1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=01-cosxsint2dt，g(x)= ，则当 x0 时，f(x) 是g(x)的( ) （A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小2 设 f(x)=x3+ax2+bx在 x=1 处有极小值-2，则( ) （A）a=1 ，b=2（B） a=-1，b=-2（C） a=0，b=-3（D）a=0 ，b=3二、填空题3 =_4 设函数 y=f(x)由方程 xy+21nx=y4 所确定，则曲线 y=f(x)在(1，1)处的法线方程为_5 y=e
2、x 在 x=0 处的曲率半径为 R=_6 =_7 设 f(x)C1，+)，广义积分 1+f(x)dx 收敛，且满足 f(x)= ，则 f(x)=_8 设 z=xy+ ，其中 f 可导，则 =_9 (x+x 2y)dxdy=_10 设连续函数 f(x)满足 f(x)= ，则 f(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求12 设 f(x)=0tanrarctant2dt， g(x)=x-sinx，当 x0 时，比较这两个无穷小的关系13 设 ，求 a，b 的值14 设 f(x)= 讨论函数 f(x)在 x=0 处的可导性15 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(
3、a ，b)内可导，且 g(x)0证明：存在 (a，b)，使得16 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，且 f(x)0，证明：存在， (1，2)，使得17 求18 19 20 设 f(t)= ，求 01t2f(t)dt20 设 f(x)为连续函数，证明：21 0xf(sinx)dx= 0f(sinx)dx= f(sinx)dx；22 02f(sinx)dx=4 f(sinx)dx23 求摆线 L： (a0)的第一拱绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积24 设 z= f(t，e t)dt，f 有一阶连续的偏导数，求25 计算 I= ydxdy，其中 D 由曲线 =1 及 x 轴和 y
4、轴围成，其中a0，b026 求微分方程 cosy -cosxsin2y=siny 通解27 一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为 r0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 18，求全部融化需要的时间考研数学二（高等数学）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，g(x)所以 f(x)是 g(x)的高阶无穷小，选(B)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)=3x 2+2ax+b，因为 f(x)在 x=1 处有极小值-2，
5、所以解得 a=0，b=-3，选(C)【知识模块】 高等数学部分二、填空题3 【正确答案】 4【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 y=-x+2【试题解析】 xy+2lnx=y 4 两边对 x 求导得 y+ 将 x=1，y=1 代入得 故曲线 yf(x)在点(1 ，1)处的法线为 y-1=-(x-1)，即 y=-x+2【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 2【试题解析】 y(0)=1，y“(0)=1，则曲线 y=ex 在 x=0 处的曲率为，则曲率半径为 R=2【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 ln2x+3+5ln x-3+C【试题解析】 【知识模块】 高等数
6、学部分7 【正确答案】 【试题解析】 令 1+f(x)dx=A，则由 f(x)= ，得【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 z+xy【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 23【试题解析】 其中D1=(x，y)0x1 ，0y1-x，【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 2e 2x-ex【试题解析】 =20xf(t)dt，则 f(x)= +ex 可化为 f(x)=20xf(t)dt+ex，两边求导数得 f(x)-2f(x)=ex，解得 f(x)=fexe -2dxdx+Ce-2dx=(-e-x+C)e2x=Ce2x-ex，因为 f(0)=1，所以 f(0)=C-1
7、=1，C=2，于是 f(x)=2e2x-ex【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 因为当 x0 时，g(x)=x-sinx=所以当 X0 时，f(x)= 0tanrarctant2dt 与 g(x)=x-sinx 是同阶非等价的无穷小【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 解得 a=1b=-3【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 因为 0f(x)= x x得 =0=f(0)，故 f(x)在 x=0 处连续由 得 f-(0)=1，再由得 f+(0)=0，因为 f-0(0)f+(0
8、)，所以 f(x)在 x=0处不可导【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 令 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a， b)内可导，且 F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F()=0，而 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)-f(x)g(x)，所以【试题解析】 这是含端点和含 的项的问题，且端点与含 的项不可分离，具体构造辅助函数如下：把结论中的 换成 x 得 ，整理得 f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)-f(x)g(x)=0，还原得f(x)g(
9、b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)=0，辅助函数为 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 令 F(x)=lnx，F(x)= 0，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得由拉格朗日中值定理得 ln2-ln1= ，其中 (1，2) ，f(2)-f(1)=f()(2-1)=f()，其中 (1，2)，故【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 01t2f(t)dt= 因为 f(1)=0，所
10、以【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 令 I=0xf(sinx)dx，则 I=0xf(sinx)dx 0(-t)f(sint)(-dt)=0(-t)f(sint)dt=0(-x)f(sinx)dx=0f(sinx)dx-0xf(sinx)dx=0f(sinx)dx-I，则 I=0xf(sinx)dx= 0f(sinx)dx= f(sinx)dx【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 02f(sinx)dx= -f(sinx)dx=2 0f(sinx)dx=2 0f(sinx)dx=4 f(sinx)dx【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 V=
11、 02af2(x)dx=02ay2dx=02a3(1-cost)3dt=802a3 dt=32a30sin6 =32a3I6=32a3 =52a3【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 令t=1- ，则 x=a(1-t)2，dx=-2a(1-t)dt 。于是【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 由 cosy -cosxsin2y=siny 得 -cosxsin2y=siny令 u=siny，则 -u=cosxu 2，令 u-1=z，则 +z=-cosx，解得 z=(-cos)edxdx+Ce-dx=-excosxdx+Ce-x【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 设 t 时刻雪堆的半径为 r，则有，于是有 =-kt+C0，由 r(0)=r0，r(3)= ，得 C0=r0，k= ，于是 ，令 r=0 得 t=6，即 6 小时雪堆可以全部融化【知识模块】 高等数学部分
