1、2014届江苏省启东中学高三上学期期中模拟数学试卷与答案（带解析） 选择题 方程 有 个不同的实数根 答案： 试题分析：先确定 的取值范围 ，,此题转化为函数 和函数 的焦点个数问题，这两个函数的图像如下： 考点： 1.转化思想； 2.数形结合思想， 3.函数零点个数 . 填空题 已知复数 ，且 ，则 答案： 试题分析： ,则 解得 即. 考点： 1.复数的运算； 2.复数的恒等 . 已知函数 （ 为常数， 为自然对数的底数）的图象在点 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：当 时， ，则过 的切线斜率为 ,故切线方程为 ，与 联立后应该有两组解，即消
2、元得到的有两个不同的实数解，即 ，解得 . 考点： 1.分段函数的图像和性质； 2.转化思想； 3.导数求函数的切线 . 数列 an满足 an+1 (-1)n an 2n-1，则 an的前 60项和为 答案： 试题分析：由 得， ， 即 ，也有 ，两式相加得 ，设 为整数， 则 ， 于是 考点： 1.周期数列的性质； 2.数列求和 . 将函数 （ ）的图象向左平移 个单位，得到函数的图象，若 在 上为增函数，则 的最大值为 答案： 试题分析：平移后的式为 ，此函数的单调递增区间为 ，故 ，即 由（ 1）式得 ，由（ 2）式得 ，因为且要求 的最大值，则 ，故 的最大值为 2. 考点： 1.三角
3、函数的平移； 2.三角函数的性质 . 如图 ,在等腰三角形 中 ,底边 , , , 若, 则 = 答案： 试题分析：以 BC 为 x轴， BC 的中点为原点建立直角坐标系，则设 ，可得 ， ，故 = ，解得（负值舍去），故 ， ，则. 考点： 1.平面向量的数量积； 2.坐标法在向量中的运用 . 若直线 y=2x上存在点（ x， y）满足约束条件 则实数 m的最大值为 答案： 试题分析：根据下列图像得 只能在 -1， 1上运动，当 时，可行域与没有交点 .故 的最大值为 1. 考点：线性规划 . 已知 ，其中 ，若 ，则= 答案： 试题分析：由 得， ，两边同时平方得 ， ，整理的 ，即 .
4、考点： 1.向量运算的坐标表示； 2.三角很等变换 . 已知实数 a,b,c满足 a+b+c=9， ab+bc+ca=24，则 b的取值范围是 答案： 1,5 试 题分析：依题意， ，代入 得； 整理得 在实数范围内有解，即，解得 . 考点： 1.构造一元二次方程； 2.一元二次方程根的分布 . 已知样本 的平均数是 ，且 ，则此样本的标准差是 答案： 试题分析：依题意得 解得 则标准差. 考点：平均数与标准差 . 设函数 是定义在 R上的偶函数，当 时， ，若 ，则实数 的值为 答案： 试题分析：当 时， ， ，故，当 时，（ 1） 时， ， 解得 满足题意；（ 2）当 时， ，解得 .综上
5、所述， . 考点： 1.函数的奇偶性； 2.求函数式 . 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是 答案： 试题分析：按照循环依次得到的 a值是： 3， 7， 15， 31， 63， 127，此时在进行判定时是 “是 ”，跳出循环，输出 a，即 127. 考点：程序框图 . 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 1， 2， 3， 4， 5， 6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为 4 的概率是 答案： 试题分析：先后抛出两次的所有可能结果是：共有 36种可能的情况 .而满足题意的情况有 三种，故出现向上的点数之和为 4的概率是 . 考点：古典概型 . 已知集合
6、，则 的所有非空真子集的个数是 答案： 试题分析： ,则 ，则 ，即 .故 中共有 9个元素，因此 的所有非空真子集的个数是 个 . 考点： 1.集合中元素的确定； 2.集合的子集个数 . 解答题 设函数 . （ 1）若 ，求 的单调区间； （ 2）若当 时 ，求 的取值范围 答案：（ 1） 在 单调减少，在 单调增加 ;（ 2） . 试题分析：（ 1） 时，求出导数 ，然后令 和即可得到函数 的单调区间；（ 2）求出导数 ，再根据（ 1）得 ，故原问题转化为 ，从而对 的符号进行讨论即可得出结果 . 试题：（ 1） 时， ， . 当 时， ；当 时， .故 在 单调减少，在 单调增加 . （
7、 2） ， 由（ I）知 ，当且仅当 时等号成立 .故 ， 从而当 ，即 时， ，而 ， 于是当 时， . 由 可得 .从而当 时， ， 故当 时， ，而 ，于是当 时， . 综合得 的取值范围为 . 考点： 1.导数求函数的单调性； 2.导数在求字幕取值范围中的应用； 2.分类讨论思想 . 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线 的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点 ，交曲线于点 ，设 （ 1）将 （ 为坐标原点）的面积 表示成 的函数 ； （ 2）若在 处， 取得最小值，求此时
8、 的值及 的最小值 答案：（ 1） ,（ 2） . 试题分析：（ 1）求 的导函数，设出 的坐标，确定过点 的切线方程，进而可得 的坐标，表示出三角形的面积；（ 2）把 代入 ，利用导数研究 的最值问题，即可确定 （ 为坐标原点）的面积的最小值 . 试题：（ 1） 曲线 ，可得 ， 直线 的斜率为： ，可得 ， 令 ，可得 ，可得 ； 令 ，可得 ，可得 ， ； （ 2） 时， 取得最小值， ， ，可得 ，可得 ， 此时可得 的最小值为 . 考点： 1.函数的最值； 2.抛物线的应用； 3.函数的式 . 已知数列 的前 项和为 ，常数 ，且 对一切正整数都成立。 （ ）求数列 的通项公式； （
9、 ）设 ， ，当 为何值时，数列 的前 项和最大？ 答案：（ ）当 ;（ ）数列 的前六项和最大 . 试题分析：（ ）令 可得 ，在此要对 的值进行讨论，当时， ；当 时，消去 即可解出 ；（ ）将 代入 得到 ，然后可以判断出 是等差数列，然后判断出正负转折的项 ， ，故前六项和最大 . 试题：（ ）取 ，得 ， . 若 ，则 .当 时， ，所以 . 若 ，则 .当 时， ， . 两式相减得 ，从而数列 是等比数列，所以 . 综上所述，当 . （ ）当 且 时，令 ，由（ 1）有 . 所以数列 是单调递减的等差数列（公差为 ） . , 当 时， ， 故数列 的前六项和最大 . 考点： 1.递
10、推数列求通项公式； 2.等差数列前 n项和的最大值 . 在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， （ 1）求角 C的大小； （ 2）若 ABC的外接圆直径为 1，求 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）由 “切化弦 ”得 ，然后去分母整理得到 ，即 ，或 (不成立，因为可得 ，显然错误 )；故 ，得 .（ 2）由（ 1），故 ，然后由正弦定理得可知，化简得 ，可得 . 试题： (1)因为 ，即 ， 所以 ， 即 ， 得 所以 ，或 (不成立 ) 即 ,得 (2)由 因 ， 故 = ，故 考点： 1.三角很等变换； 2.正弦定理和余弦定理； 3.三
11、角函数的值域 . 已知 是同一平面内的三个向量，其中 . （ 1）若 ，且 ，求： 的坐标 （ 2）若 ，且 与 垂直，求 与 的夹角 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）设 根据 可得 ，而由 得，联立即可解得 ；（ 2）根据向量垂直得，展开整理得 ，故 ，即可解得 . 试题：设 由 得 所以， . （ 2） 与 垂直， 即 ； ， . 考点： 1.向量共线的充要条件； 2.向量的数量积； 3.向量运算的坐标表示 . 已知数列 的奇数项是首项为 1的等差数列，偶数项是首项为 2的等比数列 .数列 前 项和为 ，且满足 （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）求数列 前 项和
12、； （ 3）在数列 中，是否存在连续的三项 ，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数 的值；若不存在，说明理由 . 答案：（ 1） ;（ 2） ;（ 3）在数列中，仅存在连续的三项 ，按原来的顺序成等差数列，此时正整数的值为 1. 试题分析：（ 1）显然要分奇偶求解，用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求解；（ 2）同（ 1）要按奇偶分别求和，即求的也就是分奇偶后的前n项和；（ 3）先假设存在这样的连续三项按原来的顺序成等差数列，即假设，则 ，然后代入通项公式得 ，显然不成立；再假设 ，则 ，然后代入通项公式得 ，解此方程要构造新的方程，即令 ， ，故，只有 ，则仅存
13、在连续的三项 合题意 . 试题：（ 1）设等差数列的公差为 ，等比数列的公比为 ， 则 , , 又 ， ，解得 , 对于 ，有 , 故 . （ 2） . （ 3）在数列 中，仅存在连续的三项 ，按原来的顺序成等差数列，此时正整数 的值为 1，下面说明理由 . 若 ，则由 ，得 , 化简得 ，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立 . 若 ，则由 ，得 , 化简得 . 令 ，则 . 因此， ，故只有 ，此时 . 综上，在数列 中，仅存在连续的三项 ，按原来的顺序成等差数列，此时正整数 的值为 1 考点： 1.等差数列的通项公式和前 n项和； 2.等比数列的通项公式和前 n项和；3.利用数列的性质解方程 .
