2014届江苏省启东中学高三上学期期中模拟数学试卷与答案(带解析).doc

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1、2014届江苏省启东中学高三上学期期中模拟数学试卷与答案(带解析) 选择题 方程 有 个不同的实数根 答案: 试题分析:先确定 的取值范围 ,,此题转化为函数 和函数 的焦点个数问题,这两个函数的图像如下: 考点: 1.转化思想; 2.数形结合思想, 3.函数零点个数 . 填空题 已知复数 ,且 ,则 答案: 试题分析: ,则 解得 即. 考点: 1.复数的运算; 2.复数的恒等 . 已知函数 ( 为常数, 为自然对数的底数)的图象在点 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数 的取值范围是 答案: 试题分析:当 时, ,则过 的切线斜率为 ,故切线方程为 ,与 联立后应该有两组解,即消

2、元得到的有两个不同的实数解,即 ,解得 . 考点: 1.分段函数的图像和性质; 2.转化思想; 3.导数求函数的切线 . 数列 an满足 an+1 (-1)n an 2n-1,则 an的前 60项和为 答案: 试题分析:由 得, , 即 ,也有 ,两式相加得 ,设 为整数, 则 , 于是 考点: 1.周期数列的性质; 2.数列求和 . 将函数 ( )的图象向左平移 个单位,得到函数的图象,若 在 上为增函数,则 的最大值为 答案: 试题分析:平移后的式为 ,此函数的单调递增区间为 ,故 ,即 由( 1)式得 ,由( 2)式得 ,因为且要求 的最大值,则 ,故 的最大值为 2. 考点: 1.三角

3、函数的平移; 2.三角函数的性质 . 如图 ,在等腰三角形 中 ,底边 , , , 若, 则 = 答案: 试题分析:以 BC 为 x轴, BC 的中点为原点建立直角坐标系,则设 ,可得 , ,故 = ,解得(负值舍去),故 , ,则. 考点: 1.平面向量的数量积; 2.坐标法在向量中的运用 . 若直线 y=2x上存在点( x, y)满足约束条件 则实数 m的最大值为 答案: 试题分析:根据下列图像得 只能在 -1, 1上运动,当 时,可行域与没有交点 .故 的最大值为 1. 考点:线性规划 . 已知 ,其中 ,若 ,则= 答案: 试题分析:由 得, ,两边同时平方得 , ,整理的 ,即 .

4、考点: 1.向量运算的坐标表示; 2.三角很等变换 . 已知实数 a,b,c满足 a+b+c=9, ab+bc+ca=24,则 b的取值范围是 答案: 1,5 试 题分析:依题意, ,代入 得; 整理得 在实数范围内有解,即,解得 . 考点: 1.构造一元二次方程; 2.一元二次方程根的分布 . 已知样本 的平均数是 ,且 ,则此样本的标准差是 答案: 试题分析:依题意得 解得 则标准差. 考点:平均数与标准差 . 设函数 是定义在 R上的偶函数,当 时, ,若 ,则实数 的值为 答案: 试题分析:当 时, , ,故,当 时,( 1) 时, , 解得 满足题意;( 2)当 时, ,解得 .综上

5、所述, . 考点: 1.函数的奇偶性; 2.求函数式 . 程序框图(即算法流程图)如图所示,其输出结果是 答案: 试题分析:按照循环依次得到的 a值是: 3, 7, 15, 31, 63, 127,此时在进行判定时是 “是 ”,跳出循环,输出 a,即 127. 考点:程序框图 . 若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具),先后抛掷两次,则出现向上的点数之和为 4 的概率是 答案: 试题分析:先后抛出两次的所有可能结果是:共有 36种可能的情况 .而满足题意的情况有 三种,故出现向上的点数之和为 4的概率是 . 考点:古典概型 . 已知集合

6、,则 的所有非空真子集的个数是 答案: 试题分析: ,则 ,则 ,即 .故 中共有 9个元素,因此 的所有非空真子集的个数是 个 . 考点: 1.集合中元素的确定; 2.集合的子集个数 . 解答题 设函数 . ( 1)若 ,求 的单调区间; ( 2)若当 时 ,求 的取值范围 答案:( 1) 在 单调减少,在 单调增加 ;( 2) . 试题分析:( 1) 时,求出导数 ,然后令 和即可得到函数 的单调区间;( 2)求出导数 ,再根据( 1)得 ,故原问题转化为 ,从而对 的符号进行讨论即可得出结果 . 试题:( 1) 时, , . 当 时, ;当 时, .故 在 单调减少,在 单调增加 . (

7、 2) , 由( I)知 ,当且仅当 时等号成立 .故 , 从而当 ,即 时, ,而 , 于是当 时, . 由 可得 .从而当 时, , 故当 时, ,而 ,于是当 时, . 综合得 的取值范围为 . 考点: 1.导数求函数的单调性; 2.导数在求字幕取值范围中的应用; 2.分类讨论思想 . 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线 的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点 ,交曲线于点 ,设 ( 1)将 ( 为坐标原点)的面积 表示成 的函数 ; ( 2)若在 处, 取得最小值,求此时

8、 的值及 的最小值 答案:( 1) ,( 2) . 试题分析:( 1)求 的导函数,设出 的坐标,确定过点 的切线方程,进而可得 的坐标,表示出三角形的面积;( 2)把 代入 ,利用导数研究 的最值问题,即可确定 ( 为坐标原点)的面积的最小值 . 试题:( 1) 曲线 ,可得 , 直线 的斜率为: ,可得 , 令 ,可得 ,可得 ; 令 ,可得 ,可得 , ; ( 2) 时, 取得最小值, , ,可得 ,可得 , 此时可得 的最小值为 . 考点: 1.函数的最值; 2.抛物线的应用; 3.函数的式 . 已知数列 的前 项和为 ,常数 ,且 对一切正整数都成立。 ( )求数列 的通项公式; (

9、 )设 , ,当 为何值时,数列 的前 项和最大? 答案:( )当 ;( )数列 的前六项和最大 . 试题分析:( )令 可得 ,在此要对 的值进行讨论,当时, ;当 时,消去 即可解出 ;( )将 代入 得到 ,然后可以判断出 是等差数列,然后判断出正负转折的项 , ,故前六项和最大 . 试题:( )取 ,得 , . 若 ,则 .当 时, ,所以 . 若 ,则 .当 时, , . 两式相减得 ,从而数列 是等比数列,所以 . 综上所述,当 . ( )当 且 时,令 ,由( 1)有 . 所以数列 是单调递减的等差数列(公差为 ) . , 当 时, , 故数列 的前六项和最大 . 考点: 1.递

10、推数列求通项公式; 2.等差数列前 n项和的最大值 . 在 ABC中,角 A, B, C的对边分别为 a, b, c, ( 1)求角 C的大小; ( 2)若 ABC的外接圆直径为 1,求 的取值范围 答案:( 1) ;( 2) . 试题分析:( 1)由 “切化弦 ”得 ,然后去分母整理得到 ,即 ,或 (不成立,因为可得 ,显然错误 );故 ,得 .( 2)由( 1),故 ,然后由正弦定理得可知,化简得 ,可得 . 试题: (1)因为 ,即 , 所以 , 即 , 得 所以 ,或 (不成立 ) 即 ,得 (2)由 因 , 故 = ,故 考点: 1.三角很等变换; 2.正弦定理和余弦定理; 3.三

11、角函数的值域 . 已知 是同一平面内的三个向量,其中 . ( 1)若 ,且 ,求: 的坐标 ( 2)若 ,且 与 垂直,求 与 的夹角 . 答案:( 1) ;( 2) . 试题分析:( 1)设 根据 可得 ,而由 得,联立即可解得 ;( 2)根据向量垂直得,展开整理得 ,故 ,即可解得 . 试题:设 由 得 所以, . ( 2) 与 垂直, 即 ; , . 考点: 1.向量共线的充要条件; 2.向量的数量积; 3.向量运算的坐标表示 . 已知数列 的奇数项是首项为 1的等差数列,偶数项是首项为 2的等比数列 .数列 前 项和为 ,且满足 ( 1)求数列 的通项公式; ( 2)求数列 前 项和

12、; ( 3)在数列 中,是否存在连续的三项 ,按原来的顺序成等差数列?若存在,求出所有满足条件的正整数 的值;若不存在,说明理由 . 答案:( 1) ;( 2) ;( 3)在数列中,仅存在连续的三项 ,按原来的顺序成等差数列,此时正整数的值为 1. 试题分析:( 1)显然要分奇偶求解,用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求解;( 2)同( 1)要按奇偶分别求和,即求的也就是分奇偶后的前n项和;( 3)先假设存在这样的连续三项按原来的顺序成等差数列,即假设,则 ,然后代入通项公式得 ,显然不成立;再假设 ,则 ,然后代入通项公式得 ,解此方程要构造新的方程,即令 , ,故,只有 ,则仅存

13、在连续的三项 合题意 . 试题:( 1)设等差数列的公差为 ,等比数列的公比为 , 则 , , 又 , ,解得 , 对于 ,有 , 故 . ( 2) . ( 3)在数列 中,仅存在连续的三项 ,按原来的顺序成等差数列,此时正整数 的值为 1,下面说明理由 . 若 ,则由 ,得 , 化简得 ,此式左边为偶数,右边为奇数,不可能成立 . 若 ,则由 ,得 , 化简得 . 令 ,则 . 因此, ,故只有 ,此时 . 综上,在数列 中,仅存在连续的三项 ,按原来的顺序成等差数列,此时正整数 的值为 1 考点: 1.等差数列的通项公式和前 n项和; 2.等比数列的通项公式和前 n项和;3.利用数列的性质解方程 .

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