1、注册环保工程师基础考试上午（高等数学）历年真题试卷汇编 7 及答案与解析一、单项选择题1 已知向量 等于：（A）0（B） 6（C）（D）2 设 都垂直的单位向量为：3 球面 x2+y2+z2=9 与平面 x+z=1 的交线在 xOy 坐标面上投影的方程是：（A）x 2+y2+(1-x)2=9（B）（C） (1-z)2+y2+z2=9（D）4 5 设 (x)=1-cosx，(x)=2x 2，则当 x0 时，下列结论中正确的是：（A）(x)与 (x)是等价无穷小（B） (x)是 (x)的高阶无穷小（C） (x)是 (x)的低阶无穷小（D）(x)与 (x)是同阶无穷小但不是等价无穷小6 设 f(x)
2、= ，则：（A）f(x)为偶函数，值域为 (-1，1)（B） f(x)为奇函数，值域为(-，0)（C） f(x)为奇函数，值域为(-1 ，1)（D）f(x)为奇函数，值域为 (0，+)7 函数 f(x)= ，在 x1 时，f(x)的极限是：（A）2（B） 3（C） 0（D）不存在8 对于曲线 y= x2，下列各性态不正确的是：（A）有 3 个极值点（B）有 3 个拐点（C）有 2 个极值点（D）对称原点9 10 11 等于：（A）sinx（B） |sinx|（C） -sin2x（D）-sinx|sinx|12 0+xe-2xdx 等于：（A）-（B） 12（C） 14（D）413 设方程 x2
3、+y2+z2=4z 确定可微函数 z=z(x，y)，则全微分 dz 等于：14 已知函数 f(xy，xy)=x 2，则 等于：（A）2x+2y（B） x+y（C） 2x-2y（D）x-y15 曲线 y=(sinx)32 (0x)与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积等于：16 设 f(x，y)是连续函数，则 01dx0xf(x，y)dy 等于：（A） 0xdy01(x，y)dx（B） 01dy0x(x，y)dx（C） 01dy01f(x，y)dx（D） 01dyy1f(x，y)dx17 下列幂级数中，收敛半径 R=3 的幂级数是：18 函数 展开成(x-1)的幂级数是：19
4、 级数 (-1)n-1xn 的和函数是：20 微分方程 y“=3y+2y=xex 的待定特解的形式是：（A）y=(Ax 2+Bx)ex（B） y=(Ax+B)ex（C） y=Ax2ex（D）y=Axe x21 微分方程 y“+ay2=0 满足条件 y|x=0=0，y| x=0=-1 的特解是：22 微分方程 y+ y=2 满足初始条件 y|x=1=0 的特解是：23 已知矩阵 A= 相似，则 等于：（A）6（B） 5（C） 4（D）1424 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，行列式 等于：（A）-|A|B|（B） |A|B|（C） (-1)m+n+|A|B|（D）(-1) mn|A|
5、B|25 已知矩阵 A= ，则 A 的秩 r(A)=（A）0（B） 1（C） 2（D）326 设 A 是三阶矩阵， 1=(1，0，1) T， 2=(1，1，0) T 是 A 的属于特征值 1 的特征向量， 3(0，1， 2)T 是 A 的属于特征值-1 的特征向量，则：（A） 1-2 是 A 的属于特征值 1 的特征向量（B） 1-3 是 A 的属于特征值 1 的特征向量（C） 1-3 是 A 的属于特征值 2 的特征向量（D） 1+2+3 是 A 的属于特征值 1 的特征向量27 设 X1，X 2，X n 与 Y1，Y 2，Y n 是来自正态总体 XN(， 2)的样本，并且相互独立， 分别是
6、其样本均值，则 服从的分布是：（A）t(x-1)（B） F(n-1，n-1)（C） x2(n-1)（D）N(， 2)28 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 则 Y 表示对 X 的 3 次独立重复观察中事件x12出现的次数，则 PY=2=（A）364（B） 964（C） 316（D）91629 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)=则 Y=1X 数学期望是：（A）34（B） 12（C） 23（D）1430 袋中有 5 个大小相同的球，其中 3 个是白球，2 个是红球，一次随机地取出 3 个球，其中恰有 2 个是白球的概率是：注册环保工程师基础考试上午（高等数学）历年真题试卷汇编 7 答
7、案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 求出与 垂直的向量：【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 通过方程组 ，消去 z，得 x2+y2+(1-x)2=9 为空间曲线在xOy 平面上的投影柱面。空间曲线在 xOy 平面上的投影曲线为【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 用奇偶函数定义判定。有 f(-x)=-f(x)成立，f(-x)=-f(x)确定为奇函数。另外，通过函数的定义域
8、 (-，+)，确定值域为(-1，1)。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 计算 f(x)在 x=1 的左、右极限：f(1+0)f(1-0)。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 A【试题解析】 通过计算 f(x)的极值点确定。y=x 4-x2=x2(x2-1)=x2(x+1)(x-1)令 y=0，求驻点 x1=0，x 2=1，x 3=-1 利用驻点将定义域分割为(-，-1)、(-1 ，0)、(0，1)、(1，+) 。函数只有 2 个极值点，选项 C 成立，选项 A 不正确。还可判定选项 B、D 成立。【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高
9、等数学10 【正确答案】 B【试题解析】 凑微分再利用积分公式计算，原式=2 再利用积分公式计算。原式=2arctan +C。【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 D【试题解析】 本题为求复合的积分上限函数的导数，利用公式计算。【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 C【试题解析】 本题为函数 f(x)在无穷区间的广义积分。计算如下：【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 B【试题解析】 x 2+y2+z2=4zFx=2x，F y=2y，F z=2z-4【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 B【试题解析】 f(xy ，xy) 化为 f(x，y)形式。设 xy=u，xy=v 而uv=
10、xyxy=x 2，即 x2=uv)代入 f(xy，xy)=x 2，化为 f(u，v)=uv 即 f(x，y)=xy。对函数 f(x，y) 求偏导，得【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 B【试题解析】 旋转体体积 V【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 D【试题解析】 本题要求改变二重积分的积分顺序。将先对 y 积分、后对 x 积分，换成先对 x 积分、后对 y 积分。通过给出的条件 D： ，把积分区域(见解图)D 复原； 再写出先对 x 积分、后对 y 积分 原式=01dyy1f(x，y)dx。【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 D【试题解析】 R=3，则 =13【知识模块】
11、高等数学18 【正确答案】 C【试题解析】 将函数 =1+x+x2+xn+(-1，1)，将函数展开成 x-1 幂级数，即变形 利用公式写出最后结果。【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 B【试题解析】 级数 (-1)n-1xn=x-x2+x3-+(-1)n-1xn，公比 q=-x，当 1x1 时，|q|1。级数的和函数 S(x)= (-1，1)。【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 A【试题解析】 特征方程：r 2-3r+2=0，r 1=1，r 1=2 f(x)=xex，=1 ，为对应齐次方程的特征方程的单根，故特解形式为 y*=x(Ax+B)e x。【知识模块】 高等数学21 【正确
12、答案】 A【试题解析】 本题为可降阶的高阶微分方程，按不显含变量 x 计算。设y=P，y“=P，方程化为 P+aP2=0，=-ax+C1，代入初始条件x=0，P=y=-1 ，得 C1=1，即 - 求出通解，代入初始条件，求出特解，即 y= ln|ax-1|+C，代入初始条件，x=0 ，y=0，得 C=0特解 y= ln|1-ax|。【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 A【试题解析】 此题为一阶线性微分方程，直接代入公式计算，设方程为 y+p(x)y=(x)，则通解为 y=e-p(x)dxdxQ(x)ep(x)dxdx+C。本题 p(x)=1x，(x)=2，代入公式，有代入初始条件，当 x
13、=1，y=0 ，即 0= (1+C)得 C=-1，故 y=x-【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 A【试题解析】 矩阵相似有相同的特征多项式，有相同的特征值。=(-2)(-2)|+(-3)1+3|=(-2)(-2)+(-3)-3=(-2)(-2)(-3-3)=(-2)(-2)(-6)特征值为2，2，6。矩阵 B 中 =6。【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 D【试题解析】 将分块矩阵行列式变形为 的形式。 利用分块矩阵行列式计算公式 =|A|B|。将矩阵 B 的第一行与矩阵 A 的行互换，换的方法是从矩阵 A 最下面一行开始换，逐行往上换，换到第一行一共换了 m 次，行列式更换符号
14、(1-) m。再将矩阵 B 的第二行与矩阵 A 的各行互换，换到第二行，又更换符号为(-1) m，最后再将矩阵 B 的最后一行与矩阵 A 的各行互换到矩阵的第 n 行位置，这样原矩阵行列式=(-1)mn|B|A|=(-1)mn|A|B|。【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 C【试题解析】 可以利用矩阵秩的定义验证故 r(A)=2。【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 A【试题解析】 已知 1， 2 是矩阵 A 属于特征值 1 的特征向量，即有A1=1 1， A2=1 2 成立，则 A(1-2)=1( 1-2)， 1-2 为非零向量，因此 1-2 是 A 属于特征值 1 的特征向量。【
15、知识模块】 高等数学27 【正确答案】 B【试题解析】 设 S12= 因为总体 X N(， 2)所以 2(n-1)同理 2(n-1)又因为两样本相互独立【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 B【试题解析】 由题意可知 YB(3，P)，其中 P=Px12= 2xdx=14，P(Y=2)=C32【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 A【试题解析】 E(Y)=E(1X)= 02 x2|02=34。【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 D【试题解析】 用公式 P(A)= ，代入 N=5， n=3，M=3，m=2 。或直接用古典概型公式 P(A)=mn，分母 n 为所有可能结果数 (从 5 个中取出 3 个)，n=C 53；分子 m 为 A 包含的可能结果数(从 3 个白球中取出 2 个，从 2 个红球中取出 1 个)，m=C32C21。【知识模块】 高等数学
