1、考研数学二（二次型）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设（A）A 与 B 既合同又相似（B） A 与 B 合同但不相似（C） A 与 B 不合同但相似（D）A 与 B 既不合同又不相似2 下列矩阵中，正定矩阵是3 设 则 A 与 B（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同也不相似4 二次型 xTAx 正定的充要条件是（A）负惯性指数为零（B）存在可逆矩阵 P，使 P1 AP=E（C） A 的特征值全大于零（D）存在 n 阶矩阵 C，使 A=CTC二、填空题5 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x22+2x1x
2、3 的负惯性指数 q=_6 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+cx32+2ax1x2+2x1x3 经正交变换化为标准形y12+2y32，则 a=_7 已知 A= ，矩阵 B=A+kE 正定，则 k 的取值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 已知二次型 2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a0)可用正交变换化为 y12+2y22+5y32，求 a 和所作正交变换9 设二次型 f(x 1，x 2，x 3)=XTAX=ax12+2x222x 32+2bx1x3，(b0) 其中 A 的特征值之和为 1，特征值之积为12 (1)求 a，b (2)用正交
3、变换化 f(x1，x 2，x 3)为标准型10 二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 在正交变换 X=QY 下化为 10y124y 224y 32，Q 的第 1 列为 (1)求 A(2) 求一个满足要求的正交矩阵 Q11 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+ax22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3 的正惯性指数为 2，a 应满足什么条件?12 判断 A 与 B 是否合同，其中13 a 为什么数时二次型 x12+3x22+2x32+2ax2x3 可用可逆线性变量替换化为2y123y 22+5y32?14 已知二次型 f(x 1，x 2，x 3)=x12+4x22+4x
4、32+2x1x22x 1x3+4x2x3 当 满足什么条件时 f(x1，x 2，x 3)正定?15 设 (1)求作对角矩阵 D，使得 BD(2)实数 k 满足什么条件时 B 正定?16 设 A 是 m 阶正定矩阵，B 是 mn 实矩阵，证明： BTAB 正定 r(B)=n17 设 A，B 是两个 n 阶实对称矩阵，并且 A 正定证明： (1)存在可逆矩阵 P，使得 PTAP，P TBP 都是对角矩阵； (2)当充分小时， A+B仍是正定矩阵18 设 D= 是正定矩阵，其中 A，B 分别是 m，n 阶矩阵记 P=(1)求 PTDP(2) 证明 BC TA1 C 正定19 证明对于任何 mn 实矩
5、阵 A，A TA 的负惯性指数为 0如果 A 秩为 n，则 ATA是正定矩阵20 设 A 是正定矩阵，B 是实对称矩阵，证明 AB 相似于对角矩阵21 设 A 是一个 n 阶实矩阵，使得 AT+A 正定，证明 A 可逆22 二次型 f(x1，x 2，x 3)=5x12+5x22+cx322x 1x26x 2x3+6x1x3 的秩为 2，求 c 及此二次型的规范形，并写出相应的变换23 若 A 是 n 阶正定矩阵，证明 A1 ，A *也是正定矩阵24 设 A 是 n 阶正定矩阵，证明A+2E2 n考研数学二（二次型）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题
6、目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 A 与 B 都是实对称矩阵，判断是否合同和相似只要看它们的特征值：特征值完全一样时相似，特征值正负性一样时合同此题中 A 的特征值和 B 的特征值都是 4，0，0，0，从而 A 与 B 既合同又相似【知识模块】 二次型2 【正确答案】 C【试题解析】 正定的必要条件 aii0，可排除 A、D B 中 2=0 与顺序主子式全大于 0 相矛盾，排除 B故应选 C【知识模块】 二次型3 【正确答案】 A【试题解析】 由EA= 33 2，知矩阵 A 的特征值为 3，0，0又因 A 是实对称矩阵，A 必能相似对角化，所以 AB因为 A，B 有相同的特征值，从而有
7、相同的正、负惯性指数，所以 A B故应选 A【知识模块】 二次型4 【正确答案】 C【试题解析】 A 是正定的必要条件若 f(x1，x 2， x3)=x12+5x32，虽 q=0，但 f 不正定B 是充分条件正定并不要求特征值全为 1虽 A= 不和单位矩阵 E 相似，但二次型 xTAx 正定D 中没有矩阵 C 可逆的条件，也就推导不出 A 与 E 合同，例如 C= ，A=C TC= ，则 xTAx 不正定故应选 C【知识模块】 二次型二、填空题5 【正确答案】 1【试题解析】 令() ： 因为 0，故()是坐标变换，那么经此变换二次型化为 f=y22+2(y1+y3)(y1y 3)=2y12+
8、y222y 32所以负惯性指数q=1【知识模块】 二次型6 【正确答案】 0【试题解析】 二次型及其标准形的矩阵分别是 在正交变换下二次型矩阵 A 和标准形矩阵 不仅合同，而且相似于是由【知识模块】 二次型7 【正确答案】 k0【试题解析】 由矩阵 A 的特征值为 3，0，0，知矩阵 B 的特征值为k+3，k ，k又 B 正定【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 原二次型的矩阵 A 和化出二次型的矩阵 B 相似于是A=B=10而A=2(9 a 2)，得a2=4，a=2 A 和 B 的特征值相同，为 1，2，5对这 3 个特征值求单位特征向量对于
9、特征值 1： 得(AE)X=0 的同解方程组得属于 1 的一个特征向量 1=(0，1，1) T，单位化得 1=对于特征值 2： 得(A2E)X=0 的同解方程组 得属于 2 的一个单位特征向量 2=(1，0，0) T对于特征值5： 得(A5E)X=0 的同解方程组得属于 5 的一个特征向量 3=(0，1，1) T，单位化得 3=令 Q=(1， 2， 3)，则正交变换 X=QY 把原二次型化为 y12+2y22+532【知识模块】 二次型9 【正确答案】 (1) 由条件知，A 的特征值之和为 1，即a+2+( 2)=1，得 a=1特征值之积=12，即A=12，而得 b=2(b0) 则 (2)得
10、A 的特征值为 2(二重)和3(一重 )对特征值 2 求两个单位正交的特征向量，即(AE)X=0 的非零解得(A2E)X=0 的同解方程组 x12x 3=0，求出基础解系 1=(0，1，0) T， 2=(2，0，1) T它们正交，单位化： 1=1， 2=方程 x12x 3=0 的系数向量(1，0，2) T 和 1， 2 都正交，是属于3 的一个特征向量，单位化得 作正交矩阵 Q=(1， 2， 3)，则 作正交变换 X=QY，则它把 f 化为 Y 的二次型f=2y12+2y223y 32【知识模块】 二次型10 【正确答案】 标准二次型 10y124y 224y 32 的矩阵为 则Q1 AQ=Q
11、TAQ=B，A 和 B 相似于是 A 的特征值是 10，4，4(1)Q 的第 1列 1= 是 A 的属于 10 的特征向量，其 倍 1=(1，2，3) T 也是属于 10 的特征向量于是 A 的属于4 的特征向量和 (1，2，3) T 正交，因此就是方程 x1+2x2+3x3=0 的非零解求出此方程的一个正交基础解系 2=(2，1，0)T， 3=(1，2， )T建立矩阵方程 A(1， 2， 3)=(101，4 2，4 3)，用初等变换法解得 (2)将 2， 3 单位化得 2= (2，1，0)T， 3= (3，6，5) T则正交矩阵 Q=(1， 2， 3)满足要求【知识模块】 二次型11 【正确
12、答案】 用其矩阵的特征值做f(x 1，x 2，x 3)的矩阵为A 的特征值为 0 和2(a+2)+2a2的两个根于是正惯性指数为 22(a+2)+2a2的两个根都大于 0(a+2)和 2a2 都大于 0(用韦达定理)于是得 a1【知识模块】 二次型12 【正确答案】 从特征值的正负性是否一致看B 的特征值是 2 正 1 负，看 A 的特征值是否也是 2 正 1 负先求 A 的行列式于是 A 的 3 个特征值的乘积为4，因此它们或是 2 正 1 负，或是 3 个负再看 A 的迹 tr(A)=1+42=3，则 A 的 3 个特征值之和为 3于是 A 的 3 个特征值不会都是负的，一定是 2 正 1
13、 负于是 A 与B 特征值的正负性一致，它们合同【知识模块】 二次型13 【正确答案】 就是看 a 为什么数时它们的矩阵合同写出这两个二次型的矩阵B 的特征值是 2 正 1 负又看出 1 是 A 的特征值，于是 A 的另两个特征值应该 1 正 1 负，即A0求得A=6a 2，于是 a 满足的条件应该为：【知识模块】 二次型14 【正确答案】 用顺序主子式此二次型的矩阵 它的顺序主子式的值依次为 1，4 2，4(2 2)于是，A 应满足条件4 20，2 20，解出 (2，1)时二次型正定【知识模块】 二次型15 【正确答案】 (1)A 是实对称矩阵，它可相似对角化，从而 B 也可相似对角化，并且
14、以 B 的特征值为对角线上元素的对角矩阵和 B 相似 求 B 的特征值：E A=(2) 2，A 的特征值为 0，2，2，于是 B 的特征值为 k2 和(k+2)2，(k+2) 2 则 BD(2)当 k 为0 和2 的实数时，B 是实对称矩阵，并且特征值都大于 0，从而此时 B 正定【知识模块】 二次型16 【正确答案】 “=”B TAB 是 n 阶正定矩阵，则 r(BTAB)=n，从而 r(B)=n “ TAB是实矩阵，并且(B TAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，因此，B TAB 是实对称矩阵因为r(B)=n，所以齐次线性方程组 BX=0 只有零解，即若 X 是 n 维非零实列向量，则
15、BX0再由 A 的正定性，得到 XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)0由定义知，B TAB 正定【知识模块】 二次型17 【正确答案】 (1)因为 A 正定，所以存在实可逆矩阵 P1，使得 P1TAP1=E作B1=P1TBP1，则 B1 仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵 Q，使得 QTB1Q 是对角矩阵令 P=P1Q，则 P TAP=QTP1TAP1Q=E，P TBP=QTP1TBP1Q=QTB1Q因此 P 即所求 (2)设对 (1)中求得的可逆矩阵 P，对角矩阵 PTBP 对角线上的元素依次为1， 3， n，记 M=max 1， 2， n 则当1M 时，E+PTBP 仍是实对角矩阵，且对
16、角线上元素 1+i0，i=1，2，n于是E+PTBP 正定，P T(A+B)P=E+PTBP，因此 A+B也正定【知识模块】 二次型18 【正确答案】 (1)(2)因为 D 为正定矩阵，P 是实可逆矩阵，所以 PTDP 正定于是由上例的结果，得 BC TA1 C 正定【知识模块】 二次型19 【正确答案】 根据惯性定理 64，只用证明 ATA 的特征值都不为负数，并且在 A 秩为 n 时 ATA 的特征值都大于 0 设 是 A 的一个特征值， 是属于它的一个特征向量，即有 ATA=，于是 TATA=T，即 (A，A)=( ，)则 =(A， A)( ，)0 如果 A 秩为 n，则 AX=0 没有
17、非零解，从而A0，(A，A)0，因此 =(A，A)(，) 0【知识模块】 二次型20 【正确答案】 A 是正定矩阵，存在可逆实矩阵 C，使得 A=CCT，则AB=CCTB于是 C 1 ABC=C1 CCTBC=CTBC 即 AB 相似于 CTBC而 CTBC 是实对称矩阵，相似于对角矩阵由相似的传递性，AB 也相似于对角矩阵【知识模块】 二次型21 【正确答案】 矩阵可逆，有好几个充分必要条件，本题从哪个条件着手呢?行列式不好用，虽然 AT+A 正定可得A T+A0，但是由此不能推出A0用秩也不好下手用“AX=0 没有非零解”则切合条件 设 n 维实列向量 满足 A=0，要证明 =0 T(AT
18、+A)=TAT+TA=(A)T+TA=0 由 AT+A 的正定性得到=0【知识模块】 二次型22 【正确答案】 二次型矩阵 A= ，由二次型的秩为 2，即矩阵 A的秩 r(A)=2，则有 A=24(c3)=0 = c=3用配方法求规范形和所作变换 f(x1，x 2，x 3)=5x12+5x22+3x322x 1x2+6x1x36x 2x3 =3(x3+x1x 2)23(x 1x 2)2+5x12+5x22 2x1x2 =3(x1x 2+x3)2+2x12+2x22+4x1x2 =3(x1x 2+x3)2+2(x1+x2)2则 f(x1，x 2，x 3)=y12+y22，为规范二次型【知识模块】
19、 二次型23 【正确答案】 因 A 正定，所以 AT=A那么(A 1 )T=(AT)1 =A1 ，即 A1 是实对称矩阵设 A 的特征值是 1， 2， n，那么 A1 的特征值是 ，由A 正定知 i0(i=1，2，n)因此 A1 的特征值 0(i=1，2，n)从而A1 正定A *=AA 1 ，A0，则 A*也是实对称矩阵，并且特征值为都大于 0从而 A*正定【知识模块】 二次型24 【正确答案】 设矩阵 A 的特征值是 1， 2， n因为 A 正定，故特征值i0(i=1，2，n)又 A+2E 的特征值是 1+2， 2+2， n+2，所以 A+2E=( 1+2)(2+2)( n+2)2 n【知识模块】 二次型
