1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设a n，b n，c n均为非负数列，且 =，则必有（A）a nb n 对任意 n 成立（B） bnc n 对任意 n 成立（C）极限 ancn 不存在（D）极限 bncn 不存在2 设函数 f(x)= 则（A）x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点 （B） x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点（C） x=0 是 f(x)的第一类间断点， x=1 是 f(x)的第二类间断点 （D）x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点3 当 x
2、0 +时，与 等价的无穷小量是4 函数 f(x)= 在一 ，上的第一类间断点是 x=（A）0（B） 1（C）（D）5 设函数 f(x)在(一，+)内单调有界，(x n为数列，下列命题正确的是（A）若x n收敛，则f(x n)收敛（B）若 xn单调，则f(x n)收敛（C）若 f(xn)收敛，则x n收敛（D）若f(x n)单调，则x n收敛6 设函数 则 f(x)有（A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点（B） 1 个可去间断点，1 个无穷间断点（C） 2 个跳跃间断点（D）2 个无穷间断点7 当 x0 时，f(x)=x 一 smax 与 g(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则8
3、函数 f(x)= 的可去间断点的个数为（A）1（B） 2（C） 3（D）无穷多个9 函数 f(x)= 的无穷间断点的个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）310 已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinx 一 sin3x 与 cxk 是等价无穷小，则（A）k=1，c=4（B） k=一 1，c= 一 4（C） k=3，c=4（D）k=3，c=一 411 设 an0(n=1，2，)，S n=a1+a2+an，则数列 Sn有界是数列a n收敛的（A）充分必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）既非充分条件也非必要条件12 设 cosx 一 1=xsina(x)，其中|a(x)| ，
4、则当 x0 时，a(x)是（A）比 x 高阶的无穷小（B）比 x 低阶的无穷小（C）与 x 同阶但不等价的无穷小（D）与 x 等价的无穷小13 当 x0 +时，若 lxa(1+2x)，(1 一 cosx) 均是比 x 高阶的无穷小，则 的取值范围是（A）(2 ，+)（B） (1，2)（C）（D）14 函数 f(x)= 在(一，+)内（A）连续（B）有可去间断点（C）有跳跃间断点（D）有无穷间断点15 设 1= 当 x0 +时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（A） 1， 2， 3（B） 2， 3， 1（C） 2， 1， 3（D） 3， 2， 1二、填空题16 若 x0 时(1 一
5、ax2) 一 1 与 xsinx 是等价无穷小，则 a=_17 设 f(x)= 则 f(x)的间断点为 x=_18 当 x0 时，a(x)=kx 2 与 (x)= 是等价无穷小，则k=_19 =_20 已知函数 f(x)连续，且 =1，则 f(0)=_21 =_22 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 设 0x 13，x n+1= (n=1，2，)，证明数列x n的极限存在，并求此极限24 求极限25 设数列x n满足 0x 1 ，x n+1 一 sinx n(n=1，2，)26 求极限27 求极限28 已知函数 F(x)= =0，试求 a 的取值范围29 ()证明：对
6、任意的正整数 n，都有 成立()设an=1+ 一 1nn(n=1，2，)，证明数列a n收敛30 已知函数 f(x)= () 求 a 的值；()若当 x0 时，f(x) 一 a 与 xk 是同阶无穷小，求常数 k 的值31 ()证明方程 xn+xn 一 1+x=1(n 为大于 1 的整数 )在区间( ，1)内有且仅有一个实根；()记()中的实根为 xn，证明 xn 存在，并求此极限32 当 x0 时，1 一 cosxcos2xcos3x 与 axn 为等价无穷小，求 n 与 a 的值33 设函数 f(x)=lnx+ ()求 f(x)的最小值；( )设数列x n)满足 lnxn+存在，并求此极限
7、34 求极限35 设函数 f(x)= x0，1定义函数列：f 1(x)=f(x)，f 2(x)=f(f1(x)，f n(x)=f(fn 一 1(x)，记 Sn 是由曲线 y=fn(x)，直线 x=1 及 x 轴所围成平面图形的面积，求极限 Sn36 设函数 f(x)=x+aln(1+x) +bxsinx，g(x)=kx 3若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小，求 a，b， k 的值37 求极限考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 排除法：令 an= 显然，以上a n，b
8、n，Cn满足题设条件，但 a1=1，b 1= ，从而 a1b 1，故(A) 不正确又 b 1= ，c 1=，b 1c 1，故(B)也不正确而 ，故(C)也不正确由排除法知，应选(D)2 【正确答案】 D【试题解析】 显然 x=0 和 x=1 是 f(x)的间断点，又则 x=1 是 f(x)的第一类间断点，故应选 (D)3 【正确答案】 B【试题解析】 直接法，由于=0 一 (一 1)=1，则应选(B)4 【正确答案】 A【试题解析】 则 x=0 是f(x)的第一类间断点故应选(A) 5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)在( 一，+) 上单调有界，若 xn单调，则f(x n)是单调有
9、界数列，故f(x n)收敛事实上 (A)(C)(D)都是错误的，若令 xn=0，即x n收敛，令显然 f(x)在( 一，+)上单调有界，但f(x n)不收敛，由于 不存在，故(A)不正确若令 xn=n，f(x) ：arctanx 显然f(x n)收敛且单调，但 xn=n 不收敛，故(C)和(D)不正确6 【正确答案】 A【试题解析】 显然 在 x=1 和 x=0 没定义，因此 x=1 和x=0 为间断点，其余点都连续则x=0 为 f(x)的可去间断点故应选(A) 7 【正确答案】 A【试题解析】 由于当 x0 时，f(x)=x 一 smax 与 y(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，
10、则 故应选(A)8 【正确答案】 C【试题解析】 当 x=k(k=0，1，2，)时，sinx=0，则这些点都是 f(x)的间断点而当 x=0，1 时，x 一 x3=0又则 x=0，x=1 为 f(x)的可去间断点，其余均为无穷间断点故应选(C)9 【正确答案】 B【试题解析】 显然 有间断点 x=0，x=1 则 x=一 1 为无穷间断点则 x=0 为跳跃间断点则 x=1 为可去间断点10 【正确答案】 C【试题解析】 11 【正确答案】 B【试题解析】 由于 an0，则数列S n)单调增，若 Sn)有界，则S n收敛，设Sn=a，则 即an收敛但若a n收敛，S n不一定有界如 an=1，S
11、n=n，故应选(B)12 【正确答案】 C【试题解析】 由 cosx 一 1=xsin(x)知故应选(C)13 【正确答案】 B【试题解析】 由于当 x0 +时 ln(1+2x)2 x，由题设可知，a1，且 1则 12，故应选(B) 14 【正确答案】 B【试题解析】 则 x=0为 f(x)的可去间断点故应选(B) 15 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0+时 则当x0 +时，以上 3 个无穷小从低阶到高阶的排序是 2， 3， 1 故应选(B)二、填空题16 【正确答案】 一 4【试题解析】 由于当 x0 时 (1+x) 一 1x，则当0 时(1 一 ax2) 一1 ax2，从而17 【正
12、确答案】 x=0【试题解析】 显然 x=0 为 f(x)的唯一的间断点18 【正确答案】 【试题解析】 19 【正确答案】 【试题解析】 20 【正确答案】 2【试题解析】 则 f(0)=221 【正确答案】 【试题解析】 22 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 由 0x 13 知 x1，3 一 x1 均为正数，因而 xn+1xn(n1) 即数列x n单调增由单调有界数列必有极限知两边取极限，得24 【正确答案】 25 【正确答案】 () 用归纳法证明x n)单调下降且有下界由 0 x n ，得 0x 2=sinx1 x1 设 0
13、x n，则 0x n+1=sinxnx n 所以x n单调下降且有下界，故 xn 存在，26 【正确答案】 27 【正确答案】 由于当 x0 时，1 一 cosx x2，sinxx，所以28 【正确答案】 因为综上所述，1a 329 【正确答案】 () 根据拉格朗日中值定理，存在 (n，n+1)，使得所以数列a n单调减少有下界，故 an收敛30 【正确答案】 () 由于k+2=3k=131 【正确答案】 () 令 f(x)=xn+xn 一 1+x 一 1(x1)，则 f(x)在 ，1上连续，且 由闭区间上连续函数的介值定理知，方程 f(x)=0 在( ，1)内至少有一个实根当 x ( ，1)
14、时 ，f(x) =nx n 一 1+ (n 一 1)xn 一 2+2x+1 1 0，故 f(x)在( ，1)内单调增加综上所述，方程 f(x)=0 在( ，1)内有且仅有一个实根()由 xn( ，1)知数列x n有界，又 xnn+xnn 一 1+xn=1xn+1n+1+xn+1n+xn+1n 一 1+xn+1=1 因为xn+1n+1 0，所以 xnn+xnn 一 1+xnx n+1n+xn+1n 一 1+xn+1 于是有xnx n+1，n=1，2，即x n单调减少综上所述，数列x n单调有界，故x n收敛32 【正确答案】 当 n2时，显然不合题意所以 a=7，n=233 【正确答案】 ()f(x)= 令 f(x)=0，解得 f(x)的唯一驻点 x=1又 f“(1)=10，故 f(1)=1 是唯一极小值，即最小值()由()的结果知 lnx+1，从而有 于是 xnxn+1，即数列x n单调增加又由 lnxn+ 1，知 lnxn1，得 xne 从而数列x n 单调增加，且有上界，故 xn 存在34 【正确答案】 35 【正确答案】 由题设知36 【正确答案】 由于当 x0 时，f(x)kx 3，则37 【正确答案】
