1、考研数学二（二重积分）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设平面区域 D 由曲线 y= (xy3 一 1)d 等于 ( )（A）2（B）一 2（C） 7c（D）一 7c2 已知 I= ，则 I= ( )3 二次积分 02dx f(x，y)dy 写成另一种次序的积分是 ( )4 设平面区域 D 由 x=0， y=0，x+y=sin(x+y)3dxdy，则 I1，I 2，I 3 的大小顺序为 ( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I1I 3I 2（D）I 3I 1 I25 累次积分 f(x2+y2)dx(R0)化为极坐
2、标形式的累次积分为 ( )（A） 0d02Rsinf(r2)rdr（B） d02Rcosf(r2)rdr（C） d02Rsinf(r2)rdr（D） 0d02Rcosf(r2)rdr6 设平面区域 D：(x 一 2)2+(y 一 1)21，若比较 I1= (x+y)3d 的大小，则有 ( )（A）I 1=I2（B） I1I 2（C） I1I 2（D）不能比较二、填空题7 二重积分 ln(x2+y2)dxdy 的符号为_8 若 f(x，y)为关于 x 的奇函数，且积分区域 D 关于 y 轴对称，则当 f(x，y)在 D 上连续时，必有 (x，y)dxdy=_ 9 设 D=(x， y)1x 2+y
3、2e2，则二次积分 =_。10 由曲线 y=ln x 及直线 x+y=e+1，y=0 所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为_，其值等于_11 设 I= f(x，y)dy，交换积分次序后则 I=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 计算 01dy3y3 dx13 计算 01dy 14 计算 01dx x3sin y3dy15 计算 01dy 16 计算 02dx (x2+y2)dy17 计算 01dx 18 计算 12dx0x 19 计算 ，其中 D 是由圆周 x2+y2=4，x 2+y2=1 及直线 y=0，y=x 所围的位于第一象限的闭区域20 计算 21 记平面区域
4、 D=(x，y)x+y1 ，计算如下二重积分： (1)I 1=，其中 f(t)为定义在( 一 ，+) 上的连续正值函数，常数a0，b0； (2)I2= (ex一 e 一 y)d，常数 022 设 p(x)在a，b 上非负连续，f(x)与 g(x)在a，b上连续且有相同的单调性，其中D=(x，y) axb，ayb，判别 I 1= (x)f(y)p(y)g(y)dxdy 的大小，并说明理由23 设函数 f(x，y)连续，且 f(x ，y)=x+ yf(u，v)dudv，其中 D 由 y= ，x=1 ，y=2围成，求 f(x，y)24 交换累次积分 I 的积分次序：I= 25 交换累次积分 I 的积
5、分次序： I=26 (1)计算 0+ dx， (2) 当 x1 一 时，求与 0+ dt 等价的无穷大量27 证明： 01dx01(xy)xydy=01xxdx28 设 F(x，y)= 在 D=a，bc，d上连续，求 I= F(x，y)dxdy，并证明：I2(M 一 m)，其中 M 和 m 分别是 f(x，y)在 D 上的最大值和最小值29 (1)设 D=(x，y)axb，cyd，若 f“xy 与 f“yx 在 D 上连续，证明： (2)设 D 为 xOy 平面上的区域，若 f“xy 与 f“yx 都在 D 上连续，证明：f“ xy 与 f“yx 在 D 上相等考研数学二（二重积分）模拟试卷
6、3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 如图 151 所示，用曲线 y=一 sin x(一 x0)将区域 D 划分为D1 和 D2 两部分，则 D1 关于 x 轴对称，D 2 关于 y 轴对称，所围成矩形的面积相等，故 SD=，故应选(D) 【知识模块】 二重积分2 【正确答案】 A【试题解析】 积分域由两部分组成(如图 152)设故应选(A)【知识模块】 二重积分3 【正确答案】 A【试题解析】 改变积分次序的步骤是：由原累次积分的上、下限写出来表示为积分域 D 的联立不等式，并作出 D 的草图，原积分变成二重积 f(x，
7、y)dxdy按新的累次积分次序的要求写出新的累次积分表达式由已知积分的上、下限，可知积分域的不等式表示为：【知识模块】 二重积分4 【正确答案】 C【试题解析】 在 D 内， x+y1，所以 ln(x+y)0sin(x+y)x+y ，于是【知识模块】 二重积分5 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 二重积分6 【正确答案】 C【试题解析】 由二重积分的比较性质，只需比较 D 上(x+y) 2 与(x+y) 2 的大小，即x+y 与 1 的大小从几何的角度也就是考察圆域 D 与直线 x+y=1 的位置关系因积分域 D 的圆心(2，1) 到直线 x+y=1 的距离 d= 1(1 为圆的半径
8、)，故闭域 D 在直线 x+y=1 的上方，即 (x，y)D，有 x+y1，从而在 D 上(x+y) 2(x+y) 2，则I1I 2【知识模块】 二重积分二、填空题7 【正确答案】 负号【试题解析】 二重积分的积分值的符号由被积函数在积分域内的正负号所确定积分域 D：x+y1 因 0x2+y2(x+ y) 21，故 ln(x2+y2)ln 1=0，但又不恒等于零，故 ln(x2+y2)dxdy0【知识模块】 二重积分8 【正确答案】 0【试题解析】 设连续函数 z=f(x，y) 关于 x 为奇函数 (f(一 x，y)=一 f(x，y)或关于x 为偶函数(f(一 x，y)=f(x，y)，积分域
9、D 关于 y 轴对称，D 1 表示 D 的位于 y 轴右方的部分，则有同理当 z=f(x，y) 关于 y 为奇函数或偶函数，积分域 D 关于 x 轴对称也有类似的结论【知识模块】 二重积分9 【正确答案】 (e2+1)【试题解析】 被积函数的特点含有 x2+y2 的形式，且积分域是以原点为中心的圆环域，选用极坐标计算较方便【知识模块】 二重积分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 二重积分11 【正确答案】 【试题解析】 积分域 D 为：e xye2x，0x1曲线 y=e2x，y=e x 与直线 x=1 的交点分别为(1 ，e 2)与(1，e)故【知识模块】 二重积分三、解答题解答应
10、写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 二重积分13 【正确答案】 【知识模块】 二重积分14 【正确答案】 【知识模块】 二重积分15 【正确答案】 【知识模块】 二重积分16 【正确答案】 【知识模块】 二重积分17 【正确答案】 【知识模块】 二重积分18 【正确答案】 【知识模块】 二重积分19 【正确答案】 【知识模块】 二重积分20 【正确答案】 积分区域如图 155 所示，交换积分次序，得【知识模块】 二重积分21 【正确答案】 (1)易见，积分区域 D 是边长为 的正方形，故其面积 SD=2，因为积分区域 D 关于直线 y=x 对称，则由二重积分的性
11、质便有(2)因为积分区域 D 关于直线 y=x 对称，又分别关于 Oy 轴，Ox 轴对称；函数 ex一 e 一 x，e y一 e 一 y分别关于 x，y为奇函数，则由二重积分的性质得【知识模块】 二重积分22 【正确答案】 因 g(x)与 f(x)的单调性相同，所以f(x)一 f(y)g(x)一 g(y)0，从而知 I1 一 I20，有 I1I2【知识模块】 二重积分23 【正确答案】 【试题解析】 这是一道综合题目，表面看来很复杂，只要分析清楚了并不难首先可以知道积分f(u，v)dudv，两边再求二重积分就可能解决了【知识模块】 二重积分24 【正确答案】 由累次积分 I 的积分限容易写出其
12、对应的二重积分的积分区域=12，它们可表示为【知识模块】 二重积分25 【正确答案】 由累次积分 I 的积分限容易写出其对应的二重积分的积分区域为=123，其中【知识模块】 二重积分26 【正确答案】 【知识模块】 二重积分27 【正确答案】 本题看似是二重积分问题，事实上，用代换 t=xy 可将累次积分化为定积分在 01(xy)xydy 中，视 x 为常数，令 t=xy，dt=xdy，当 y 从 0 变到 1 时，t从 0 变到 x，则于是也就是要证明 一 01ttln tdt=01ttdt，移项后就是要证明 01tt(1+lnt)dt=0 事实上， t t(1+ln t)dt=etlntt
13、(1+ln t)dt=etlntd(tlnt)=d(etlnt)，故 01tt(1+lny)dt=一 etlint 01=0【知识模块】 二重积分28 【正确答案】 显然I2(Mm)【知识模块】 二重积分29 【正确答案】 (1) f“xy(x，y)dxdy= abdxcdfxy(x，y)= abfx(x，y) cddx =abfx(x，d)一 fx(x，c)dx =f(x，d) abf(x，c) ab =f(b，d) 一 f(a，d)+f(a，c) 一 f(b，c)同理，f“yx(x，y)dxdy= cddyabf“yx(x，y)dx=f(b，d)一 f(a，d)+f(a，c) 一 f(b，c) 结论成立 (2)用反证法 设存在 P0(x0，y 0)D，有 f“xy(x0，y 0)f“yx(x0，y 0) 不妨设f“xy(x0，y 0)一 f“yx(x0，y 0)0，由于 f“xy(x，y) 一 f“yx(x，y)=f“ xy(x0，y 0)一f“yx(x0，y 0)0 由极限的保号性， 00，0 ，当 P(x，y)U(P 0，) 时有 f“xy(x，y)一 f“yx(x，y) 0由(1)有， f“xy(x，y)一 f“yx(x，y)dxdy=0，这与上述结论矛盾，故 f“xy(x，y)与f“yx(x，y)在 D 上相等【知识模块】 二重积分
