1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f(0)=1，则 =( )（A）e -1（B） e（C） e2（D）e 32 设 =-1，则在 x=a 处( )（A）可导，f(0)=0（B）可导，且 f(0)=-1（C）可导，且 f(0)=2（D）不可导3 设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，则( )二、填空题4 =_5 设 f(x)在 x=a 处可导，则 =_6 =_7 =_(其中 a 为常数)8 设 f(x，y)可微，且 f1(-1，3)=-2，f 2(-1，3)=
2、1 ，令 z=f(2x-y， )，则 dz (1，3)=_9 =_10 设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程y“-6y+9y=e3x，则 y(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求12 求13 确定正数 a，b，使得14 设15 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0) 证明：存在 ， (a，b)，使得16 当 0x 时，证明： sinxx17 求18 19 当 x0 时，f(x)=x ，设 g(x)= 当 x0 时，求 0xf(t)g(x-t)dt20 求21 设 f(x)连续，证明： 0x0
3、tf(u)dudt=0xf(t)(x-t)dt22 求摆线 (0t2)的长度23 设 z=f(exsiny，x 2+y2)，且 f(u，v)二阶连续可偏导，求24 计算二重积分 (x+y)dxdy，其中 D：x 2+y2x+y+125 求微分方程 的通解考研数学二（高等数学）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 =ef(0)=e，选(B)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 B【试题解析】 由 =-1，根据极限的保号性，存在 0，当 0x-a 时，有 0，从而有 f(x)【知识模块】 高等数学部分3 【正
4、确答案】 D【试题解析】 取 f(x)= ，(A)不对；取 f(x)=cosx，显然 =10，(B)不对；取 f(x)=x，显然 =1，(C)不对，应选(D)事实上，取 =A，所以存在 X0，当 xX 时，f(x)-A ，从而 f(x)当 xX 时，f(x)-f(X)=f()(x-X) (x-X)(Xf(X)+ (x-X)，两边取极限得=+，应选 (D)【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 43【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 10f(a)f(a)【试题解析】 因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是=2f(a)5f(a)
5、=10f(a)f(a)【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 4【试题解析】 令 I=则 2I=【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 -7dx+3dy【试题解析】 则 dz (1，3) =-7dx+3dy【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 2xe 3x+ x2e3x【试题解析】 由题意得 y(0)=0，y(0)=2，y“-6y+9y=e 3x 的特征方程为 2-6+9=0，特征值为 1=2=3，令 y“-6y+9y=e3x 的特解为 y0(x)=ax2e3x，
6、代入得 a= 故通解为y=(C1+C2x)e3x+ x2e3x由 y(0)=0，y(0)=2 得 C1=0，C 2=2，则 y(x)=2xe3x+ x2e3x【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 显然 b=1，且=2，故 a=1【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 方程 两边对 x 求导数得【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 令 F(x)=x2，F(x)=2x0(a，整理得 ，再由微分中值定理，存在 (a，b)，使得【知识模块】
7、 高等数学部分16 【正确答案】 令 f(x)=x-sinx，f(0)=0，f(x)=1-cosx0(0x )，由得 f(x)0(0 x )，即当 0x 时，sinxx；令g(x)=sinx- ，g(0)=g( )=0，g“(x)=-cosx0(0x )，即 g(x)在(0， )内上凸，由 得 g(x)0(0x )，故当 0x 时，sinx 【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 0xf(t)g(x-t)dt x0f(x-u)g(u)(-du)=0xf(x-u)g(u)du，(1)当 0x时， 0
8、xf(t)g(x-t)dt=0x(x-u)sinudu=x-sinx(2)当 x 时， 0xf(t)g(x-t)dt= (x-u)sinudu=x-1，于是 0xf(t)g(x-t)dt=【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 lnxd(1nx)= -11xdx=2 01xdx=1【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，则 F(x)=f(x)，于是 0x0tf(u)dt=0xF(t)dt， 0xf(t)(x-t)dt=x0xf(t)dt-0xtf(t)dt=xF(x)-0xtdF(t)dt=xF(x)-tF(t) 0x+0xF(t)dt=0xF(t)
9、dt 命颢得证【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 ds=【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 =f1exsiny+2xf2 =f1excosy+exsiny(f“11excosy+2yf“12)+2x(f“21excosy+2yf“22)=f1excosy+ f“11e2xsin2y+2ex(ysiny+xcosy)f“12+4xyf“22【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 令 x+y=u，则 ，于是有 ，变量分离得，两边积分得 u-arctanu=x+C，所以原方程的通解为 y-arctan(x+y)=C【知识模块】 高等数学部分
