1、2012 年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案与解析1 测量一个底面是正方形的柱体，得底边长为 x，高为 y设测量的相对误差均不超过 r，试估计由所得到的数据计算其体积的绝对误差限和相对误差限2 设. 为 Rnn 中的某一范数，AR nn，B Rnn 为两个非奇异矩阵，证明：A -1-B-1A-1.B-1A B3 给定方程 lnx=sinx，分析该方程存在几个根，并求出这些根(精确到 6 位有效数字)4 给定线性方程组 其中 a 为非零常数 1)写出 Gauss-Seidel迭代格式； 2)讨论 a 在何范围内取值时 Gauss-Seidel 迭代格式收敛5 求常数 a
2、和 b，使得 取最小值6 考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(b-a)/n，x i=a+ih，0in ，分析求解公式的局部截断误差，并指出该公式是一个几步几阶公式7 设 h0，f(x)C 4x0-h，x 0+h 1) 作 3 次多项式 H(X)，满足 H(x0-h)=f(x0-h)，H(x0)=f(x0)，H(x 0+h)= f(x0+h)，H(x 0)=f(x0)； 2)计算 H“(x0)，并估计 f“(x0)-H“(x0)；3)计算 x0-hx0+hH(x)dx，并估计 x0-hx0+hf(x)dx-x0-hx0+hH(x)dx8 给定常微分方程两点边值问题 并设其有光滑解取正
3、整数 M，并记 h=(b-a)M，x i=a+ih，0iM 对上述问题建立如下差分格式：1)分析差分格式的截断误差； 2)记V=vv=(v 0，v 1，v M-1，v M)，其中 v0=vM=0)，设 vV 定义如下 2 个范数：证明： 3)证明：差分格式在无穷范数. 下的收敛性9 设如下抛物方程初边值问题有光滑解 u(x，t)：其中，(0)=0,(1)=0,0r 0r(x，t)r1取正整数 M 和 N，并记 h=1M，=T/N，x i=ih，0iM，t k=k，0kN1) 对上述问题建立一个隐式差分格式，并分析差分格式的截断误差；2)证明差分格式的收敛性2012 年攻读理学博士学位研究生入学
4、考试（数值分析）真题试卷答案与解析1 【正确答案】 由题意知 V=x2y，因此 dV=2xydx+x 2dy，er(V)2er(x)+er(y)，e r(V)2e r(x)+er(y)2e r(x)+e r(y)3r，e(V)e r(V)Ve(V)e r(V)V3rx2 【正确答案】 根据题意，有A -1-B-1=A-1(BA)B-1A-1BAB-1=A-1B-1AB3 【正确答案】 作函数 y=sin x 和 y=ln x 的图像(如下图 )可知，y=sin x 和 y=ln x 有唯一的交点 x*(2，) 用 Newton 迭代格式，有 xk+1=xk k=0，1，2，取 计算得x0=2
5、3561945，x 1=22236816 ，x 2=22191130， x3=22191071，x 4=2219104 【正确答案】 1)GaussSeidel 迭代格式为2)迭代矩阵 G 的特征方程为展开得 2(9a-60)=0，解得 所以收敛的充分必要条件为p(G)1，即5 【正确答案】 令 f(x)=x2，p(x)=a+bx，则 p(x)为 f(x)为 f(x)在-1，2上的最佳一致逼近多项式由于 f“(x)=10，所以，f(x)-p(x) 在-1，2上恰有 3 个交错偏差点：-1，x 0，2，满足 即解得 6 【正确答案】 局部截断误差为所给公式是一个两步4 阶公式7 【正确答案】 1
6、)记 x-1=x0h，x 1=x0+h作 2 次多项式 L2(x)满足 L2(x-1)=f(x-1)，L2(x0)=f(x0)，L 2(x1)=f(x1)，则有H(x)=L2(x)+A(xx-1)(8 【正确答案】 1)在 xi 处考虑方程有-u“(x i)+u(xi)=f(xi)，1iM ，将 u“(xi)= u(xi-1)-2u(xi)+u(xi+1)- ， i(xi-1,xi+1)代入上式，得 u(xi-1)-2u(xi9 【正确答案】 1)在(x i，t k)处考虑方程有 =f(xi，t k)， 1iM-1，1kN，将 ik(tk-1,tk)ik(xi-1，x i+1)代入得1iM-1，1kN，注意到初边值条件有 u(xi
