1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 (x)=05x 则当 x0 时，(x)是 (x)的（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但非等价无穷小（D）等价无穷小2 设 f(x)是连续函数，F(x) 是 f(x)的原函数，则（A）当 f(x)是奇函数时， F(x)必是偶函数 （B）当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数（C）当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数 （D）当 f(x)是单调增函数时， F(x)必是单调增函数3 设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是（A） 0xf(t2)
2、dt（B） 0xf2(t)dt（C） 0xtf (t)一 f(一 t)dt（D） 0xtf(t)+f(一 t)dt4 设 an= 等于5 设 I1= 则（A）I 1 I 2 1（B） 1 I 1 I 2（C） I2 I 1 1（D）1 I 2 I 16 把 x0 +时的无穷小量 =0xcost2dt，= sint3dt 排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A），（B） ，（C） ， （D）， 二、填空题7 2+ =_8 (x3+ sin2x) cos2xdx=_9 位于曲线 y=xe 一 x(0x+) 下方，x 轴上方的无界图形的面积是 _10 =_11 设曲线的
3、极坐标方程为 =ea(a0)，则该曲线上相应于 从 0 变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形面积为_12 1+ =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 计算 1+14 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m，抓斗自重 400 N，缆绳每米重 50 N，抓斗抓起的污泥重 2 000 N，提升速度为 3 m/s在提升过程中，污泥以 20 N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？(说明：1N1m=1J；m，N，s， J 分别表示米、牛顿、秒、焦耳抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)15
4、设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1 一 S 2 恒为1，求此曲线 y=y(x)的方程16 设 f(x)是区间0，+)上单调减少且非负的连续函数，a n= 一 1nf(x)dx(n=1，2，)，证明数列 an的极限存在17 设 f(lnx)= 计算f(x)dx 18 设 xOy 平面上有正方形 D=(x，y |0x1，0y1及直线 l：x+y=t(t0)若 S(t)表示正
5、方形 D 位于直线 l 左下部分的面积，试求 0xS(t)dt(x0)19 设函数 S(x)=0x|cost|dt(1)当 n 为正整数，且 nx(n+1) 时，证明 2nS(x)2(n+1)(2)求20 设函数 f(x)在0，上连续，且 0f(x)dx=0， 0f(x)cosxdx=0试证明：在(0，)内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)=f(2)=021 设曲线 y=ax2(a0，x0)与 y=1 一 x2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y=ax2 围成一平面图形，问 a 为何值时，该图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？22 函数 f
6、(x)在0，+上可导，f(0)=1，且满足等式 f(x)+f(x)一 0xf(t)dt=0(1)求导数 f(x)；(2)证明：当 x0 时，成立不等式：e 一 xf(x)123 24 设 =(x)是抛物线 y= 上任一点 M(x，y)(x1)处的曲率半径，s=s(x)是该抛物线上介于点 A(1，1) 与 M 之间的弧长，计算 的值(在直角坐标系下曲率公式为 K=25 设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，且其反函数为 g(x)若 0f(x)g(t)dt=x2ex，求f(x)26 设 f(x)在区间一 a，a(a0)上具有二阶连续导数，f(0)=0 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项
7、的一阶麦克劳林公式； (2)证明在一 a，a上至少存在一点 ，使 a3f“()=3一 aaf(x)dx27 设 f(x)= 求函数 F(x)=一 1xf(t)dt 的表达式28 某闸门的形状与大小如图 211 所示，其中直线 l 为对称轴，闸门的上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB 所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的压力之比为 5:4，闸门矩形部分的高 h 应为多少 m(米)?29 设函数 y=y(x)由参数方程 (t1)所确定，求30 计算不定积分31 设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且 f(x)0若极
8、限存在，证明：(1)在(a ，b)内 f(x)0；(2)在(a，b)内存在点 ，使(3)在(a ，b)内存在与(2)中 相异的点 ，使 f()(b2 一 a2)=abf(x)dx考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 故，当 x0 时，(x) 是 (x)的同阶但非等价无穷小2 【正确答案】 A【试题解析】 排除法(B)(C)(D)分别举反例如下：(B)的反例：f(x)=cosx，F(x)=sinx+1 不是奇函数； (C)的反例：f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x 不是周
9、期函数；(D) 的反例：f(x)=x ，F(x)= x2 不是单调函数；所以应选(A) 3 【正确答案】 D【试题解析】 令 F(x)=0xtf(t)+f(一 t)dt 则 F(一 x)=0 一 xtf(t)+f(一 t)dt 0xuf(一 u)+f(u)du=F(x)即 F(x)= 0xtf(t)+f(一 t)dt 是偶函数，所以应选(D)4 【正确答案】 B【试题解析】 所以应选(B)5 【正确答案】 B【试题解析】 由于当 0x 时，xtanx，则由I21 知(A)也不正确，由排除法知，应选(B)6 【正确答案】 B【试题解析】 由于则当 x0 +时，是 的高阶无穷小，又则当 x0 +时
10、，是 的高阶无穷小，故应选(B) 二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 令 原式= 0+8 【正确答案】 【试题解析】 由于 x3cos2x 为奇函数，sin 2xcos2x 为偶函数，则9 【正确答案】 1【试题解析】 所求面积为 0+xe 一 xdx=一 0+xde 一 x=一 xe 一 x|0+0+e 一 xdx=一 e一 x|0+=1.10 【正确答案】 【试题解析】 由定积分定义可知11 【正确答案】 【试题解析】 所求面积为12 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 作 x 轴如图 218，将抓起污
11、泥的抓斗提升到井口需作功=1+2+3 其中 1 是克服抓斗自重作的功； 2 是克服缆绳所作的功； 3 是提升污泥所作的功由题设可知 1=40030=12 000d2=50(30 一 x)dx 从而 2=03050(30一 x)dx=22 500 在时间间隔t ，t+dt内提升污泥所作的功为 d3=3(2 000 一 20t)dt 将污泥从井底提升到井口共需时间 =10，所以 3=3(2 000 一 20t)dt=57 000 则共需作功 =12 000+22 500+57 000=91 500 (J)15 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处切线方程为 Y 一 y= y(x)(
12、X 一 x)它与 x轴的交点为(x 一 ，0) ，由于 y(x)0，y(0)=1 ，从而 y(x)0，于是又 S 2=0xy(t)dt 由条件 2S 1 一 S 2=1 知 一0xy(t)dt=1 (*)两边对 x 求导并化简得 yy“=(y)2 令 y=P，则上述方程化为注意到 y(0)=1，由 (*)式可知 y(0)=1，由此可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线方程为 y 一 ex16 【正确答案】 由题设可知 f(k+1)kk+1f(x) dxf(k) (k=1，2，)则数列a n下有界，又 an+1 一 an=f(n+1)一 nn+1f (x)dx0 则数列a n单调下降，由单调有界
13、准则知数列an有极限17 【正确答案】 18 【正确答案】 由原题设知当 x2 时 0xS(t)dt=02S(t)dt+2xS(t)dt=x 一 119 【正确答案】 1)由于|cosx|0，且 nx(n+1)，所以 0nx|cosx| dxS(x) 0(n+1) |cosx|dx 又因为 |cosx|是以 为周期的周期函数，在每个周期上积分值相等，所以0nx|cosx|dx=n0|cosx|dx=2n0(n+1)|cosx|dx=2(n+1)因此，当 nx(n+1) 时，有2nS(x)2(n+1)2) 由 1)知，当 nx(n+1) 时，有令 x+ ，由夹逼原理知20 【正确答案】 令 F(
14、x)=0xf(t)dt 0x 则 F(0)=0， F()=0，又因为 0=0f(x)cosxdx=0cosxdF(x)=F(x)cosx|0+0F(x) sinxdx=0F(x)sinxdx 所以，存在 (0，)，使 F() sin=0，因若不然，则在(0，) 内或 F(x)sinx 恒为正，或 F(x) sinx 恒为负，均与 0F(x) sinxdx=0 矛盾，但当 (0，) 时，sin0 ，故 F()=0由以上证得 F(0)=F()=F()=0 (0)再对 F(x)在区间0， ，上分别用罗尔中值定理，知至少存在 1(0，)， 2(，) ，使 F(1)=F(2)=0 即 f( 1) =f(
15、2)=0 证 2 由 0f(x)dx=0知，存在 1(0，)，使 f(1)=0，因若不然，则在(0，)内或 f(x)恒为正，或 f(x)恒为负，均与 0f(x)dx=0 矛盾若在(0，)内 f(x)=0 仅有一个实根 x=1，则由 0f(x)dx=0 推知， f(x)在(0， 1)内与( 1，)内异号，不妨设在(0， 1)内 f(x)0，在( 1，)内 f(x)0于是再由 0f(x)cosxdx=0 与 0f(x)dx=0 及 cosx 在 0，上的单调性知：0=f(x) (cosx 一 cos1)dx= f(x) (cosx 一 cos1)dx+ f(x) (cosx 一 cos1)dx0
16、得出矛盾从而推知，在(0，)内除 1 外，f(x)=0 至少还有另一实根 2，故知存在1， 2(0，)， 12，使 f (1)=f(2)=0.21 【正确答案】 当 x0 时，由 故直线 OA 的方程为令 =0，并由 a0 得唯一驻点 a=4 由题意知 a=4 时，旋转体体积最大，最大体积为22 【正确答案】 (1)由题设知(x+1)f(x)+(x+1)f(x)一 0xf(t)dt=0 上式两边对 x 求导，得(x+1)f“(x)=一(x+2)f(x) 设 u=f(x)，则有 解得 f(x)=u= 由f(0)=1，及 f(0)+f(0)=0，知 f(0)=一 1，从而 C=一 1因此 (2)当
17、x0 时，f(x)0，即 f(x)单调减少，又 f(0)=1，所以 f(x)f(0)=1 设 (x)=f(x)一 e 一 x则 (0)=0，(x)0 ，即 (x)单调增加，因而 (x)(0)=0，即有 f(x)e 一 x 综上所述，当 x0 时，成立不等式 e 一 xf (x)1.23 【正确答案】 令 x=tant，则 dx=sec2tdt24 【正确答案】 抛物线在点 M(x，y)处的曲率半径25 【正确答案】 等式两边对 x 求导得 gf(x)f(x)=2xex+x2ex 而 gf(x)=x ，故 xf(x)=2xex+x2ex 当 x0 时，f(x)=2e x+ xex 积分得 f(x
18、)=(x+1) x+Cf(0)= (x+1)ex+C=1+C=0，则 C= 一 1 因此 f(x)=(x+1)e x 一 126 【正确答案】 (1)对任意的 x一 a，af(x)=f(0)+f(0)x+其中 在 0 与 x 之间(2) 一 aa(x)dx=一 aa f(0)xdx+一 aa 一 aax2f“()dx 因为 f“(x)在一 a，a上连续，故对任意的x一 a，a，有 mf“(x)M，其中 M，m 分别为 f“(x)在一 a，a上的最大，最小值，所以因而由 f“(x)的连续性知，至少存在一点 一 a，a，使 f“()= 一 aaf(x)dx 即 a3f“()=一 aaf(x)dx2
19、7 【正确答案】 当一 1x0 时，28 【正确答案】 如图 219 建立坐标系，则抛物线的方程为 y=x2 闸门矩形部分承受的水压力 P1 = 21h+1+g (h+1 一 y)dy 其中 为水的密度，g 为重力加速度，闸门下部承受的水压力解之得 h 一 2，h= (舍去) ，故 h=2即闸门矩形部分的高应为 2m29 【正确答案】 当x=9 时，由 x=1+2t2 及 t 1 得 t=2，故30 【正确答案】 令 x=tant，则31 【正确答案】 (1)由 f(2x 一 a)=0，由 f(x)在a，b上的连续知，f(a)=0又 f(x)0，则 f(x)在(a，b) 内单调增加，故 f(x)f(a)=0， x(a，b)(2) 设 F(x)=x2，g(x)= axf(t)dt (axb)则 g(x)=f(x)0，故 F(x)，g(x)满足柯希中值定理的条件，于是在(a，b) 内存在点 ，使(3)在a，上对 f(x)用拉格朗日中值定理得，存在 (a，)，使 f()一 f(a)=f()(一 a)即 f()=f()( 一 a)代入(2)中的结论得
