1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(，y) 则 f(，y)在(0，0)处( )（A）连续但不可偏导（B）可偏导但不连续（C）可微（D）一阶连续可偏导2 对二元函数 zf(，y)，下列结论正确的是( )（A）zf(，y)可微的充分必要条件是 zf(，y) 有一阶连续的偏导数（B）若 zf(，y) 可微，则 zf(，y)的偏导数连续（C）若 zf(，y) 偏导数连续，则 zf(，y)一定可微（D）若 z f(，y)的偏导数不连续，则 zf(，y) 一定不可微3 设 f(，y) 在有界闭区域 D 上二阶连续
2、可偏导，且在区域 D 内恒有条件0，则( )（A）f(，y)的最大值点和最小值点都在 D 内（B） f(，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上（C） f(，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上（D）f(，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上二、填空题4 设 zf(y)g( y， 2y 2)，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 _5 设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(t ，ty)t 3f(，y)，且 f1(1，2)1，f 2(1，2)4，则 f(1，2)_6 设 zf(，y)二阶可偏导， 2，且 f(，0) 1，f y(，0)，则 f(，y)_
3、7 设 uu(，y)二阶连续可偏导，且 ，若 u(，3)，u (，3)，则 u y(，3)_8 设(ay2y 2)d(b 2y 43)dy 为某个二元函数的全微分，则a_， b_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 uf(，y，yz)，函数 zz(，y)由 eyz yzh(yzt)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 10 设 uu(，y，z)连续可偏导，令 (1)若0，证明：u 仅为 与 的函数 (2) 若，证明：u 仅为 r 的函数11 求二元函数 zf(，y) 2y(4 y)在由 轴、y 轴及 y6 所围成的闭区域D 上的最小值和最大值12 设 f(，y)
4、 讨论 f(，y)在(0，0)处的连续性、可偏导性与可微性13 设 f(，y) (1)f(，y)在点(0，0)处是否连续 ? (2)f(，y)在点(0，0)处是否可微?14 设 z ，求 15 设 u ，其中 f(s，t)二阶连续可偏导，求 du 及16 设函数 f(，y，z)一阶连续可偏导且满足 f(t，ty ，tz)t kf(，y，z) 证明：kf(，y，z)17 设 z etdt，求18 设 uu(，y)由方程组 uf( ，y，z，t)，g(y ，z ，t)0，h(z，t) 0 确定，其中 f，g ，h 连续可偏导且 0，求19 设函数 z f(u)，方程 u(u) yP(t)dt 确定
5、 u 为 ，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1，求20 设 zz(，y)满足 z 2，令 证明： 021 求 zz 212y2y 2 在区域 42y 225 上的最值22 设二元函数 f(，y)y(，y)，其中 (，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数 f(，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)023 已知二元函数 f(，y)满足 4，作变换 且f(，y) g(u ，v)，若 u 2v 2，求 a，b24 设 f(，y)二阶连续可偏导，g(，y)f(e y， 2y 2)，且 f(，y)1 yo()， 证明：g( ，y)在(0，0)
6、处取极值，并判断是极大值还是极小值，求极值25 试求 zf(，y) 2y 33y 在矩形闭域 D( ，y)02，1y2上的最大值、最小值26 求函数 f(，y)44y 2y 2 在区域 D： 2y 218 上最大值和最小值27 求函数 z 22y 2 2y2 在 D(，y) 2y 24，y0上的最小值与最大值28 求 u 2 y2z 2 在约束条件 ，下的最小值和最大值考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 因为若函数 f(，y)一阶连续
7、可偏导，则 f(，y)一定可微，反之则不对，所以若函数 f(，y)偏导数不连续不一定不可微，选 C【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(，y) 的最大点在 D 内，不妨设其为 M0，则有0，因为 M0 为最大值点，所以 ACB 2 非负，而在 D 内有，即 ACB 20，所以最大值点不可能在 D 内，同理最小值点也不可能在 D 内，正确答案为 B【知识模块】 多元函数微分学二、填空题4 【正确答案】 ff y-1g1y y-1lng1y 2y-1lng 112y 2y-1g122 y+1lng 214yg 22【试题解析】 由 zf( y)g( y， 2y 2)
8、，得 f(y)f(y)y y-1g1(y， 2y 2)2g 2(y， 2y 2) ff y-1g1y y-1lng1y 2y-1lng 112y 2y-1g 122 y+1lng 214yg 22【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 3【试题解析】 f(t，ty) t3f(，y)两边对 t 求导数得 f1(t，ty)yf 2(t，ty)3t 2f(，y)， 取 t1， 1，y2 得 f1(1，2) 2f2(1，2)3f(1，2)，故 f(1，2)3【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 y 2y 1【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 【试题解析】 u(，3) 两边对 求
9、导，得 u(，3)3u y(，3)1， 再对 求导，得 u (，3)6u y(，3)9u yy(， 3)0 由 ，得10u (，3)6u y(，3)0， u (，3) 3 两边对 求导，得 u (，3)3u y(， 3)3 2， 解得 u y(，3) 【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 4；2【试题解析】 令 P(，y)ay2y 2，Q(，y) b 2y43， 因为(ay2y 2)d(b 2y43)dy 为某个二元函数的全微分， 所以a4y，于是 a4，b 2【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学1
10、0 【正确答案】 (1)因为0 所以u 是不含 r 的函数，即 u 仅为 与 的函数从而t(r 2cos2cossin)t(r 2sin2cossin)t(r 2sincos)0， 故 u 仅是 r 的函数，即 u 不含 与 【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 (1)求 f(，y)在区域 D 的边界上的最值， 在 L1：y0(06)上，z0； 在 L2： 0(0y6)上，z0； 在 L3：y6(06)上，2 2(6)2 312 2， 由 6 2240 得 4，因为 f(0，6)0，f(6 ，0)0，f(4，2)64，所以 f(，y)在 L3 上最小值为64，最大值为 0 (2) 在
11、区域 D 内，由得驻点为(2，1)， A 8， 因为ACB 20 且 A0，所以(2，1)为 f(，y)的极大值点，极大值为 f(2，1)4， 故zf( ， y)在 D 上的最小值为 mf(4，2)64，最大值为 Mf(2，1)4【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 0f(， y)y， 因为 y0，由迫敛定理得f(，y) 0f(0，0)，即 f(，y)在(0，0)处连续 由0 得 f(0，0)0，同理 fy(0，0)0， 即 f(，y)在(0，O)处可偏导由迫敛定理得 0， 即 f(，y)在(0，0)处可微【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 (1)因为 0f(，y) ，所
12、以 f(，y)0f(0，0)，故 f(，y) 征点 (0，0)处连续所以 f(，y)在点(0 ，0)处不可微【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 令 ut，vty，wtz，f(t ，ty，tz)t kf(，y，z)，两边对 t 求导得 当 t1 时，有【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中，y 为自变量，由 uf(，y，z，t)，g(y，z ，t)0，h(z，t) 0，得三个方
13、程两边对 y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 z f(u) 两边对 及 y 求偏导，得方程 u(u) yP(t)dt 两边对 及 y 求偏导，得【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 当 42 y225 时，由 得驻点为( ，y)(0， 0) 当 42y 225 时，令 F 212y2y 2(4 2y 225)， 由因为 z(0，0)0， ， 所以目标函数的最大和最小值分别为 106 和50【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 (必要性)设 f(，y)在点(0，0)处可微，则 f(0，0)，f y(0，0
14、)存在 所以(0，0)0 (充分性)若 (0，0)0，则 f(0，0)0，f y(0，0)0即f(，y) 在点(0，0)处可微【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 由 f(，y)1yo( )得 f( ，y)(1)yo( )， 由可微的定义得 f(1，0)0，f (1，0)f y(1，0)1 ye yf12f 2， e yf12yf 2， g (0，0)0，g y(0，0)0 y 2eyf1ye y(yeyf 112f 12)2f 12(ye yf 212f 22)， (e yye y)f1ye y(eyf 112yf 12) 2(eyf
15、 212yf 22)， 2eyf1e y(eyf 112yf 12)2f 22f(e yf 212yf 22)， 则 AAg(0，0)2，Bg y(0，0)1，Cg yy(0，0)2， 因为 ACB 230且 A0，所以 g(，y)在 (0，0)处取到极大值，极大值为 g(0，0)0【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 当(，y)在区域 D 内时，在L1y1(02) 上，z 331， 因为 z3 230，所以最小值为 z(0)1，最大值为 z(2)13； 存 L2：y2(02)上，z 368， 由z3 260 得 ，z(0) 8，z( )84 ，z(2)4； 在L3：0(1y2)上，
16、z y 3， 由 z3y 30 得 y0，z( 1)1，z(0)0，z(2)8； 在 L4： 2(1y2)上， y 36y8， 由 z3y 260 得y ，z(1)13，z( )84 ，z(2) 4， 故 z 3y 33y 在 D 上的最小值为 m1，最大值为 M13【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 当 2y 218 时， 由 得2，y 2，f(2 ，2)8； 当 2y 218 时，令F44y 2y 2( 2y 218)，而 f(3，3)6，f(3， 3)42， 故 f(，y)在区域 D 上的最小值为 m6，最大值为M42【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 当(，y)位于区域 D 内时，z( ，1)2，z( ，1)2； 在 L1：y0(22)上，z 2，由 z20 得 0， z(2)4，z(0)0； 在 L2 (0t)上， z4cos 2t8sin 2t16sin 2tcos2t 44sin 2t16sin 2t(1sin 2t) 412sin 2t16sin 4t 16 ， 当sin2t 1 时，z 的最大值为 8；当 sin2t 时，z 的最小值为 ， 故 z 的最小值为0，最大值为 8【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 令 F 2y 2z 2( 2y 2z)(yz4)，故 u 的最小值为4，最大值为 72【知识模块】 多元函数微分学
