1、2014届江苏苏北四市高三第一次质量检测理科数学试卷与答案（带解析） 填空题 设复数 为虚数单位 ,若 为实数 ,则 的值为 答案： 试题分析： ，因为是实数，所以 . 考点：复数的概念和运算 . 在平面直角坐标系 中，若动点 到两直线 和 的距离之和为 ，则 的最大值是 _. 答案： 试题分析：动点 到两直线 和的距离之和为 即，设 ，则 ， ，若 ，当 时， 取得最大值为 18，若，当 时， 取得最大值为 10，综上可知，当点 在时， 取得最大值为 18. 考点：点到直线的距离和二次函数的应用 . 在平面四边形 中，已知 ， ，点 分别在边 上，且， ，若向量 与 的夹角为 ，则 的值为
2、. 答案： 试题分析： ， ，由 ， ，有 ， ， 2 得 ，所以. 考点：平面向量的数量积 . 设等比数列 的前 项和为 ，若成等差数列，且 ，其中 ，则 的值为 答案： 试题分析：设公比为 ，由 即，解得 或 （舍去，因为 与异号）， ， ， . 考点：等比数列的通项和求和 . 已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为 答案： 试题分析： 由题意可知，函数 ，令 ，解得，又，所以，所以函数 在 上的单调递增区间为 . 考点：三角函数的图象与性质 . 已知函数 ，则不等式 的解集为 答案： 试题分析：函数 的图象如图，由不等式 知， ，从而得到不等式 的解集为 . 考点：函
3、数的图象和性质的综合运用 . 在 中，已知 ， ，且 的面积为 ，则 边长为 答案： 试题分析：由 即 得 ，再由余弦定理可得 ，所以 . 考点：三角形面积公式和余弦定理 . 若正三棱锥的底面边长为 ，侧棱长为 1，则此三棱锥的体积为 答案： 试题分析：记正三棱锥为 ，点 在底面 内的射影为点 ，则，在 中， ，所以. 考点：正三棱锥的性质和体积的计算 . 函数 的定义域为 答案： 试题分析：由对数的真数为正知 ，两边取自然对数得 ，因为，所以 ，或由指数函数的图象可知 ，所以函数的定义域为 . 考点：指数函数和对数函数的性质 . 已知集合 ， ，且 ，则实数 的值是 答案： 试题分析：由 ，
4、知 ，经检验只有 符合题意，所以 . 考点：子集的概念 . 某林场有树苗 3000棵，其中松树苗 400棵为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为 150的样本，则样本中松树苗的棵数为 答案： 试题分析：由分层抽样的方法知样本中松树苗的棵数应为 150的 ，所以样本中松树苗的棵数应为 . 考点：分层抽样 . 在 的边 上随机取一点 ,记 和的面积分别为 和 ，则 的概率是 答案： 试题分析：如图，点 在 的边 上，且满足 ，那么当且仅当点在线段 上，满足 ，所以所求的概率为 . 考点：几何概型 . 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为 答案： 试题分析：根据双曲
5、线的渐近线的方程知 即 ，所以此双曲线的离心率 . 考点：双曲线的标准方程、渐近线方程和离心率 . 右图是一个算法流程图，则输出 的值是 答案： 试题分析：循环过程中有序数对 的值依次为 ， ， ， ，所以输出 的值为 25，实质上 . 考点：流程图和循环结构 . 解答题 某品牌汽车 4 店经销 三种排量的汽车，其中 三种排量的汽车依次有，4， 3款不同车型某单位计划购买 3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能 (1)求该单位购买的 3辆汽车均为 种排量汽车的概率； (2)记该单位购买的 3辆汽车的排量种数为 ，求 的分布列及数学期望 答案：（ 1） ；（ 2）详见 试题分析： (1)这是一
6、个古典概型问题，先求出从 15款车型中任买 3辆共有多少种可能，再求出购买 3辆车都为 B种车有多少种可能，即可求出结果；（ 2） 的所有可能取值为 1， 2， 3，对每种情况要准确分类，求出各种情况下有多少种可能，就可求出 各种取值的概率，然后再求数学期望 . 试题： (1)设该单位购买的 3辆汽车均为 种排量汽车为事件 ，则 所以该单位购买的 3辆汽车均为 种排量汽车的概率为 4分 (2)随机变量 的所有可能取值为 1， 2， 3. 则 ， 所以 的分布列为 8分 数学期望 10分 考点：随机变量的概率分布 . 已知 均为正数 ,证明： 答案：详见 试题分析：可利用三元或二元基本不等式证明
7、，但要注意合理的配凑 . 试题：证法一：因为 均为正数，由均值不等式得 ， 2分 因为 ，所以 5分 故 又 3 ，所以原不等式成立 10分 证法二：因为 均为正数，由基本不等式得 ， ， 所以 2分 同理 ， 5分 所以 所以原不等式成立 10分 考点：基本不等式的应用 . 在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程是 （ 为参数）；以为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 的极坐标方程为 由直线 上的点向圆 引切线，求切线长的最小值 答案： 试题分析：先将圆 的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线上的点的坐标（含参数）代入，化为求函数的最值问题，也可将直线 的参数方程化为普通方程，根据勾
8、股定理转化为求圆心到直线上最小值的问题 试题：因为圆 的极坐标方程为 ，所以， 所以圆 的直角坐标方程为 ，圆心为 ,半径为 1, 4分 因为直线 的参数方程为 （ 为参数）， 所以直线 上的点向圆 C 引切线长是 ， 所以直线 上的点向圆 C引的切线长的最小值是 10分 考点：直线的参数方程和圆的极坐标方程，圆的切线长 . 设矩阵 （其中 ），若曲线 在矩阵 所对应的变换作用下得到曲线 ，求 的值 答案： 试题分析：本题可先求出 曲线 在矩阵 所对应的变换作用下得到曲线 的方程再与方程 加以比较得出的值，也可在曲线 上取两特殊点经阵 所对应的变换作用下得到点在曲线 上，代入 方程，求出的值
9、. 试题：设曲线 上任意一点，在矩阵 所对应的变换作用下得到点， 则 ，即 5分 又点 在曲线 上，所以 ，则 为曲线 的方程 又曲线 的方程为 ，故 ， ， 因为 ，所以 10分 考点：矩阵与变换 . 如图，点 为锐角 的内切圆圆心，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，圆 与边 相切于点 若 ，求 的度数 答案： 试题分析：可判断四点共圆，得 ，问题转化为求 的度数，而 ，从而问题得以解决 . 试题：由圆 与边 相切于点 ，得 ，因为 ，得 ， 所以四点共圆 ,所以 5分 又 ， 所以 ，由 ，得 10分 考点：四点共圆，圆的性质的简单应用 . 已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项和 (1)
10、若数列 为等差数列 （ ）求数列的通项 ； （ ）若数列 满足 ，数列 满足 ，试比较数列 前项和 与 前 项和 的大小； (2)若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围 答案：（ 1）（ ） ；（ ）详 见；（ 2） 试题分析：（ 1）（ ）由 可得 ，在递推关系式中，由 可求 ，进而求出 ，于是 可利用 是等差数列求出 的值，最后可求出 的通项公式，（ ）易知，所以要比较 和 的大小，只需确定 的符号和 和 1的大小关系问题，前者易知为正，后者作差后判断符号即可；（ 2）本题可由递推关系式通过变形得出 ，于是可以看出任意 ，恒成立，须且只需 ，从而可以求出 的取值范围 试题： (1)（ ）
11、因为 ，所以， 即 ，又 ，所以 ， 2分 又因为数列 成等差数列，所以 ，即 ，解得， 所以 ； 4分 （ ）因为 ，所以 ，其前 项和 ， 又因为 ， 5分 所以其前 项和，所以 ， 7分 当 或 时， ；当 或 时， ； 当 时， 9分 （ 2）由 知 ， 两式作差，得 ， 10分 所以 , 再作差得 ， 11分 所以，当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 14分 因为对任意 ， 恒成立，所以 且 ， 所以 ，解得， ， 故实数 的取值范围为 已知函数 （为常数），其图象是曲线 （ 1）当 时，求函数的单调减区间； （ 2）设函数的导函数为 ，若存在唯一的实数 ，使得
12、与 同时成立，求实数 的取值范围； （ 3）已知点 为曲线 上的动点，在点 处作曲线 的切线 与曲线 交于另一点 ，在点 处作曲线 的切线 ，设切线 的斜率分别为 问：是否存在常数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）当 时，存在常数，使 ；当 时 ，不存在常数 ，使 . 试题分析：（ 1）这是一个求函数单调递减区间的问题，比较简单，可以通过导数的符号去判断；（ 2）这是一个两方程有公共解且公共解唯一的问题，消去参数 后就转化为含有参数 的关于未知数 的三次方程有唯一解的问题，可利用三次函数的图象判断；（ 3）可设 ，然后把点 的坐标和 都
13、用 表示，再考察关于 的等式 恒成立，从而去确定常数 是否存在 . 试题： (1)当 时， . 2分 令 f (x)0，解得 ， f(x)的单调减区间为 4分 (2) ， 由题意知 消去 ，得 有唯一解 6分 令 ，则， 以在区间 ， 上是增函数，在 上是减函数， 8分 又 ， ， 故实数 的取值范围是 10分 (3) 设 ，则点 处切线方程为 ， 与曲线 ： 联立方程组，得 ，即，所以 点的横坐标 12分 由题意知， ， ， 若存在常数 ，使得 ，则 ， 即常数 ，使得 ， 所以常数 ，使得 解得常数 ，使得， 15分 故当 时，存在常数，使 ；当 时，不存在常数 ，使 16分 考点：函数与
14、方程、导 数的综合应用 . 已知 的三个顶点 ， ， ，其外接圆为 (1)若直线 过点 ，且被截得的弦长为 2，求直线 的方程； (2)对于线 段 上的任意一点 ，若在以 为圆心的圆上都存在不同的两点 ，使得点 是线段 的中点，求 的半径 的取值范围 答案：（ 1）或 ；（ 2） . 试题分析：（ 1）求 的外接圆方程可用待定系数法或利用两边垂直平分线的交点先求出圆心，再利用两点之间距离公式求出半径，求出圆的方程后再利用待定系数法求出直线的方程，此时要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论；（ 2）可设出点 的坐标，再把点 的坐标用其表示，把点 的坐标代入圆的方程，利用方程组恒有解去考察半径的
15、取值范围，但要注意 三点不能重合，即圆和线段 无公共点 . 试题： (1)线段 的垂直平分线方程为 ，线段 的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心 ，半径 ，的方程为 4分 设圆心 到直线 的距离为 ，因为直线 被截得的弦长为 2，所以 当直线 垂直于 轴时，显然符合题意，即为所求； 6分 当直线 不垂直于 轴时，设直线方程为 ，则 ，解得 ， 综上，直线 的方程为或 8分 (2) 直线 的方程为 ，设 ， 因为点 是点 ， 的中点，所以 ，又 都在半径为 的 上， 所以 即 10分 因为该关于 的方程组有解，即以 为圆心 为半径的圆与以 为圆心为半径的圆有公共点，所以 ， 12分 又 ，所以 对
16、 成立 而 在 0， 1上的值域为 ， 10，故 且 15分 又线段 与圆 无公共点，所以 对 成立，即 .故 的半径 的取值范围为 16分 考点：圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系 . 某单位拟建一个扇环面形状的花坛 (如图所示 )，该扇环面是由以点 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 的两条直线段围成按设计要求扇环面的周长为 30米，其中 大圆弧所在圆的半径为 10米设小圆弧所在圆的半径为 米，圆心角为 （弧度） （ 1）求 关于 的函数关系式； （ 2）已知在花坛的边缘 (实线部分 )进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4元 /米，弧线部分的装饰费用为 9元 /米设花坛的面积与
17、装饰总费用的比为 ，求 关于 的函数关系式，并求出 为何值时， 取得最大值？ 答案：（ 1）；（ 2） 1. 试题分析：（ 1）将扇环面的两段弧长和直线段长分别用 与 表示后，利用其和为30列式，再解出 即可；（ 2）将花坛的面积和装饰总费用分别用 与 表示，再利用第（ 1）问的结果消去 ，从而可得到 关于 函数，然后可利用导数或基本等式求其最小值，并确定 取最小值时 的值 . 试题： (1)由弧长计算及扇环面的周长为 30米，得 ，所以， 4分 (2) 花坛的面积为 7分 装饰总费用为 ， 9分 所以花坛的面积与装饰总费用的比， 11分 令 ，则，当且仅当 t=18时取等号，此时 答：当 x
18、时，花坛的面积与装饰总费用的比最大 14分 (注：对 也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分 ) 考点：函数在实际问题中的 应用，基本不等式的应用 . 如图，在三棱锥 中，点 分别是棱 的中点 (1)求证： /平面 ； (2)若平面 平面 ， ，求证： 答案：（ 1）详见；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）这是一个证明直线和平面平行的问题，考虑直线与平面平行的判定定理，可找面外线平行于面内线，本题容易找到 ，结论自然得证；（ 2）因为条件中有平面与平面垂直，故可考虑平面与平面垂直的判定定理，在一平面内作垂直于交线的直线平行于另一平面，再得到线线垂直，再证线面垂直，再得线线垂直，问题不难解
19、决 . 试题：（ 1）在 中， 、 分别是 、 的中点，所以 ， 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 6分 （ 2）在平面内过点 作 ，垂足为 因为平面 平面 ，平面平面 ， 平面，所以 平面 ， 8分 又 平面 ，所以 ， 10分 又 ， ， 平面， 平面， 所以 平面， 12分 又 平面，所以 14分 考点：直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的性质 . 已知向量 ， (1)若 ，求 的值； (2)若 ， ，求的值 答案：（ 1）；（ 2） . 试题分析：（ 1）由 易得 ，代入式子 中可约去为 求出其值；（ 2）先求出 ，再对 两边平方化简可得关于 和 的关系式，联立
20、正弦余弦的平方关系解方程组可得 和 的值，代入的展开式，就可求出其值 . 试题： 由 可知， ，所以 ， 2分 所以 6分 （ 2）由 可得， ， 即 ， 10分 又 ，且 ，由 可解得， ， 12分 所以 14分 考点：向量 的数量积、模的计算，同角三角函数的关系、两角和与差的正弦 . 已知点 ， ，动点 满足 (1)求动点 的轨迹 的方程； (2)在直线 ： 上取一点 ，过点 作轨迹 的两条切线，切点分别为问：是否存在点 ，使得直线 / ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析： (1)设动点 ，利用条件列式化简可得动点轨迹方程 C；（ 2） ，再求出切点弦的方程，利用其斜率为 2，看方程是否有解即可 . 试题： (1)设 ，则 ， ， ， 由 ，得，化简得 . 故动点 的轨迹 的方程 . 5分 (2)直线 方程为 ，设 ， ， 过点 的切线方程设为 ，代入 ，得 ， 由 ，得 ，所以过点 的切线方程为 ， 7分 同理过点 的切线方程为 所以直线 MN的方程为 ， 9分 又 / ，所以 ，得 ，而 ， 故点 的坐标为 10分 考点：曲线与方程 .
