1、2014届江西省新课程高三上学期第二次适应性测试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ， ，若 ，则 的值是 ( ) A 1 B 2 C 0 D答案： B 试题分析：因为 ，所以 ，且 ，则 ，解得 ，所以 ，所以 . 考点： 1、元素与集合的关系； 2、集合的基本运算 . 对正整数 ，有抛物线 ，过 任作直线 交抛物线于， 两点，设数列 中， ，且 ，则数列 的前 项和 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：设直线方程为 ，代入抛物线方程得， 设 ，则 ， 由根与系数的关系得 ， ， 代入 式得 ， 故 （ ），故数列 的前 项和 . 考点： 1、直线的方程； 2、方程的根与
2、系数的关系； 3、平面向量的数量积 . 已知正三角形 中，点 为原点，点 的坐标是 ，点 在第一象限，向量 ，记向量 与向量 的夹角为 ，则 的值为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：设向量 与 轴正向的夹角为 ，则 ，且有， 则 . 考点： 1、平面向量的夹角； 2、三角函数和差化积公式； 3、求任意角的三角函数值 . 已知公差不为零的等差数列 与公比为 的等比数列 有相同的首项，同时满足 ， ， 成等比， ， ， 成等差，则 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：设数列的首项为 ，等差数列 的公差为 , ，将 ， ， 代入得 ，化简得 ，解得 ，代入（ 1）式得 . 考
3、点： 1、等差数列的通项公式； 2、等比数列的性质 . 已知等差数列 的公差和首项都不等于 0，且 ， ， 成等比数列，则 ( ) A 2 B 3 C 5 D 7 答案： A 试题分析：设公差为 ，因为 ， ， 成等比数列，所以 ，即，解得 ，所以. 考点： 1、等差数列的通项公式； 2、等比数列的性质 . 实数 满足 ，则 的值为 ( ) A B 或 C D不确定 答案： C 试题分析：由已知得 ，所以 ， 所以 . 考点： 1、三角函数的恒等变换及化简求值； 2、由对数函数的值域求自变量的取值集合 . 在 中， ， ， 分别是 ， ， 的对边，已知 ， ， 成等比数列，且 ，则 的值为 (
4、 ) A B C D 答案： C 试题分析：因为 ， ， 成等比数列，所以 . 又 ， . 在 中，由余弦定理得： ，那么 . 由正弦定理得 ，又因为 ， ， 所以 . 考点： 1、等比数列的性质； 2、正弦定理和余弦定理的应用 . 设 ， ，且 ，则锐角 为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由向量平行的充要条件知 ， 化简得 ，设 ，则，代入 式得 ，所以 或 ，又 是锐角，所以，那么 ，此时 ， . 考点： 1、平面向量共线的坐标表示； 2、三角函数的积化和差公式的应用 . 已知 ， ， ，则 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：由 平方，得 ，将 ， 代入此式得
5、，所以 . 考点：求平面向量的数量积、模 . 已知 ，则 的值是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，所以. 考点： 1、三角函数的积化和差公式的应用； 2、特殊角的三角函数值 . 填空题 已知 ，其导函数为 ，设 ，则数列 自第 2项到第 项的和 _. 答案： 试题分析：已知 ， 则有 ， 所以 ， ， 所以 ，所以. 考点： 1、数列的函数特性及其与函数的综合运用； 2、简单复合函数的导数； 3、累加法求数列的和 . 已知 ， 的取值范围是 ， ，则函数的最小值为 _. 答案： 试题分析：设 ， 则 ， 所以 ，即 ，所以 . 设 ，因为 ，所以 ， 代入 得 ，由于 ，
6、故 的最小值是 ，所以， 当且仅当 时， ，又因为函数 在 时是减函数， 所以 . 考点： 1、三角函数恒等变换； 2、对数函数的性质及单调性； 3、不等式的性质及应用 . 已知 ， ， ，则 的值 =_. 答案： 试题分析：因为 ，所以 ， ， 则 ， ， 则 . 考点： 1、同角三角函数值的互化； 2,、三角函数的和差化积公式 . 将一列有规律的正整数排成一个三角形矩阵 (如图 )：根据排列规律，数阵中第 12行的从左至右的第 4个数是 _. 答案： 试题分析：按数字出现的先后顺序可知，这个三角矩阵的数字是首项为 1，公差为 3的等差数列，其通项公式为： ，前 11行共有个数，因此第 12
7、行的从左至右的第 4个数是全体正数中的第 个，第 70个正数是 . 考点：等差数列的前 项和的应用 . 已知函数 ，且 ，则函数 的单调递减区间为 _. 答案： 试题分析：由 得 . 所以 ， 由图像可知单调递减区间为 . 考点：分段函数的图像和单调性 . 解答题 如图，在底角为 的等腰梯形 中，已 知 ， 分别为， 的中点 .设 ， . (1)试用 ， 表示 ， ； (2)若 ，试求 的值 . 答案： (1) ， ； （ 2） . 试题分析： (1) 利用平面向量的加法和减法的运算法则进行计算，用已知量表示未知量，注意向量的方向的变化；（ 2）要求 ，就要找到向量 ， 的模及其数量积，先求出
8、向量 的模，再根据向量的性质进行计算 . 试题： (1)因为 ， ， ， 分别为 ， 的中点， 所以 ； 3分 . 6分 （ 2） ， , ，所以 , 8分 那么. 12分 考点： 1、平面向量的模及数量积； 2、平面向量的加减混合运算 . 已知向量 和 ， (1)设 ，写出函数 的最小正周期，并指出该函数的图像可由的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ (2)若 ，求 的范围 . 答案： (1) ； (2) . 试题分析： (1)根据平面向量数量积的运算求出 ，最小正周期即是 ，根据图像的平移变换的规律写出函数 经过怎样的变化到已知函数 的；（ 2）先根据已给的向量坐标化简 ，得到式子 ，根据
9、三角函数在定区间上的取值判断 值域所在的区间，即是 的取值集合 . 试题： (1)由已知得 ， 所以函数 的最小正周期为 . 3分 将函数 的图像依次进行下列变换：把函数 的图像向左平移 ，得到函数 的图像；把函数 的图像上各点纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变），得到函数 即 的图像； 6分 （ 2） ， 所以， 因为 ，所以 ，则 ， 所以 ，即 的范围是 . 12分 考点： 1、三角函数的最小正周期； 2、三角函数图像的平移变换； 3、三角函数在定区间上的值域； 4、求平面向量的模； 5、三角恒等变换 . 已知 ，其中向量 ， ， .在 中，角 A、 B、 C的对边分别为 ， ， . (
10、1)如果三边 ， ， 依次成等比数列，试求角 的取值范围及此时函数的值域； (2) 在 中，若 ，边 ， ， 依次成等差数列，且 ，求 的值 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先根据向量的数量积的坐标运算和三角函数的积化和差公式，化简 ，然后根据三边关系结合余弦定理求得角 的取值范围，再将 代入化简后的 ，得到 ，根据三角函数在定区间上的值域求得函数 的值域；（ 2）根据题中所给信息 解得角 的大小， 由 ，得到 ，由已知条件得边 ， ， 依次成等差数列，结合余弦定理，得到两个等量关系，解得 的值 . 试题：（ 1）， 2分 由已知 ，所以 ， 所以 ， ，则 ， 故函
11、数 f(B)的值域为 ； 6分 （ 2）由已知得 ，所以 ， 8分 所以 或 ，解得 或 （舍去）， 10分 由 ，得 ，解得 ， 由三边 ， ， 依次成等差数列得 ，则， 由余弦定理得 , 解得 . 12分 考点： 1、平面向量的数量积的运算； 2、余弦定理； 3、解三角形； 4、等差数列的性质及应用； 5、特殊角的三角函数值 . 设 ，将函数 在区间 内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列 . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，数列 的前 项和为 ，求 . 答案：（ 1） ；（ 2）. 试题分析：（ 1）先化简 ，得 ，再根据三角函数的性质找到极值点，利用等差数列的性质写出数列 的通
12、项公式；（ 2）先根据（ 1）中的结果写出 的通项公式，然后写出 的式，再构造出 ，利用错位相减法求 . 试题：（ 1） ，其极值点为 ， 2分 它在 内的全部极值点构成以 为首项， 为公差的等差数列， 4分 所以 ； 6分 （ 2） ， 8分 所以 ， ， 相减，得 ， 所以 . 12分 考点： 1、三角函数的恒等变换及化简； 2、三角函数的性质的应用； 3、等差数列的通项公式； 4、错位相减法求数列的前 项和； 5、等比数列的前 项和 . 已知函数 . (1)当 时，求函数 的极值； (2)求函数 的单调区间； (3)是否存在实数 ，使函数 在 上有唯一的零点，若有，请求出 的范围；若没有
13、，请说明理由 . 答案：（ 1） ，无极大值；（ 2）见；（ 3）存在， 或. 试题分析：（ 1）先找到函数 的定义域，在定义域内进行作答，在条件下求出函数 的导函数，根据函数的单调性与导数的关系，判断函数的极值；（ 2）先求出函数 的导函数，其导函数中含有参数 ，所以要进行分类讨论，对 分三种情况 ， ， 进行讨论，分别求出每种情 况下的函数 的单调增区间和单调减区间；（ 3）结合（ 2）中的结果，找到函数 的极值点，要满足题中的要求，那么或 ，解不等式，在 的范围内求解 . 试题：（ 1） 函数 的定义域是 ， 1分 当 时， ， 所以 在 上递减，在 上递增， 所以函数 的极小值为 ，无
14、极大值； 4分 （ 2） 定义域 ， 5分 当 ，即 时，由 ，得 的增区间为；由 ，得 的减区间为 ； 6分 当 ，即 时，由 ，得 的增区间为 和 ；由 ，得 的减区间为； 7分 当 ，即 时，由 ，得 的增区间为和 ；由 ，得 的减区间为 ； 8分 综上， 时， 的增区间为 ，减区间为 ； 时， 的增区间为 和 ，减区间为 ； 时， 的增区间为 和 ，减区间为 ； 9分 (3)当 时，由（ 2）知 在 的极小值为 已知数列 满足 ， . (1)求证：数列 是等比数列； (2)设 ，求数列 的前 项和 ； (3)设 ，数列 的前 项和为 ，求证： (其中 ). 答案：（ 1）见；（ 2）
15、；（ 3）见 . 试题分析：（ 1）首先由 求出 ，然后 时，构造函数，即可证明在 条件下数列是等比数列，将 时的值代入也符合，即证；（ 2）先由（ 1）得到 ，然后写出 的通项公式，根据等比数列前 项和公式求出 ；（ 3）求出数列的通项公式，再由累加法求其前 项和为 ，再判断 与 的关系 . 试题：（ 1）证明：由 ， 得 ， 当 时， ，即 ， 所以 是首项为 ，公比为 的等比数列， 时，也符合，所以数列 是等比数列； .5分 （ 2） ，由（ I）得 ，所以. 所以 ， 数列 的前 n项和 . 10分 （ 3）证明： 所以，数列 的前 n项和为 因为当 时， ，所以 14分 考点： 1、函数的构造； 2、等比数列的性质； 3、等比数列的前 项和； 4、累加法求数列的前 项和 .
