1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 45 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)= 讨论 f(x)的间断点，其结论为（A）不存在间断点（B）存在间断点 x=1（C）存在间断点 x=0（D）存在间断点 x=一 12 设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 可导的充要条件为3 曲线 y= (常数 a0)(一 x+)（A）没有渐近线（B）只有一条渐近线（C）有两条渐近线（D）是否有渐近线与 a 有关4 设 f(x)，(x)在点 x=0 某邻域内连续，且 x0 时，f(x) 是 (x)的高阶无穷小，则x0 时， 0x(t) sintdt 是 0x
2、t(t)dt 的( ) 无穷小（A）低阶（B）高阶（C）同阶非等价（D）等价5 考虑二元函数的下面 4 条性质：f(x ，y)在点(x 0，y 0)处连续；f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微；f(x，y)在点(x0，y 0)处两个偏导数存在若用“PQ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有二、填空题6 已知当 x0 时，(1+ ax 2) 一 1 与 cosx 一 1 是等价无穷小，则常数 a=_7 设函数 y=y(x)由方程 ln(x2+ y2)一 ysinx+x 所确定，则 |x=0=_8 由方程 xyz+ 所确定的函数 z=z(x
3、，y)在点(1，0，一 1)处的全微分 dz=_9 设区域 D 为 x2+ y2R2，则 =_10 方程 y“一 3y+2y=2ex 的通解为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求极限12 设 f(x)在a，b上连续，c，d (a，b)，t 10，t 20证明：在a，b内必有点，使得 t1f(c)+t2f(d)=(t1+t2) f().13 设 f(x)在( 一，+)上二阶导数连续，f(0)=0 ，g(x)= 1)确定 a使 g(x)在(一，+)上连续2)证明对以上确定的 a，g(x) 在(一 ，+)上有连续一阶导数14 若 0x1，p1，试证 xp+(1 一 x)p1
4、15 设 f(x)在0，1上可微，当 0x1 时，xf(x)1，f(x)1，试证在(0，1)内有且仅有一个 x，使 f(x)=z16 设函数 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内可导，且 f(1)+2f(2)+3f(3)=6，试证必存在 (0，3)，使得 f()=017 18 19 已知 f(x)的一个原函数为 ，求 xf(x)dx20 设 F(x)是 f(x)的原函数， F(1)= 若当 x0 时，有 f(x)F(x)= ，试求 f(x)21 求极限22 计算下列广义积分23 设 y =y(x)，z=z(x) 是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y ，z)=0 所确定的函数，其中 f
5、 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求24 已知三角形周长为 2p，求出这样一个三角形，使它绕自己的一边旋转时体积最大25 计算 ydxdy，其中 D 由直线 z=一 2，y=0，y=2 以及曲线 x= 所围成26 设 f(x，y)在单位圆 x3+y21 上有连续的偏导数，且在边界上取值为零， f(0，0)=2004，试求极限27 设有微分方程 y一 2y=(x)，其中 (x)= 试求在(一，+) 内的连续函数 y=y(x)，使之在 (一，1)，(1 ，+)内都满足所给方程，且满足条件 y(0)=028 设(r，)为极坐标，r0，02，设 u=u(r，)具有二阶连续偏导数，并满足=0
6、，求 u(r，)29 以 yOz 坐标面上的平面曲线段 y=f(z)(0zh)绕 z 轴旋转所构成的旋转曲面和xOy 坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为 l6cm3，如果以 3cm3/s 的速率把水注入容器，水表面的面积以 cm3/s 增大，试求曲线 y=f(z)的方程考研数学二（高等数学）模拟试卷 45 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【知识模块】 高等数学二、
7、填空题6 【正确答案】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 1【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 y=C 1ex+ C2e2x 一 2xex【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 1【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 利用闭区间上连续函数的最大最小值定理和介值定理【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 a=f(0)【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 利用函数最大最小值【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 考虑 F(x)=f(x)一 x【
8、知识模块】 高等数学16 【正确答案】 由 =1 知 f(0)=1由 f(1)+2f(2)+3(3)=6 及连续函数介值定理知，存在 c(1，3)，使 f(c)=1，然后在0 ，c 上对 f(x)用罗尔定理【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 ln3【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 (3) ln2 ；(4) 2(1 一 ln2)【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 V max=【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 2004【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 u=C 1+C2lnr【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 y=f(z)=【知识模块】 高等数学
