1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆（B） r(A) n，r(B) n 的充分必要条件是 r(AB) n（C） AX0 与 BX0 同解的充分必要条件是 r(A)r(B)（D）AB 的充分必要条件是 EAE B2 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A*的一个特征值为 ( )（A）（B）（C） A（D）A n-13 设三阶矩阵 A 的特征值为 11， 20， 31，则下列结论不正确的是(
2、)（A）矩阵 A 不可逆（B）矩阵 A 的迹为零（C）特征值1，1 对应的特征向量正交（D）方程组 AX0 的基础解系含有一个线性无关的解向量4 设 A 为三阶矩阵，方程组 AX0 的基础解系为 1， 2，又 2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（A） 1 3（B） 33 1（C） 12 23 3（D）2 13 2二、填空题5 设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 ，1，则 4A*3E_6 设 A 为 n 阶可逆矩阵，若 A 有特征值 0，则(A *)23A *2E 有特征值_7 设 A 为三阶矩阵，A 的各行元素之和为 4，则 A 有特征值_
3、，对应的特征向量为_8 设 A 为三阶实对称矩阵，且 为 A 的不同特征值对应的特征向量，则 a_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求矩阵 A 的特征值与特征向量10 设 为 A 的特征向量 (1)求 a，b 及 A 的所有特征值与特征向量 (2)A 可否对角化 ?若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵11 设 A ，求 A 的特征值，并证明 A 不可以对角化12 设 A ，BA *，求 B2E 的特征值13 设 ATAE，证明：A 的实特征值的绝对值为 114 设 0 为 A 的特征值 (1)证明：A T 与 A 特征值相等； (2)求 A2，A 22
4、A3E的特征值； (3)若A0，求 A-1，A *，EA -1 的特征值15 设 X1，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1， 2 的特征向量证明：X 1X 2 不是A 的特征向量16 ， T aibi0，求 A 的全部特征值，并证明 A 可以对角化17 设向量 (a 1，a 2，a n)T，其中 a10，A T (1) 求方程组 AX0 的通解；(2)求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量18 设 ，A T，求6EA n19 设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 11， 22， 33，其对应的线性无关的特征向量分别为 ，向量 ，求 An20 设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特
5、征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量若 A2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量? 说明理由21 设 A，B 为 n 阶矩阵(1)是否有 ABBA； (2)若 A 有特征值 1，2， ，n，证明：ABBA 22 设 为 n 维非零列向量，AE T (1)证明：A 可逆并求 A-1； (2)证明： 为矩阵 A 的特征向量23 设矩阵 A 有一个特征值为 3 (1)求 y； (2)求可逆矩阵 P，使得(AP)T(AP)为对角矩阵24 设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)1，A 23AO，设(1，1，1) T 为 A 的非零特征值
6、对应的特征向量 (1)求 A 的特征值； (2) 求矩阵 A25 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 18， 2 32，矩阵 A 的属于特征值18 的特征向量为 1 属于特征值 2 3 2 的特征向量为 2 ，求属于 2 32 的另一个特征向量26 设 n 阶矩阵 A 满足(aEA)(bEA)O 且 ab证明：A 可对角化27 设非零 n 维列向量 ， 正交且 A T证明：A 不可以相似对角化28 设 A (1)证明：A 可对角化； (2)求 Am考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题
7、解析】 若 AB，则存在可逆矩阵 P，使得 P-1APB， 于是 P-1(EA)PEP -1APE B ，即 EAEB； 反之，若 EA EB，即存在可逆矩阵 P，使得 P-1(EA)PEB ， 整理得 EP -1APE B ，即 P-1APB，即 AB，应选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 可逆，所以 0，令 AXX，则 A*AXA *X，从而有A*X ，选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 C【试题解析】 由 11 ， 20， 31 得A0，则 r(A)3，即 A 不可逆，A 正确；又 1 2 3tr(A)0，所以 B
8、 正确；因为 A 的三个特征值都为单值，所以 A 的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即 r(A)2，从而 AX0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，D 是正确的； C 不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选 C【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AX0 有非零解，所以 r(A) n，故 0 为矩阵 A 的特征值，1， 2 为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0 为二重特征值，若1 3 为属于特征值 0 的特征向量，则有 A(1 3)( 1 3)，注意到 A( 1 3)0 12 32
9、3，故2 3 0(1 3)或 01( 02) 30， 因为 1， 3 线性无关，所以有 00， 0 20，矛盾，故 1 3 不是特征向量，同理可证 33 1 及 12 23 3 也不是特征向量，显然 213 2 为特征值 0 对应的特征向量，选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题5 【正确答案】 10【试题解析】 A ，A *的特征值为 ，4A *3E 的特征值为5，1，2，于是4A *3E10【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 【试题解析】 因为 A 可逆，所以 00，A *对应的特征值为 ，于是(A *)23A *2E 对应的特征值为 【知识模块】 矩阵的特
10、征值和特征向量7 【正确答案】 4； 【试题解析】 因为 A 的各行元素之和为 4，所以 ，于是 A 有特征值4，对应的特征向量为 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 3【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有63a36a0，a3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 由E A( 1) 2(4)0 得 1 21， 34 当 1 时，由(EA)X0 得属于特征值 1 的线性无关的特征向量为 1 ， 2，全部特征向量为 k11k 22(k1，k 2 不同时为 0)； 当 4 时，(4EA)X0
11、 得属于特征值 4 的线性无关的特征向量为 3 ，全部特征向量为k3(k0)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 (1)由 A 得 解得a1，b1， 3 由E A (2)(3)0得 10， 22， 33 (2)因为 A 的特征值都是单值，所以 A 可相似对角化 将 10 代入(EA)X0 得 10 对应的线性无关特征向量为 1 将22 代入(EA)X0 得 22 对应的线性无关特征向量为 2 将 33代入(EA)X0 得 33 对应的线性无关特征向量为 3 令 P，则 P-1AP【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 由E A (2) 30 得 2(三重)，
12、因为 r(2EA)1，所以 2 只有两个线性无关的特征向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 A 7， 由EA (7)(1) 20 得17， 2 31，A *对应的特征值为 ， 即 11， 2 37 因为 BA *，所以 B 的特征值也为 11， 2 37，从而 B2E 的特征值为3，9，9【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 设 AXX，则 XTATX T，从而有XTATAXX TAX 2XTX，因为 ATAE， 所以( 21)X TX0，而XTXX 20，所以 21，于是1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 (
13、1)因为EA T(2EA) TEA ，所以 AT 与 A的特征值相等 (2)因为 A 0(0)， 所以 A2 0A 02，(A 22A 3E)( 022 03) ， 于是 A2，A 22A3E 的特征值分别为 02， 022 03 (3)因为A 12 n0，所以 00，由 A 0 得 A-1 ， 由A*AA 得 A* ，又(EA -1)(1 )， 于是 A-1，A *，EA -1 的特征值分别为【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 不妨设 X1X 2 是 A 的属于特征值 的特征向量，则有 A(X1X 2)(X 1X 2)， 因为 AX1 1X1，AX 2 2X2，所以( 1
14、)X 1( 2)X 20， 而X1，X 2 线性无关，于是 1 2，矛盾，故 X1X 2 不是 A 的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 令 T k，则 A2kA ， 设 AXX，则 A2X 2XkX，即(k)X0， 因为 X0，所以矩阵 A 的特征值为 或 k 由1 ntr(A)且 tr(A)k 得 1 n-10， nk 因为 r(A)1，所以方程组(0EA)X0 的基础解系含有 n1 个线性无关的解向量， 即 0 有 n1 个线性无关的特征向量，故 A 可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 因为 r(A)1，所以 AX0 的基础解系含
15、有 n1 个线性无关的特征向量，其基础解系为 1( ，1，0，0) T， 2( ，0，1，0)T， ， n-1( ，0，0，1) T， 则方程组 AX0 的通解为k12 k22 k n-1n-1(k1，k 2，k n-1 为任意常数) (2)因为 A2kA，其中k(，) 0，所以 A 的非零特征值为 k， 因为 A Tk，所以非零特征值 k 对应的线性无关的特征向量为 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 A T，由EA 2(2)0 得 1 20， 32， 因为6EA n 的特征值为 6，6，62 n，所以6EA n6 2(62 n)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19
16、【正确答案】 令 11 22 33，解得 1 2， 22， 31，则 An2A n12A n2A n3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 由 AXX 得 A2XA(AX)A(X)AX 2X 可知 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量若 A2XX，其中 A ，A 2O ，A 2 的特征值为0，取 X ，显然 A2X0X，但 AX 0X，即 X 不是 A的特征向量，因此结论未必成立【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 (1)一般情况下，AB 与 BA 不相似，如因为 r(AB)r(BA)，所以 AB 与 BA 不相似 (2)因为An!0，所以 A 为可逆矩阵
17、，取 PA，则有P-1ABPBA， 故 ABBA【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 (1)因为 A2所以 A 可逆且 A-1A (2)因为 A (E ) 2 ，所以 是矩阵 A的特征向量，其对应的特征值为1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 (1)因为 3 为 A 的特征值，所以 3EA0，解得 y2 (2)(AP)T(AP)P TATAPP TA2P， A 2 ，令A1 ，EA 1 0 得 11， 29， 当 1 时，由(E A 1)X0 得1 ； 9 时，(9EA 1)X0 得 2 ，【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 (1)A
18、2 3AO A3E A 0 0，3，因为 r(A)1，所以 13， 2 30 (2)设特征值 0 对应的特征向量为 (1， 2， 3)T，则1 2 30，则 0 对应的特征向量为 2(1，1，0) T， 3(1，0，1) T，令【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有 1T2 1 k0 1 18 对应的特征向量为 1 令 2 32 对应的另一个特征向量为 3 ， 由不同特征值对应的特征向量正交，得 1 2 30【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 由(aE A)(bEA)O，得aEA .bEA0，则aEA0
19、或者bEA 0又由(aE A)(bEA)O，得 r(aEA)r(bE A)n同时 r(aE A)r(bE A)r(aE A)(bEA)r(ab)E n所以 r(aE A)r(bE A)n(1)若aE A0，则 r(aEA)n，所以 r(bEA)0，故 AbE (2)若bEA0，则 r(bEA)n，所以 r(aEA) 0，故 AaE(3)若aE A0 且bEA0，则 a，b 都是矩阵 A 的特征值方程组(aEA)X 0 的基础解系含有 nr(aE A) 个线性无关的解向量，即特征值 a 对应的线性无关的特征向量个数为 nr(aEA)个；方程组(bE A)X 0 的基础解系含有 nr(bE A)个
20、线性无关的解向量，即特征值 b 对应的线性无关的特征向量个数为 nr(bEA) 个因为 nr(aEA) nr(bEA)n，所以矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，所以A 一定可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则AXX，显然 A2X 2X， 因为 ， 正交，所以 A2 T.TO ，于是2X0，而 X0，故矩阵 A 的特征值为 1 2 n0 又由 ， 都是非零向量得 AO， 因为 r(OEA) r(A)1，所以 nr(OEA)n 1n，所以 A 不可相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量28 【正确答案】 (1)由EA(1) 2(2)0 得 1 21， 32 当1 时，由(EA)X0 得 1 对应的线性无关的特征向量为当 2 时，由(2E A)X0 得 2 对应的线性无关的特征向量为考 3 ， 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
