的距离依次为 和 ，则这样的直线有（ ） A 条 B 条 C 条 D 条 答案： C 试题分析：以点 为圆心，以 为半径长的圆的方程为 ，以点为圆心，且以 为半径的圆的方程为 ，则直线 为两圆的公切线，即圆 与圆 外切，因此两圆的公切线有 条，即直线 有三条，故选 C. 考点： 1.两圆的位置关系； 2.两圆的公切线 执行如图的程序框图，如果输入的 的值是 ，那么输出的 的值是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：第一次循环， ， 成立； 执行第二次循环， ， ， 成立； 执行第三次循环， ， ， 成立； 执行第四次循环， ， ，
3、不成立，跳出循环体，输出 ，故选 B. 考点：算法与程序框图 函数 的部分图象如图所示，则函数 对应的式为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由图象知 ， ， ，因为 ，所以 ，所以 ，因此 ，故选 A. 考点： 1.三角函数的图象； 2.三角函数的式 定义在 上的函数 满足 则 的值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由题意知 ，故选 D. 考点： 1.函数的周期性； 2.分段函数； 3.对数的运算 已知向量 ， ， ，若 ，则实数 的值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ， ， ， ，因此，即 ，解得 ，故选 A. 考点： 1.平面向量的坐标运算； 2.
4、平面向量的垂直 设集合 ， ，则 等于（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ， ，故选 C. 考点： 1.一元二次方程的求解； 2.集合的并集运算 填空题 若点 在曲线 （ 为参数， ）上，则 的取值范围是 . 答案： . 试题分析：曲线 （ 为参数， ）表示的是以点 为圆心，以 为半径长的圆，令 ，即 ，即点 既在直线 上，也在圆上，则圆心到直线的距离 ，解得 ，即 的取值范围是 . 考点： 1.圆的参数方程； 2.直线与圆的位置关系 如图， 为 的直径， ，弦 交 于点 .若 ，则 的长为 . 答案： . 试题分析：易知圆 的半径长为 ，则 ，由于 ，且 ，由勾股定理得 ，而 ，
5、由于圆 的两条弦 、 相交于点 ，由相交弦定理得 ，所以 . 考点： 1.勾股定理； 2.相交弦定理 有 名优秀学生 、 、 、 全部被保送到甲、乙、丙 所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有 种 . 答案： . 试题分析：由题意中，这三所学校所分配的的人数分别为 、 、 ，首先进行分组，共 种分组方法，然后再将这些学生分配给相应的学校，因此，共有种不同的保送方案 . 考点：排列组合 已知点 在曲线 （其中 为自然对数的底数）上， 为曲线在点处的切线的倾斜角，则 的取值范围是 . 答案： . 试题分析： ，当且仅当，即当 时，上式取等号，即 ，且 ，所以 ，即 . 考点： 1.导数的
6、几何意义； 2.基本不等式 如图，设 是图中边长为 的正方形区域， 是 内函数 图象下方的点构成的区域 .在 内随机取一点，则该点落在 中的概率为 . 答案： . 试题分析：图中阴影部分的面积 ，而正方形区域的面积为 ，故该点落在 中的概率 . 考点： 1.定积分； 2.几何概型 若 、 满足约束条件 ，则 的最大值为 _. 答案： . 试题分析：作不等式组 所表示对可行域如下图所示，直线交 轴于点 ， 作直线 ，则 为直线 在 轴上的截距，当直线 经过可行域上的点时，直线 在 轴上的截距最大，此时 取最大值，即 . 考点：线性规划 在等比数列 中，若 ，则 . 答案： . 试题分析：由于数列
7、 为公比数列，所以 ，由于 ，所以 . 考点：等比数列的性质 解答题 ）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且. （ 1）求 的值； （ 2）若 ， ，求 的值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先利用二倍角公式得到 的值，再结合三角形的内角和定理 与诱导公式得到 ，进而求出 的值；（ 2）对角 利用余弦定理，得到以 为未知数的一元二次方程，进而求解 的值 . 试题：（ 1）在 中， .所以 . 所以 ； （ 2）因为 ， ， ， 由余弦定理 ， 得 ，解得 . 考点： 1.二倍角公式； 2.诱导公式； 3.余弦定理 空气质量指数 (单位 : )表示每立方米空气中
8、可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重 的浓度与空气质量类别的关系如下表所示： 日均浓度 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 从甲城市 年 月份的 天中随机抽取 天的 日均浓度指数数据茎叶图如图 5所示 （ 1）试估计甲城市在 年 月份的 天的空气质量类别为优或良的天数； （ 2）在甲城市这 个监测数据中任取 个，设 为空气质量类别为优或良的天数，求 的分布列及数学期望 . 答案：（ 1） ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）先从 天的数据中找出空气质量类别为优或良的天数，从而得到优或良的天数的频率，进而求出 内空气质量为优或良的天数；（ 2）先确定随机
9、变量 的可能取值，并将 个监测数据分为两类，一类是空气质量为差的数据，二是空气质量为优或良的数据，利用超几何分布的特点求出随机变量在相应的取值下的概率，进而得到随机变量的分布列与数学期望 . 试题：（ 1）由茎叶图可知，甲城市在 年 月份随机抽取的 天中的空气质量类别为优或良的天数为 天所以可估计甲城市在 年 月份 天的空气质量类别为优或良的天数为 天； （ 2） 的取值为 、 、 ， 因为 ， ， . 所以 的分布列为： 10分 所以数学期望 . 考点： 1.茎叶图； 2.超几何分布； 3.随机变量的分布列与数学期望 在如图的几何体中，平面 为正方形，平面 为等腰梯形， ， ， . （ 1）
10、求证： 平面 ； （ 2）求直线 与平面 所成角的正弦值 . 答案：（ 1）详见；（ 2） . 试题分析：（ 1）先利用余弦定理以及 得到 与 的等量关系，然后利用勾股定理证明 ，再结合已知条件 并利用直线与平面垂直的判定定理证明 平面 ；证法二是在 中利用正弦定理并结合三角函数求出 的大小，进而得到 ，再结合已知条件 并利用直线与平面垂直的判定定理证明 平面 ；（ 2）解法一是将 进行平移使得与平面 相交，即取 的中点 ，通过证明四边形 为平行四边形来达到证明 的目的，于是将问题转化为求直线 与平面的角的正弦值，取 的中点 ，先证明 平面 ，于是得到直线 与平面 所成的角为 ，最后在直角三角
11、形 中计算的值；解法二是建立以点 为坐标原点， 、 、 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴的空间直角坐标系，利用空间向量法求直线 与平面所成角的正弦值 . 试题：（ 1）证明 1：因为 ， ， 在 中，由余弦定理可得 ， 以 所以 ， 因为 ， ， 、 平面 ， 所以 平面 证明 2：因为 ，设 ，则 ， 在 中，由正弦定理，得 . 为 ，所以 整理得 ，所以 .所以 因为 ， ， 、 平面 ， 所以 平面 ； （ 2）解法 1：由（ 1）知， 平面 ， 平面 相关试题 2014届广东省广州市高三年级调研测试理科数学试卷（带） 已知数列 an满足 ， ， . （ 1）求证：数列 为等比数列； （
12、 2）是否存在互不相等的正整数 、 、 ，使 、 、 成等差数列，且、 、 成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的 、 、 ；如果不存在，请说明理由 . 答案：（ 1）详见；（ 2）详见 试题分析：（ 1）先利用倒数法得到 ，再结合待定系数法得到，从而证明数列 为等比数列；（ 2）在（ 1）的条件下求出数列 的通项公式，假设相应的正整数 、 、 满足题中条件，并列出相应的等式组并进行化简，利用基本不等式得出矛盾，从而说明符合题中条件的正整数 、 、 不存在 . 试题：（ 1）因为 ，所以 . 所以 . 因为 ，则 . 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列； （ 2）由（ 1）知， ，所以
13、 . 假设存在互不相等的正整数 、 、 满足条件， 则有 ， 由 与 ， 得 . 即 . 因为 ，所以 . 因为 ，当且仅当 时等号成立， 这与 、 、 互不相等矛盾 所以不存在互不相等的正整数 、 、 满足条件 . 考点： 1.倒数法求数列通项； 2.待定系数法求数列通项； 3.基本不等式 设函数 ， . （ 1）若曲线 与 在它们的交点 处有相同的切线，求实数 、的值； （ 2）当 时，若函数 在区间 内恰有两个零点，求实数 的取值范围； （ 3）当 ， 时，求函数 在区间 上的最小值 . 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）. 试题分析：（ 1）从条件 “曲线 与 在它们的交点 处有相
14、同的切线 ”得到 以及 ，从而列有关 、 的二元方程组，从而求出 与 的值；（ 2）将 代入函数 的式，利用导数分析函数在区间 上的单调性，确定函数 在区间 上是单峰函数后，然后对函数 的端点值与峰值进行限制，列不等式组解出 的取值范围；（ 3）将 ， 代入函数 的式，并求出函数 的单调区间，对函数的极值点是否在区间 内进行分类讨论，结合函数的单调性确定函数在区间 上的最小值 . 试题：（ 1）因为 ， ，所以 ，. 因为曲线 与 在它们的交点 处有相同切线， 所以 ，且 ， 即 ,且 ，解得 ， ； （ 2）当 时， ， 所以 ， 令 ，解得 ， ， 当 变化时， 、 的变化情况如下表： 相
15、关试题 2014届广东省广州市高三年级调研测试理科数学试卷（带） 免责声明 联系我们 地址：深圳市龙岗区横岗街道深峰路3号启航商务大厦5楼 邮编：518000 2004-2016 21世纪教育网 粤ICP备09188801号 粤教信息 (2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991 如图，已知椭圆 的方程为 ，双曲线 的两条渐近线为 、 .过椭圆 的右焦点 作直线 ，使 ，又 与 交于点 ，设 与椭圆 的两个交点由上至下依次为 、 . （ 1）若 与 的夹角为 ，且双曲线的焦距为 ，求椭圆 的方程； （ 2）求 的最大值 . 答案：（ 1） ；（
16、 2） . 试题分析：（ 1）先确定双曲线的渐近线方程，根据条件两条渐近线的夹角为，确定 与 的等量关系，再结合 的值，确定 与 的值，最终确定椭圆的方程；（ 2）设点 的坐标为 ，并设 得到 ，利用向量的坐标运算得到 ， ，再由点 在椭圆 上这一条件将点 的坐标代入椭圆方程，通过化简得到 与离心率 之间的关系式，结合基本不等式得到 的最大值 . 试题：（ 1）因为双曲线方程为 ， 所以双曲线的渐近线方程为 因为两渐近线的夹角为 且 ，所以 所以 ，所以 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以椭圆 的方程为 ； （ 2）因为 ，所以直线 与的方程为 ，其中 . 因为直线 的方程为 ， 联立直线 与 的方程解得点 . 设 ，则 . 因为点 ，设点 ，则有 解得 ， . 因为点 在椭圆 上， 所以 即 等式两边同除以 得 ， ， 所以 ， 所以当 ，即 时， 取得最大值 故 的最大值为 . 考点： 1.双曲线的渐近线方程； 2.椭圆的方程； 3.三点共线的转化
