1、考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷 9 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 作函数 y= 的图形2 设 f(x)，g(x) 在(a，b) 内可导，g(x)0 且 (a，b)证明：存在常数 c，使得 f(x)=cg(x)，x(a，b)3 证明：arctanx= (x(-，+) 4 设 P(x)在0，+)连续且为负值， y=y(x)在0 ，+)连续，在(0，+) 满足 y+P(x)y0 且 y(0)0，求证：y(x)在0 ，+)单调增加5 设 g(x)在a，b 连续，f(x)在a ，b二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对 (axb)满足f(x)+g(x)-f
2、(x)-f(x)=0求证： f(x)0(xa，b)6 设 f(x)在a，b连续，在(a，b) 可导，f(a)=f(b)，且 f(x)不恒为常数，求证：在(a， b)内存在一点 ，使得 f()07 证明方程 x=asinx+b(a0，b0 为常数)至少有一个正根不超过 a+b8 求证：e x+e-x+2eosx=5 恰有两个根9 设当 x0 时，方程 kx+ =1 有且仅有一个解，求 k 的取值范围10 讨论曲线 y=2lnx 与 y=2x+ln2x+k 在(0，+) 内的交点个数 (其中 k 为常数)11 证明：x- x2ln(1+x)x( 0)12 设 f(x)在1，+)可导， xf(x)-
3、kf(x)(x1)，在(1，+)的 子区间上不恒等，又 f(1)M，其中 k，M 为常数，求证：f(x) (x1)13 设 ae，0xy ，求证 ay-ax(cosx-cosy)a xlna14 设 0x 1x 2，f(x)在x 1，x 2可导，证明：在(x 1，x 2)内至少 一个 c，使得15 设 f(x)在0，1可导且 f(1)= e1-x2f(x)dx，求证： (0，1)，使得 f()=2f()16 已知以 2 为周期的周期函数 f(x)在(-，+) 上有二阶导数，且 f(0)=0设 F(x)=(sinx-1)2f(x)，证明 使得 F(x0)=017 设 ba0，f(x)在a，b上连
4、续，在(a ，b)内可导，f(a)f(b) ，求证：存在， (a，b)使得18 设 f(x)在 x=0 的某邻域内有连续的一阶导数，且 f(0)=0，f(0) 存在求证：19 设有参数方程 0t()求证该参数方程确定 y=y(x)，并求定义域；( )讨论 y=y(x)的可导性与单调性；()讨论 y=y(x)的凹凸性20 设 f(x)=nx(1-x)n(n 为自然数 )，()求 f(x)；()求证：21 ()设 f(x)在x 0，x 0+)(x0-，x 0)连续，在(x 0，x 0+)(x0-，x 0)可导，又，求证：f +(x0)=A(f-(x0)=A)()设 f(x)在(x0-，x 0+)连
5、续，在 (x0-，x 0+)x 0可导，又 f(x)=A，求证：f(x 0)=A()设 f(x)在(a ，b)可导，x 0(a，b)是 f(x)的间断点，求证：x=x 0 是 f(x)的第二类间断点22 设 f(x)在(a，+)内可导，求证： ()若 x0(a，+)，f(x)a0(xx 0)，则=+：()若 =+23 证明奇次方程 a0x2n+1+a1x2n+a2x+a2n+1=0 一定有实根，其中常数 a0024 设 f(x)在(-，+) 可导，且 =A，求证： (-，+)，使得 f(c)=025 设 ()求 f(x)；()证明：x=0 是 f(x)的极大值点；() 令 xn= ，考察 f(
6、xn)是正的还是负的，n 为非零整数；()证明：对 ，f(x)在(-，0上不单调上升，在0，上不单调下降26 求函数 f(x)= (x(-，+)的最小值27 将长为 a 的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使两段面积之和最小，问两段铁丝各长多少?28 求从点 A(10，0) 到抛物线 y2=4x 的最短距离29 求圆 x2+y2=1 的一条切线，使此切线与抛物线 y=x2-2 所围面积取最小值，并求此最小值30 要建一个圆柱形无盖水池，使其容积为 V0m3底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径 r 与高 h 各是多少，才能使水池造价最低?考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟
7、试卷 9 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 定义域：x0()由由得()渐近线：只有间断点 x=0由 可知，有垂直渐近线 x=0；由可知，有水平渐近线 y=0【知识模块】 微分中值定理及其应用2 【正确答案】 因为所以存在常数 c，使得 ，即 f(x)=cg(x)( (a，b)【知识模块】 微分中值定理及其应用3 【正确答案】 令 f(x)=arctanx-arcsin ，则【知识模块】 微分中值定理及其应用4 【正确答案】 由 y+P(x)y(x0) e0xP(t)dty(x)0(x0)，又 e0xP(t)dty(x)在0，+) 连续， e0xP(t
8、)dty(x)在0，+ 单调 e0xP(t)dty(x)e 0xP(t)dty(x)x 0=y(0)0y(x)0(x0) y(x)-P(x)y(x) 0(x 0) y(x)在0，+)单调增加【知识模块】 微分中值定理及其应用5 【正确答案】 若 f(x)在a ，b上不恒为零，则 f(x)在a，b取正的最大值或负的最小值不妨设 f(x0)= f(x)0，则 x0(a，v)且 f(x0)=0，f(x 0)0 f(x0)+g(x0)f(x0)-f(x0)0 与已知条件矛盾同理，若 f(x1)= f(x)0，同样得矛盾因此f(x)0 a，b)【知识模块】 微分中值定理及其应用6 【正确答案】 若不然
9、(a，b)，f(x)0 f(x)在a，b单调不增 a，b，f(a)f(x)f(b) f(x)f(a)=f(b)在a ，b为常数，矛盾了【知识模块】 微分中值定理及其应用7 【正确答案】 考察 f(x)=x-asinx-b，即证它在(0，a+b有零点显然，f(x)在0，a+b连续，且 f(0)=-b0，f(a+b)=a1-sin(a+b)0 若 f(a+b)=0，则该方程有正根 x=a+b若 f(a+b)0，则由连续函数零点存在性定理 (0，a+b) ，使得 f(c)=0【知识模块】 微分中值定理及其应用8 【正确答案】 即证 f(x)=ex+e-x+2cosx-5 在(-，+)恰有两个零点由于
10、 f(x)=ex-e-x-2sinx，f(x)=e x+e-x-2cosx2-2cosx0 (x0)， f(x)在(-，+)又因 f(0)=0f(x)在(-，0单调下降，在0，+)单调上升又 f(0)=-10， =+，因此 f(x)在(-，0)与(0，+)各 唯一零点，即在(-，+)恰有两个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用9 【正确答案】 设 f(x)=kx+ -1(x0)，则 ()当 k0 时，f(x)0，f(x)单调减少，又故 f(x)此时只有一个零点() 当 k0 时，由 f(x)=0 得 ，由于 f(x)0，x= 是极小值点，且极小值为 当极小值为零时，即当时，有 k= ，此时方
11、程有且仅有一个根；当 k 时，方程无根或有两个根因此，k 的取值范围为 k0 及 k= .【知识模块】 微分中值定理及其应用10 【正确答案】 令 f(x)=2x+ln2x+k-2lnx(x(0，+)，于是本题两曲线交点个数即为函数 f(x)的零点个数由 令 g(x)=x+lnx-1 令 f(x)=0 可解得唯一驻点 x0=1(0，+) 当 0x1 时 f(x) 0，f(x) 在(0，1单调减少；而当x1 时 f(x)0，f(x)在1，+)单调增加于是 f(1)=2+k 为 f(x)在(0，+)内唯一的极小值点，且为(0，+)上的最小值点因此 f(x)的零点个数与最小值 f(1)=2+k 的符
12、号有关当 f(1)0 即 k-2 时 f(x)在(0，+) 内恒为正值函数，无零点当 f(1)=0 即 k=-2 时 f(x)在(0，+)内只有一个零点 x0=1当 f(1)0 即 k-2 时需进一步考察 f(x)在 x0 +与 x+ 的极限：由连续函数的零点定理可得，x1(0，1)与 x2(1，+) 使得 f(x1)=f(x2)=0，且由 f(x)在(0，1)与(1 ，+) 内单调可知 f(x)在(0，1)内与(1 ，+)内最多各有一个零点，所以当 k-2 时，f(x)在(0 ，+)内恰有两个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用11 【正确答案】 () 令 F(x)=x-ln(1+x) (
13、x0)又F(0)=0，F(x)在0，+)连续 F(x)在0，+) F(x)F(0)=0( 0)()令G(x)=ln(1+x)- x2，则故 G(x)在0，+)，即有 G(x)G(0)=0【知识模块】 微分中值定理及其应用12 【正确答案】 已知 xf(x)+(k+1)f(x)0(x1)，在 (1，+) 子区间上不恒为零，要证 f(x)xk+1M(x1)令 F(x)=f(x)xk+1 F(x)=xk+1f(x)+(k+1)xkf(x)=xkxf(x)+(k+1)f(x)0(x1) ，在(1，+) 子区间上不恒为零，又 F(x)在1，+)连续 F(x)在1， +)单调下降 F(x)F(1)=f(1
14、)M (x1) 【知识模块】 微分中值定理及其应用13 【正确答案】 把不等式改写成 注意到(a x)=axlna，(cosx)=-sinx，而sinx1对 f(t)=at，g(t)=cost，在区间x，y上应用柯西中值定理，即知存在满足 0xy 的 ，使得由于axa ， 0sin1，故由上式可得 ay-ax(cosx-cosy)a xlna【知识模块】 微分中值定理及其应用14 【正确答案】 记 ex1f(x2)-ex2f(x1)，要证f(x)-f(x)+k 在(x 1，x 2) 零点 e-xf(x)-f(x)+k=e-x(f(x)-k)在(x 1，x 2) 零点令 F(x)=e-xf(x)
15、-k，则 F(x)在x 1，x 2可导考察 F(x1)-F(x2)=e-x1f(x1)-k-e-x2f(x2)-k=e-x1-x2(ex2f(x1)-ex1f(x2)+k(ex1-ex2) 因此，由罗尔定理 (x1，x 2)，F(c)=0.【知识模块】 微分中值定理及其应用15 【正确答案】 即证 f(x)-2xf(x)在(0，1)存在零点 e-x2f(x)-2xf(x)在(0， 1)存在零点 e-x2f(x)在(0，1)存在零点作辅助函数 F(x)=e-x2f(x)时，按题设还要找一个 (0，1)，使得 F(1)=F()，即 e-1f(1)=e-2f()由题设及积分中值定理， 使得 f(1)
16、= e1-x2f(x)dx= e-2+1f()=e-2+1f()于是 F(1)=F()令 F(x)=e-x2f(x)，则 F(x)g=0，1可导，且 F(1)=e-1f(1)=2e-1 e1-x2f(x)dx因此，由罗尔定理，(0，) (0，1)，使得 F()=e -2，f()-2f()e -2=0，即 f()=2f()【知识模块】 微分中值定理及其应用16 【正确答案】 首先，因 f(x)是周期为 2 的周期函数，则 F(x)也必为周期函数，且周期为 2，于是只需证明 ，使得 F(x0*)=0 即可显然 F(0)= =0，于是由罗尔定理知， ，使得 F(x1)=0又 F(x)=2(sinx-
17、1)f(x)+(sinx-1)2f(x)， 对 F(x)应用罗尔定理，由于 F(x)二阶可导，则存在 x0* ，使得 F(x0*)=0注意到F(x)以 2 为周期，F(x) 与 F(x)均为以 2 为周期的周期函数，于是 x0=2+x0*，即x0 ，使得 F(x0)=F(x0*)=0【知识模块】 微分中值定理及其应用17 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在(a， b)，使令 g(x)=x2，由柯西中值定理知， (a，b) ，使将式代入式，即得 f()=(a+b) .【知识模块】 微分中值定理及其应用18 【正确答案】 因为 ln(1+x)x(x(-1，
18、+)，故由拉格朗日中值定理可知，存在(x)(ln(1+x)，x)，使得 由此可得由于当 x0 时，有 ；当-1x0 时，有 故由夹逼定理知，于是【知识模块】 微分中值定理及其应用19 【正确答案】 () =3cos2t(-sint)0，(t0 ，)，仅当 t=0， ， 时为零 x 是t 的单调 (减) 函数， 反函数 t=t(x) y=sin3t(x)=y(x)，x -1，1()记当 t0， 反函数 t=t(x)可导y=y(x)可导 注意y=y(x)在-1，1连续，t 与 x 的对应关系：于是0x1 时 y(x)单调下降，-1x0 时 y(x)单调上升()由 y=y(x)在-1 ，0，0，1均
19、是凹的 y=y(x)的图形如图 42【知识模块】 微分中值定理及其应用20 【正确答案】 () 先求 f(x)=n(1-x)n-11-(n+1)x ，得唯一驻点 x=xn= .又()注意 单调下降极限为【知识模块】 微分中值定理及其应用21 【正确答案】 ()f+(x0) 另一类似()由题() f+(x0)=f-(x0)=A f(x0)=A或类似题()，直接证明()即证 f(x)中至少有一个不 若它们均存在， f(x)=A，由题() f(x0)=A.因 f(x)在 x0 可导A+=A-=f(x0) f(x)在 x=x0 连续，与已知矛盾因此，x=x 0 是 f(x)的第二类间断点【知识模块】
20、微分中值定理及其应用22 【正确答案】 () x 0，由拉格朗日中值定理， (x0，x)，f(x)=f(x 0)+f()x-x0)f(x 0)+(x-x0)，又因 f(x0)+(x-x0)= =+.()因，由极限的不等式性质 x0(a，+)，当 xx 0 时 f(x) 0，由题() 得 =+.【知识模块】 微分中值定理及其应用23 【正确答案】 记方程左端为函数 f(x)，设 a00，只需证明：=-即得结论不妨设 a00令 f(x)=a0x2n+1+a1x2n+a2nx+a2n+1x，则 又 f(x)在(-，+)连续，因此在(-，+) 内 f(x)至少存在一个零点【知识模块】 微分中值定理及其
21、应用24 【正确答案】 由极限不等式性质转化为有限区间的情形(如图 43)若 f(x)A，显然成立若 f(x)A，必存在 x0，f(x 0)A，不妨设 f(x0)A由极限不等式性质， x 0，f(b)f(x 0)； x 0，f(a)f(x 0)f(x) 在a，b有最小值，它不能在 x=a 或 x=b 处达到，必在(a，b)内某点 c处达到，于是 f(c)=0【知识模块】 微分中值定理及其应用25 【正确答案】 () 当 x0 时按求导法则得当 x=0 时按导数定义得()由于 f(x)-f(0)=-x20(x0)，即 f(x)f(0)，于是由极值的定义可知 x=0 是 f(x)的极大值点( )令
22、 xn= (n=1，2，3，)，则 sin =(-1)n，于是 f(xn)=()对 0，当 n 为 负奇数且n充分大时xn(-，0) ，f(x n)0 f(x)在(-，0)不单调上升；当 n 为正偶数且 n 充分大时xn(0，)，f(x n)0 f(x)在(0，)不单调下降【知识模块】 微分中值定理及其应用26 【正确答案】 先求导数并得驻点 由 f(x)=0 即 再求由于 f(x)在(-，+)内可导，且有唯一的极小值点 x= ，因而必是最小值点，f(x)的最小值为.【知识模块】 微分中值定理及其应用27 【正确答案】 设围成圆的铁丝长为 x，则围成正方形的铁丝长为 a-x，于是圆的半径 r=
23、 ，正方形边长 (a-x)，问题是求面积 S(x)= ，x (0，a)的最小值点由时面积和最小【知识模块】 微分中值定理及其应用28 【正确答案】 抛物线上点 到 A(10，0)的距离的平方 (如图 44)为 d(y)=+y2 问题是求 d(y)在0，+)上的最小值(d(y)在(-，+)为偶函数)由于 在(0，+) 解d(y)=0 得 于是 =36，d(0)=100.又 在0，+) 的最小值为 36，即最短距离为 6【知识模块】 微分中值定理及其应用29 【正确答案】 如图 45，圆周的参数方程为 x=cos，y=sin 圆周上 点(cos， sin)处切线的斜率是 ，于是切线方程是它与 y=
24、x2-2 交点的横坐标较小者为 ，较大者为 ，则 ， 是方程 x2+xcot-2- =0 的根，并且切线与抛物线所围面积为 -xcot+ -(x2-2)dx=-(x2+xcot-2- )d=-(x-)(x-)dx= (x-)d(x-)2= (x-)2dx= (-)3为求 (-)3 最小值，只要求(-) 2 最小值，由一元二次方程根与系数关系得(-)2=(+)2-4 所以，当 +2=0 时取最小值 3由 因此，所围面积最小值为所求切线有两条：【知识模块】 微分中值定理及其应用30 【正确答案】 先求出水池总造价的表达式设水池周围单位面积造价为 a 元m 2，水池造价为 y，则 y=2rha+2ar2又知 V0=r2h，代入上式得 y=2a，0r+现求 y(r)在(0，+)上的最小值点求 y(r)：因此，当时，y 取最小值，即水池造价最低【知识模块】 微分中值定理及其应用
