1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 61 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 则 f(x 在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续不可导（C）可导但 f(x)在 x=0 处不连续（D）可导且 f(x)在 x=0 处连续2 设 g(x)=0xf(u)du，其中 则 g(x)在(0，2)内( ) （A）单调减少（B）无界（C）连续（D）有第一类间断点二、填空题3 当 x0 时，x-sinxcos2xcx k，则 c=_，k=_4 设 f(x)在 x=2 处连续，且 ，则曲线 y=f(x)在(2，f(2)处的切线方程为_5 设 f(x)在 x=1 处一阶连续可
2、导，且 f(1)=-2，则 =_.6 设 f(x，y)可微，f(1 ，2)=2，f x(1，2)=3 ，f y(1，2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则(1)=_7 设 f(sin2x)= =_.8 求 =_.9 计算 0a =_.10 设(ay-2xy 2)dx+(bx2y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则a=_，b=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 确定常数 a，b，c ，使得12 设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1 证明：(1)存在 c(0，1)，使得 f(c)=1-2c；(2)存在 0，2 ，使得 2f(0)+f(1)+3
3、f(2)=6f()13 设 f(x)在a，+)上连续，且 f(x)存在证明：f(x)在a，+)上有界14 设 x=x(t)由 sint-1x-te-u2du=0 确定，求15 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)1(x 0，1)，又 f(0)=f(1)，证明：f(x) (x0，1)16 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(x)0，取 xia，b(i=1，2，n)及ki0(i=1，2，n)且满足 k1+k2+kn=1证明： f(k 1x1+k2x2+knxn)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)17 设函数 其中 g(x)二阶连续可导，且 g(0)=1 (1)确定常数 a，
4、使得 f(x)在 x=0 处连续； (2)求 f(x)； (3)讨论 f(x)在 x=0 处的连续性18 设 F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时，f(x)F(x)= ，又 F(0)=1，F(x)0，求 f(x)19 设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： abxf(x)dx abf(x)dx20 求椭圆 与椭圆 所围成的公共部分的面积21 设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+yxP(t)dt 确定甜为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1，求22 计算 01dxx2x(x2+23 设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D
5、上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D ，使得 f(x，y)g(x，y)d=f( ，) g(x， y)d24 设 f(x)是连续函数(1)求初值问题 的解，其中 a0；(2)若f(x)k，证明：当 x0 时，有y(x) (eax-1)25 用变量代换 x=sint 将方程 (1-x2) 化为 y 关于 t 的方程，并求微分方程的通解考研数学二（高等数学）模拟试卷 61 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 显然 f(x)在 x=0 处连续，因为，所以f(x)在 x=0 处可导，当 x 0 时，f(x)=arctan 当
6、x0 时，所以 f(x)在 x=0 处连续，选(D) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在(0 ，2)内只有第一类间断点，所以 g(x)在(0，2)内连续，选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 ，3【试题解析】 因为 x0 时，sinx=x- +o(x3)，cos2x=1- +o(x2)=1-2x2+o(x2)，sinxcos2x=x- x3+o(x3)，所以 x-sinxcos2x= x3+o(x3) x3，故 c= ，k=3【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 【试题解析】 由f(2)= ，则曲线 y=f(x)在点(2，f(2)处的
7、切线方程为 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 1【试题解析】 由 得【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 47【试题解析】 因为 (x)=fxx，f(x，2x)+f yx，f(x，2x)f x(x，2x)+2f y(x，2x)，所以 (1)=fx1，f(1 ，2)+f y1，f(1 ，2)f x(1， 2)+2fy(1，2) =3+4(3+8)=47【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 arcsin 2 +C【试题解析】 由 f(sin2x)= ，得 f(x)= 于是【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块
8、】 高等数学10 【正确答案】 4，-2【试题解析】 令 P(x，y)=ay-2xy 2，Q(x ，y)=bx 2y+4x+3，因为(ay-2xy 2)dx+(bx2y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，所以 =2bxy+4= =a-4xy，于是a=4，b=-2【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 由 e-t2=1-t2+ +o(t4)得 0xe-t2dt=x- x3+ x5+o(x5)，从而于是【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 (1)令 (x)=f(x)-1+2x，(0)=-1，(1)=2，因为 (0)(1)0，所以存在 c
9、(0，1)，使得 (c)=0，于是 f(c)=1-2c(2)因为 f(x)C0，2，所以 f(x)在0，2上取到最小值 m 和最大值 M，由 6m2f(0)+f(1)+3f(2)6M 得 mM，由介值定理，存在 0，2，使得=f()，于是 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 设 f(x)=A，取 0=1，根据极限的定义，存在 X00，当xX 0 时，f(x)-A1 ，从而有f(x)A+1又因为 f(x)在a，X 0上连续，根据闭区间上连续函数有界的性质，存在 k0，当 xa，X 0，有f(x)k取M=maxA +1，k，对一切的 xa，+)，有f
10、(x)M 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 将 t=0 代入 sint-1x-1eu2du=0 得 1xe-u2du=0，再由 e-u20 得x=1，sint- 1x-te-u2du=0 两边对 t 求导得 cost-e-(x-t)2 =e+1，cost-e -(x-t)2 =0 两边再对 t 求导得-sint+2(x-t)e-(x-t)2 -e-(x-t)2 将 t=0，x=1 ，=2e2【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 由泰勒公式得 f(0)=f(x)-f(x)x+ f(1)x2， 1(0，x)，f(1)=f(x)+f(x)(1-x)+ f(2)(1-x)2， 2(x，1)
11、，两式相减，得 f(x)= f(1)x2- f(2)(1-x)2两边取绝对值，再由f(x)1，得f(x) x2+(1-x)2=【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 x0=k1x1+k2x2+knxn，显然 x0a，b因为 f(x)0，所以f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)，分别取 x=xi(i=1，2，n)，得由 ki 0(i=1，2，n) ，上述各式分别乘以 ki(i=1，2，n)，得将上述各式分别相加，得 f(x0)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)，即 f(k1x1+k2x2+knxn)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)【知识模块】 高等数学17
12、【正确答案】 (1)当a=g(0)时，f(x)在 x=0 处连续(2)当 x0 时(3) 因=f(0)，所以 f(x)在 x=0 处连续【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 两边积分得 F2(x)= ，解得 F2(x)= ，由F(0)=1，F(x)0，得【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 因为 f(x)在a， b上单调增加，所以 ab(x)dx0，而 ab(x)dx=abf(x)dx=abxf(x)dx- abf(x)dx，故 abxf(x)dx abf(x)dx【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积令 则
13、L1： 的极坐标形式为 L1：r 2=r12()=L2： 的极坐标形式为 L2：r 2=r22()=令 则第一象限围成的面积为所以A1= ，所求面积为【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 z=f(u)两边对 x 及 y 求偏导，得方程 u=(u)+yxP(t)dt 两边对 x 及 y 求偏导，得【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 ，则【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故 mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(x，y)f(x，y)g(x ，y)Mg(x ，y)积分得 (1
14、)当g(x， y)d=0 时， (x，y)g(x，y)d=0，则对任意的(，)D，有 f(x，y)g(x，y)d=(，) g(x，y)d(2)当 g(x，y)d0 时，由介值定理，存在(，) D，使得 即 f(x，y)g(x，y)d=f(，) g(x，y)da 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 (1)y+ay=f(x)的通解为 y=0xf(t)eatdt+Ce-ax，由 y(0)=0 得 C=0，所以 y=e-ax0xf(t)eatdt(2) 当 x0 时，y=e ax 0xf(t)eatdte -ax0xf(t)e atdtke-ax0xeatdt= e-ax(eax-1)，因为 e-ax1，所以y (eax-1)【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 的通解为 y=C1e-2t+C2e2t，故原方程的通解为 y=C1e-2arcsinx+C2e2arcsinx【知识模块】 高等数学
