1、2014届江西赣州市十二县（市）高三第一学期期中联考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ,下列结论成立的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，故选 D 考点：集合的运算 如图，线段 =8，点 在线段 上，且 =2， 为线段 上一动点，点 绕点 旋转后与点 绕点 旋转后重合于点 .设 = 的面积为.则 的最大值为（ ） A B 2 C 3 D 答案： A 试题分析：三角形的周长是一个定值 8，由题意， ,故其面积可用海伦公式表示出来即， ,在 中 , ,解得 ,令 ，解得 , 上， , 的最大值为 ,故答案：为 A 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用 . 设 为坐标
2、原点，第一象限内的点 的坐标满足约束条件， ，若 的最大值为 40，则的最小值为（ ） A B C 1 D 4 答案： B 试题分析： ，不等式表示的平面区域阴影部分，当直线过直线 与直线 的交点 时，目标函数 取得最大 40，即 ，即 ，而 ，当且仅当 时取等号，则 的最小值为 故选 B. 考点：简单线性规划 , 基本不等式 . 函数 （其中 ）的图象如图所示，为了得到的图像，则只要将 的图像（ ） A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度 答案： A 试题分析：由函数 （其中 ）的图象可得，再由五点法作图可得，故函数的 的式为故把 的图
3、象向右平移 个单位长度，可得 的图象，故选 考点：函数 的图象变换，由 的部分图象确定其式 如图，平行四边形 ABCD中， ，点 M在 AB边上，且 则 等于 （ ） A B C D 1 答案： D 试题分析： ， ， ， ，故选 D 考点：向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算 已知 ， ，则 = （ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 ， ，所以 ， 考点：三角函数求值，三角恒等变化 执行如图所示的程序框图 ,输出的 S值为（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 答案： C 试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：累乘 的值，
4、 ，答案：为： 考点：算法框图 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为 ，则 h的值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：三视图复原的几何体是底面为边长 5， 6的矩形，一条侧棱垂直底面高为 h，所以四棱锥的体积为： ，所以 故选 B 考点：由三视图求面积、体积 下列选项中，说法正确的是 （ ） A命题 “若 ，则 ”的逆命题是真命题； B命题 “ ”的否定是 “ ”; C命题 “ ”为真命题，则命题 均为真命题； D设 是向量，命题 “若 ”的否命题是真命题 . 答案： B 试题分析： “若 ，则 ”的逆命题为：若 ，则 ，若，则 ，故错误；命题 “ ”为真命题，则命题
5、 至少有一个为真命题，故错误；设 是向量，命题 “若 ”的否命题是“若 ”是假命题，故错误；命题 “ ”的否定是“ ”，特称命题的否定为全称命题，故正确 考点：逻辑用语 函数 的定义域为 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：由题意可得 ，解得 ，故函数的定义域为 考点：函数的定义域 填空题 不等式 对任意实数 恒成立 ,则实数 的取值范围是_. 答案： 或 试题分析： ，故 的值域为 ，不等式 对任意实数 恒成立 ,即 ，解得 或 考点：绝对值不等式的解法，恒成立问题 已知极坐标的极点在直角坐标系的原点 O 处，极轴与 x轴的正半轴重合，曲线 C的参数方程为 （ 为参数），直线 的极
6、坐标方程为则直线与曲线 C的位置关系为 . 答案：相离 试题分析：曲线 C的参数方程为 （ 为参数），则它的普通方程为，直线 的极坐标方程为 ，则它的普通方程为，由点到直线距离公式可得圆心 C到直线 的距离为，故直线与圆相离 考点：参数方程，极坐标方程，直线与圆的位置关系 .根据下面一组等式 S1=1 S2=2+3=5 S3=4+5+6=15 S4=7+8+9+10=34 S5=11+12+13+14+15=65 S6=16+17+18+19+20+21=111 S7=22+23+24+25+26+27+28=175 可得 . 答案： 试题分析：由题中数阵的排列特征，设第 i行的第 1个数记为
7、 （ i=1， 2， 3n ） 则 以上 个式子相加可得， , 共有 连续正整数相加，并且最小加数为 ， ， ， 故答案： 考点：归纳推理 若双曲线 的左、右焦点分别为 F1,F2，线段 F1F2被抛物线 的焦点分成 5： 3两段，则此双曲线的离心率为 _ _. 答案： 试题分析： 抛物线 的焦点 ，双曲线 左、右焦点 ,又线段 被抛物线 的焦点分成 5： 3两段， ，即 ， ,又 , ， 此双曲线的离心率 ， ,故答案：为： 考点：双曲线的简单性质 . ,则 . 答案： 试题分析： , . 考点：分段函数求值 . 在平面直角坐标系 中，由直线 与曲线 围成的封闭图形的面积是 . 答案： 试题
8、分析：由题意可得 由积分的几何意义可得 ,故答案：为： . 考点：定积分在求面积中的应用 . 解答题 已知向量 ， ，设函数 ，. （ ）求 的最小正周期与最大值； （ ）在 中， 分别是角 的对边，若 的面积为 ，求 的值 . 答案：（ ） 的最小正周期为 ， 的最大值为 5；（ ） 试题分析：（ ）求 的最小正周期与最大值，首先须求出 的式，由已知向量 ， ，函数 ，可将 代入，根据数量积求得 ，进行三角恒等变化，像这一类题，求周期与最大值问题，常常采用把它化成一个角的一个三角函数，即化成 ，利用它的图象与性质，求出周期与最大值，本题利用两角和与差的三角函数公式整理成 ，从而求得 的最小正
9、周期与最大值；（ ）在 中， 分别是角 的对边，若的面积为 ，求 的值，要求 的值，一般用正弦定理或余弦定理，本题注意到 ，由 得，可求出角的值，由已知， 的面积为 ，可利用面积公式 ，求出 ，已知两边及夹角，可利用余弦定理求出 ，解此类题，主要分清边角关系即可，一般不难 试题：（ ） ， 的最小正周期为 ， 的最大值为 5. （ ）由 得， ，即 ， ,， ，又 ，即 , ，由余弦定理得， 考点：两角和正弦公式，正弦函数的周期性与最值，根据三角函数的值求角，解三角形 袋中有 8个大小相同的小球，其中 1个黑球， 3个白球， 4个红球 . （ I）若从袋中一次摸出 2个小球，求恰为异色球的概率
10、； （ II）若从袋中一次摸出 3个小球，且 3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为 ，求 的分布列及数学期望 E . 答案：（ ） ；（ ）分布列为： 1 2 3 试题分析：（ ）若从袋中一次摸出 2个小球，求恰为异色球的概率，这显然是一个古典概型，有古典概型的概率求法，先求出总的基本事件数，从 8个球中摸出 2个小球的种数为 ，再求出符合条件的基本事件数，摸出的 2个小球为异色球的种数为 ，从而求出概率 ；（ ）若从袋中一次摸出 3 个小球，且 3 个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，此时有三种：一种是有 1个红球， 1个黑球， 1个白球，二种是有 2
11、个红球， 1个其它颜色球，三种是所摸得的 3小球均为红球，分别求出它们的概率，得分布列，从而求出期望 试题：（ ）摸出的 2个小球为异色球的种数为 2分 从 8个球 中摸出 2个小球的种数为 3分 故所求概率为 6分 （ ）符合条件的摸法包括以下三种： 一种是有 1个红球， 1个黑球， 1个白球， 共有 种 7分 一种是有 2个红球， 1个其它颜色球， 共有 种， 8分 一种是所摸得的 3小球均为红球，共有 种不同摸法， 故符合条件的不同摸法共有 种 . 10分 由题意知，随机变量 的取值为 ， ， .其分布列为： 1 2 3 12分 考点：古典概率，分布列及期望 如图，已知直角梯形 所在的平
12、面垂直于平面 ， ， （ ）点 是直线 中点，证明 平面 ； （ ）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值 . 答案：（ ）详见；（ ）平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值 试题分析：（ ）点 是直线 中点，证明 平面 ；证明线面平行，主要是证明线线平行，证明线线平行的方法有两种，一种利用三角形的中位线，另一种是利用平行四边形对边平行，此题不符合利用三角形的中位线，可考虑构造平行四边形来证，取 的中点 连结 ，证明 即可，故只需证明 且 即可，由作法可知 ， ，为此取 的中点 ，连结 ，证明 即可；（ ）求平面与平面 所成的锐二面角的余弦值，处理方法有两种，一传统方法，二向量法，传统方法首先确
13、定二面角，过 作 的平行线 ，过 作 的垂线交 于 ，连结 ，注意到棱 垂直平面 ， 是所求二面角的平面角，从而求得平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值，向量法，建立空间坐标系，以点 为原点，直线 为 轴，直线 为 轴，建立空间直角坐标系 ，主要找两个平面的法向量，平面 的一个法向量为只需设平面 的法向量为 ，由题意求出法向量为即可 试题：（ ）证明： 取 的中点 连结 ，则 ， ，取 的中点 ，连结 ， 且 ， 是正三角形， 四边形 为矩形， 4分 又 ， 且 ，四边形 是平行四边形 ，而 平面 ， 平面 ， 平面 6分 （ ）（法 1）过 作 的平行线 ，过 作 已知数列 满足 ， （ 且
14、 ） （ ）求数列 的通项公式 ； （ ）令 ，记数列 的前 项和为 ，若恒为一个与 无关的常数 ，试求常数 和 . 答案：（ ） ；（ ） ， 试题分析：（ ）求数列 的通项公式 ，这是已知 型求 ，可仿来求 ，由 ，可 ，二式作差可得 ，即 ，再求得 即可判断数列 是首项为 1，公比为 2的等比数列，从而可求数列 的通项公式 ；（ ）由（ ）得 ，求得 ，由等差数列的概念可判断 是以 为首项，以 为公差的等差数列，由对任意正整数 恒成立，即恒为一个与 n 无关的常数 可得到关于 的方程组，解之即可 试题：（ ） 由题 由 得： ，即 3分 当 时， ， ， , 所以，数列 是首项为 ，公比
15、为 的等比数列 故 （ ） 6分 （ ） ， ， 是以 为首项，以 为公差的等差数列， 8分 10分 恒为一个与 无关的常数 ， 解之得： ， 12分 考点：等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和 已知抛物线 的焦点为 F2，点 F1与 F2关于坐标原点对称，以 F1,F2为焦点的椭圆 C过点 . （ ）求椭圆 C的标准方程； （ ）设点 ，过点 F2作直线 与椭圆 C交于 A,B两点，且 ，若 的取值范围 . 答案：（ ）椭圆 的标准方程为 ；（ ） . 试题分析：（ ）由抛物线 的焦点为 ，点 与 关于坐标原点对称，以 ， 为焦点的椭圆 C过点 ，故可用待定系数法求椭圆方程，设
16、椭圆 的标准方程为 ，由条件求出 即可；（ ）设点 ，过点 F2作直线 与椭圆 C交于 A,B两点，且 ，若的取值范围，这是直线与圆锥曲线交点问题，可采用设而不求的解题思想，设出直线 的方程（注意需讨论斜率不存在情况），与，两点坐标，利用根与系数关系来解，当直线斜率不存在时，直接求解 A， B的坐标得到 的值，当直线斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立后，利用 ，消掉点的坐标得到 与 k的关系，根据 的范围求 k的范围，然后把 转化为含有 k的函数式，最后利用基本不等式求出的取值范围 试题：（ ）设椭圆的半焦距为 ，由题意得 ， 设椭圆 的标准方程为 ， 则 将 代入 ，解得 或 （舍去）
17、 所以 故椭圆 的标准方程为 4分 （ ）方法一： 容易验证直线 的斜率不为 0，设直线 的方程为 将直线 的方程代入 中得： . 6分 设 ，则由根与系数的关系， 可得： 7分 因为 ，所以 ，且 . 将 式平方除以 式，得： 由 所以 10分 因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， 故 ， 令 ，因为 所以 ，即 ， 所以 . 而 ，所以 . 所以 . 已知 . （ ）求函数 在 上的最小值； （ ）对一切 恒成立，求实数 的取值范围； （ ）证明：对一切 ，都有 成立 . 答案：（ ） ；（ ） ；（ ）详见 试题分析：（ ）求函数 在 上的最小值，先求出函数的定义域，然后求导数 ，
18、根据导函数的正负判断函数的单调性，由于的值不知，故需要分类讨论，由 得， ，因此分 ，与 两种情况，进而可求出最小值；（ ）对一切恒成立，求实数 的取值范围，解这一类题，常常采用含有参数 的放到不等式的一边，不含参数 （即含 ）的放到不等式的另一边，转化为函数的最值问题，由 ，则 ，构造函数，则 ，进而得到实数 a的取值范围；（ ）对一切 ，都有 成立，即 ，结合（ ）中结论可知 ，构造新函数 ，分析其最大值，可得答案： 试题：（ ） . 当 单调递减，当 单调递增 2分 ，即 时， ； 4分 ，即 时， 在 上单调递增， 所以 . 6分 （ ） ，则 ， 设 ，则 ， 8分 单调递减， 单调递增， 所以 ，对一切 恒成立， 所以 . 10分 （ ）问题等价于证明 ， 由（ ）可知 的最小值是 ，当且仅当 时取到 . 12分 设 ，则 ，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，故当 时 取得最大值，即 ，当且仅当 时取到，从而对一切 ，都有 成立 . 14分 考点：函数在某点取得极值的条件，导数在最大值、最小值问题中的应用
