1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在(，+)内连续，其中二阶导数 f“(x)的图形如图所示，则曲线y=f(x)的拐点的个数为( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。2 设函数 y=f(x)在(，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则( )（A）函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点。（B）函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 3 个拐点。（C）函数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 1 个拐点。（D）函数 f(x)有 3 个
2、极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点。3 曲线 y= +ln(1+ex)的渐近线的条数为( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。4 曲线 y=(x2+x)(x 21) 的渐近线的条数为 ( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。5 下列曲线中有渐近线的是( )（A）y=x+sinx。（B） y=x2+sinx。（C） y=x+sin（D）y=x 2+sin6 若 f“(x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1) 处的曲率圆为 x2+y2=2，则函数 f(x)在区间(1， 2)内( )（A）有极值点，无零点。（B）无极值点，有零点。（C）有极值点，有零点。（D）无极值点
3、，无零点。7 曲线 上对应于 t=1 的点处的曲率半径是( )8 设函数 y=fi(x)(i=1，2) 具有二阶连续导数，且 fi“(x)0(i=1，2)，若两条曲线y=fi(x)(i=1， 2)在点(x 0，y 0)处具有公切线 y=g(x)，且在该点处曲线 y=f1(x)的曲率大于曲线 y=f2(x)的曲率，则在点 x。的某个邻域内，有 ( )（A）f 1(x)f2(x)g(x)。（B） f2(x)f1(x)g(x)。（C） f1(x)g(x)f2(x)。（D）f 2(x)g(x)f1(x)。9 设 f(x)是连续函数，F(x) 是 f(x)的原函数，则( )（A）当 f(x)是奇函数时，
4、 F(x)必是偶函数。（B）当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数。（C）当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数。（D）当 f(x)是单调增函数时， F(x)必是单调增函数。10 设函数 f(x)连续，则下列函数中必为偶函数的是( )（A） 0xf(t2)dt。（B） 0xf2(t)dt。（C） 0xtf(t)f(t)dt。（D） 0xtf(t)+f(t)dt 。11 设函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则( )12 设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，“M N”表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有( )（A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数。（B） F(
5、x)是奇函数 f(x)是偶函数。（C） F(x)是周期函数 f(x)是周期函数。（D）F(x)是单调函数 f(x)是单调函数。13 如图，连续函数 y=f(x)在区间3，2，2， 3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间2，0，0，2 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设F(x)=0xf(t)dt，则下列结论正确的是( )（A）F(3)=34F(2) 。（B） F(3)=54F(2) 。（C） F(3)=34F(2) 。（D）F(3)=54F( 2)。14 已知函数 f(x) 则 f(x)的一个原函数是( )二、填空题15 曲线 y=xln(e+ )(x0)的渐近线方程为_ 。
6、16 曲线 y=(2x1)e 1x 的斜渐近线方程为_。17 曲线 y= 的斜渐近线方程为_。18 曲线 y= 的水平渐近线方程为_。19 曲线 y= 的渐近线方程为_。20 曲线 y= +arctan(1+x2)的斜渐近线方程为_。21 曲线 y=x(1+arcsin )的斜渐近线方程为_。22 曲线 y=x2+x(x0)上曲率为 的点的坐标是_。23 lnsinxsin 2xdx=_。24 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 已知函数 y(x)由方程 x3+y33x+3y2=0 确定，求 y(x)的极值。26 设 f(lnx)= ，计算f(x)dx 。27 28 设函数
7、 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，且其反函数为 g(x)。若 0f(x)g(t)dt=x2ex，求f(x)。29 30 求arcsine xe xdx考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 26 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 拐点是连续函数凹凸性的分界点，而由于函数是二阶可导的(0 点除外)，所以可知二阶导数大于 0，函数为凹函数，二阶导数小于 0，函数是凸函数，因此只需要从图形上找到在某点两端二阶导数异号。显然这样的点共有两个，所以答案为 C。【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 由图
8、可知曲线有两个点的左、右导数符号不一样，有三个点左、右导函数单调性不一样，故有 2 个极值点，3 个拐点。【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 +ln(1+ex)=，所以 x=0 为垂直渐近线。又+ln(1+ex)=0，所以 y=0 为水平渐近线。根据= ln(1+ex )=0，于是有斜渐近线 y=x。故应选 D。【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 =，所以 x=1 为曲线的垂直渐近线； =1，所以y=1 为曲线的水平渐近线；没有斜渐近线。故该曲线共两条渐近线，因此选 C。【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 四个
9、选项的函数均没有无穷间断点，因此均无垂直渐近线；当 x时，四个选项的函数均趋于无穷，因此均无水平渐近线；但是对于 y=x+sin=0，所以有斜渐近线 y=x，因此选 C。【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 由于曲率圆与曲线在一点邻近有相同的凹向，而曲率圆 x2+y2=2 在点(1， 1)邻近是凸的，所以曲线 f(x)在点(1，1)邻近也是凸的。又由于 f“(x)不变号，所以 f(x)是凸函数，即 f“(x)0，且在点(1，1)处的曲率曲率圆 x2+y2=2 两边对 x 求导，可得 2x+2yy=0，即y(1)=1。由于曲率圆与曲线在一点处有相同的切线和曲率，所以 f(
10、1)=1。由此可得，f“(1)=2。在1， 2上，由于 f“(x)0，所以 f(x)单调减少，且 f(x)f(1)=1 0，即 f(x)在1，2上没有极值点。在1，2上应用拉格朗日中值定理，可得f(2)f(1)=f()1，(1，2) 。由于 f(1)=1，所以 f(2)=f()+f(1)1+1=0 。由零点定理可知，f(x)在区间(1 ，2)内有零点。故应选 B。【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 因此=1K=10 ，故选 C。【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 A【试题解析】 由 fi“(x)0(i=1，2)可知，f 1(x)与 f2(x)在 x0，的某个
11、邻域内都是凸函数，则 y=f1(x)与 y=f2(x)在 x0 的某个邻域内的图象均在点 (x0，y 0)处切线的下方，所以在 x0 的某个邻域内，f 1(x)g(x)，f 2(x)g(x)。又由曲率公式 可知再由 k1k 2 可得 f1“(x0)f 2“(x0)。令 F(x)=f1(x)f 2(x)，则 F(x)=f1(x)f 2(x)，F“(x)=f 1“(x)f 2“(x)，于是 F(x0)=0， F(x0)=0，F“(x 0)0 ，所以 F(x)在 x=x0 处取到极大值，故在 x0 的某个邻域内，F(x)F(x0)=0，即 f1(x)f2(x)。综上所述，f 1(x)f2(x)g(x
12、)。故选 A。【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 A【试题解析】 应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性。f(x)的原函数F(x)可以表示为 F(x)=0xf(t)dt+C，于是 F(x)= 0x f(t)dt+C 0xf(u)d(u)+C。当 f(x)为奇函数时，f( u)= f(u)，从而有 F(x)= 0xf(u)du+C=0xf(t)dt+C=F(x)，即 F(x)为偶函数。故 A 为正确选项。 B，C，D 可分别举反例如下：f(x)=x2 是偶函数，但其原函数 F(x)= x3+1 不是奇函数，可排除 B；f(x)=cos 2x 是周期函数，但其原函数 F(x)= c
13、os2x 不是周期函数，可排除 C；f(x)=x 在区间( ，+)内是单调增函数，但其原函数 F(x)=12x 2 在区间(，+)内不是单调增函数，可排除 D。【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 D【试题解析】 根据原函数与被积函数的奇偶性质可知，在题干四个选项中，tf(t)+f(t)为奇函数，而奇函数的任何原函数都是偶函数，故 0xtf(t)+f(t)d 为偶函数。故答案选 D。【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 B【试题解析】 方法一：取 f(x)=sinx2x，则 f(x)在(0，+)内有界且可导，并且取f(x)=sinx，在(0，+)内有界且可导， f(x)=1
14、，可排除 C，D。故正确答案选 B。方法二：若 f(x)0，不妨设 f(x)=10，从而存在 X0，当xX 时，有 f(x)12，对任意 xX，在x ，2x上由拉格朗日定理得 f(2x)f(x)=f()(2xx)，x2x，则 f(2x)f(x)x2，从而有 f(x)=，与 f(x)有界矛盾，故必有 f(x)=0，故答案选 B。【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 A【试题解析】 方法一：f(x)的原函数可以表示为 F(x)=0xf(t)dt+C。如果 F(x)为偶函数，则 F(x)=F(x) ，等式两边同时求导可得f(x)=f(x)，可知 f(x)为奇函数。如果 f(x)为奇函数，F
15、( x)= 0x f(t)dt+C，对其作变量代换，令 u=t 可得 F(x)=0xf(u)( du)+C=0xf(u)(du)+C= 0xf(u)du+C=F(x)，可知 F(x)为偶函数。综上所述，选项 A 是正确的。方法二：举反例排除。令 f(x)=x2，F(x)= x3+1，可知f(x)为偶函数时，F(x)不一定为奇函数；令 f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x，可知 f(x)为周期函数时，F(x)不一定为周期函数；令 f(x)=x，F(x)=12x 2，可知 f(x)为单调函数时，F(x)不一定为单调函数。由此只有选项 A 是正确的。【知识模块】 一元函数微分学13 【正确
16、答案】 C【试题解析】 根据定积分的几何意义，知 F(2)=12 为半径是 1 的半圆面积；F(3)是两个半圆面积之差 F(3)=1 21 2(12) 2=38=3 4F(2)， 又由f(x)的图像可知，f(x)为奇函数，则 F(x)为偶函数，从而 F(3)=F(3)，F(3)=3 4F(2)。 因此应选 C。【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 D【试题解析】 先检验各函数在每个区间上的导数，易知，对选项 B 和 C 来说，当x1 时，都有 F(x)=lnx+2f(x)，可知它们必定不是 f(x)的原函数。对选项 A 和D，检验 F(x)在 x=1 处的连续性。易知，对选项 A 中
17、的 F(x)，因此该函数在 x=1处不连续，从而它不是 f(x)的原函数。综上所述，排除 A、B 和 C，本题选 D。【知识模块】 一元函数微分学二、填空题15 【正确答案】 y=x+【试题解析】 由曲线方程 y=xln(e+ )知，垂直渐近线可能有两处：x( 1e) +及 x0，但题设 x0，所以 x(1e) +不予考虑，考虑 x0 +的情况。当 x0 +时， 所以无垂直渐近线； 故无水平渐近线。再考虑斜渐近线：所以有斜渐近线 y=x+【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 y=2x+1【试题解析】 所以，x+ 方向有斜渐近线 y=2x+1。当 x时，类似地有斜渐近线y=2x+1。总
18、之，曲线 y=(2x1)e 1x 的斜渐近线方程为 y=2x+1。【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【试题解析】 因为 于是所求斜渐近线方程为【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 y=15【试题解析】 利用曲线的水平渐近线的定义求解。由于所以，曲线的水平渐近线为 y=15。【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 y=2x【试题解析】 首先函数 y=2x3(x 2+1)是(，+)上的连续函数，因此不存在垂直渐近线。其次， y=，所以不存在水平渐近线。最后，(y2x)=0。故斜渐近线为 y=2x。【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【试题解析】 设曲线的
19、斜渐近线方程为 y=kx+b，则故斜渐近线方程为【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 y=x+2。【试题解析】 根据斜渐近线的定义则斜渐近线方程为 y=x+2。【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 (1，0)【试题解析】 将 y=2x+1，y“=2 代入曲率计算公式，有整理有(2x+1) 2=1，解得 x=0 或x= 1。又因 x0，所以取 x=1，这时 y=0，故该点坐标为(1，0)。【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 cotxlnsinxxcotx+C【试题解析】 因为(cotx)=csc 2x=1sin 2x，所以 lnsinxsin 2xdx=lnsin
20、x(cotx)dx=lnsinxdcotx=(cotxlnsinxcotxdlnsinx) =cotxlnsinx+cotxcosxsinxdx =cotxlnsinx+cos 2x sin2xdx=cotxlnsinx+(1sin 2x)sin 2xdx =cotxlnsinx+dxsin 2x1dx=cotx lnsinxx+(cotx)dx =cotxlnsinxxcotx+C。【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 12ln(x 26x+13)+4arctan +C【试题解析】 =12ln(x 26x+13)+4arctan +C。【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写
21、出文字说明、证明过程或演算步骤。25 【正确答案】 在方程两边同时对 x 求导可得 3x 2+3y2y3+3y=0 ，(1) 令 y=0 可得 3x23=0 ，故 x=1。 由极值的必要条件可知，函数只可能在 x=1 与 x=1 处取得极值。为检验该点是否为极值点，需计算函数的二阶导数，对(1)式两边同时求导可得 6x+6y(y) 2+3y2y“+3y=0。(2) 当 x=1 时，y=1，将 x=1，y=1，y=0 代入(2) 式可得 y“(1)= 1(0，故 y(1)=1 是函数的极大值。 当 x=1 时，y=0，将x=1， y=0， y=0 代入(2) 式可得 y“(1)=20，故 y(1
22、)=0 是函数的极小值。【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 方法一：为了求不定积分，首先需要写出 f(x)的表达式。为此，令 lnx=t，有 x=et，f(t)=f(lnx) f(x)dx=ex ln(1+ex)dx=ln(1+e x)dex =e xln(1+ex)+ex dx=e x ln(1+ex)+ dx=e x ln(1+ex)+(1 )dx=e xln(1+ex)+xln(1+e x)+C。方法二：作积分变量替换，令 x=lnt，=e x ln(1+ex)+xln(1+e x)+C。【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 作积分变量变换，令 x=tanu，则 d
23、x=sec2udu，【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 f(x)的反函数是 g(x)，根据反函数的性质有 gf(x)=x， 0f(x)g(t)dt=x2ex 两边对 x 求导，有 (0f(x)g(t)dt)=(x2ex) gf(x)f(x)=x2ex+2xex，又 gf(x)=x，所以 xf(x)=x2ex+2xex f(x)=xex+2ex，x(0，+) ，两边积分 f(x)dx=(xex+2ex)dx f(x)=xexdx+2exdx f(x)=xdex+2ex xexe xdx+2ex f(x)=xexe x+2ex+Cf(x)=xex+ex+C。由于题设 f(x)在0，+)上可导，所以在 x=0 处连续，故 f(0)=(xex+ex+C)=1+C=0，所以 C=1，于是 f(x)=xex+ex1，x0，+)。【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 设 x=tant，则又e tsintdt=e td(cost)=(e tcoste tcostdt)=e tcost+etsinte tSintdt，故e tsintdt=12(e tcost+etsint)。【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学
