1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 66 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时，有 ax3+bx2+cc 0ln(1+2x)sintdt，则( )（A）a= ， b=1，c=0（B） a= ，b=1，c=0（C） a= ，b=-1，c=0（D）a 为任意常数， b=2，c=02 设 f(x)在 x=0 处二阶可导 f(0)=0 且 =2，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3
2、 设 f(x)二阶连续可导， ，则( )（A）f(2)是 f(x)的极小值（B） f(2)是 f(x)的极大值（C） (2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点二、填空题4 =_.5 设 =_.6 求 =_.7 =_.8 设 f(x)连续，且 0xtf(2x-t)dt= arctanx2，f(1)=1，求 12f(x)dx=_.9 设 f(u)连续，则 0xduuxvf(u2-v2)dv=_10 设 y=y(x)满足 y= x+o(x)，且有 y(1)=1，则 02y(x)dx=_三、解答题解答应写出文字说明、证
3、明过程或演算步骤。11 设 =e3，其中 f(x)连续，求12 求 的间断点并判断其类型13 设 ，求 a，b 的值14 设 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导， ，求曲线 y=f(x)在点(0， f(0)处的曲率15 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)a，f(x) b ，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点(1)写出 f(x)在 x=c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；(2)证明： f(c)2a+16 设 f(x)在01上二阶可导且 f(0)=f(0)=f(1)=f(1)=0证明：方程 f(x)-f(x)=0在(0 1)内有根17 设 f(x)在 x=x0
4、 的邻域内连续，在 x=x0 的去心邻域内可导，且 =M证明：f(x 0)=M18 设 f(x)=1x ，求 01f(x)dx19 设 f(x)连续， 0xxf(x-t)dt=1-cosx，求20 设 f(x)在0，1 上连续，且 f(1)-f(0)=1证明： 01f2(x)dx121 证明：当 x0 时，f(x)= 0x(t-t2)sin2ntdf 的最大值不超过22 设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令 (1)若，证明：u 仅为 与 的函数(2) 若，证明：u 仅为 r 的函数23 计算 (x+y2)dxdy，其中 D：x 2+y22x+2y-124 设 且二阶连续可导，又 ，求f(x)
5、.25 某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖的水量为 设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m0，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 .问至多经过多少年，湖中污染物 A 的含量降到 m0 以内(设湖中 A 的浓度是均匀的)?26 设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)考研数学二（高等数学）模拟试卷 66 答案与解析一、
6、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为当 x0 时，ax 3+bx2+cx 0ln(1+2x)sintdt，所以显然 c=0，再由得 a 为任意常数，b=2，选(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 由 ，得 f(9)+f(0)=0，于是 f(0)=0再由=f(0)+f(0)=2，得 f(0)=20，故 f(0)为 f(x)的极小值，选(B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 由 ，得 f(2)=0，又由 ，则存在 0，当 0x-2 时，有 ，即当 x(2-，2)时，f(x)0；当 x(2，2+
7、)时，f(x) 0，于是 x=2 为 f(x)的极小值点，选(A)【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 因为 x0 时，e ln2(1+x)-1ln 2(1+x)x 2，【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 0【试题解析】 当 x=0 时，t=0；当 t=0 时，由 y+ey=1，得 y=0方程 y+ey=ln(e+t2)两边对 t 求导数，得【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 因为 所以 02=01xdx+12xdx=【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 由 0x(2x-t)d
8、t 2xx(2x-u)f(u)(-du)=x2x(2x-u)f(u)du=2xx2xf(u)du-x2xuf(u)du.得 2xx2xf(u)du-x2xuf(u)du= arctanx2，等式两边对 x 求导得 22xf(u)du+2x2f(2x)-f(x)-4xf(2x)+xf(x)= ，整理得 2x2xf(u)du-xf(x)= 取 x=1得 212f(u)du-f(1)= ，故 12f(x)dx=【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 -xf(x 2-1)【试题解析】 a1vf(u2-v2)dv= a1f(u2-v2)d(u2-v2)= 0n2-1f(t)dt，则0xduu1vf(u2
9、-v2)dv= 0xdu0u2-1f(t)dt= 0x2-1f(t)dt， 0xduu1vf(u2-v2)dv=-xf(x2-1)【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 由y= x+o(x)得函数 y=y(x)可微且 y= ，积分得 y(x)= ，因为 y(1)=1，所以 C=0，于是 y(x)= ，故 02y(x)dx【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 由得=e2.【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 f(x)的间断点为 x=0，-1，-2，及 x=1当 x=0 时，f(0-0)=f(0+0)=-sin1，则 x=0
10、 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点当 x=-1 时， ，则 x=-1 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点当 x=k(k=-2，-3，)时， =，则 x=k(k=-2，-3，) 为函数 f(x)的第二类间断点当 x=1 时，因为 不存在，所以 x=1为 f(x)的第二类间断点【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 ln(1+x)-(ax+bx 2)=x- +o(x2)-(ax+bx2)=(1-a)x-(b+ )x2+o(x2)，由得 x0 时， 0x2e-t2dtx 2，于是故 a=1，b=-2【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 由 得 f(0)=f(0)=0，又=f(
11、0)=2，则 y=f(x)在点(0，f(0)处的曲率为 K=2【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 (1)f(x)=f(c)+f(c)(x-c)+ (x-c)2，其中 介于 c 与 x 之间(2)分别令 x=0， x=1，得 f(0)=f(c)-f(c)c+ c2， 1(0，c) ，f(1)=f(c)+f(c)(1-c)+(1-c)2， 2(c，1)，两式相减，得 f(c)=f(1)-f(0)+ (1-c)2，利用已知条件，得f(c)2a+ c2+(1-c)2，因为 c2+(1-c)21，所以f(c) 2a+【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 (x)=e-xf(x)+f(x) 因
12、为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)使得 (c)=0， 而 (x)=e-xf(x)-f(x)且 e-x0，所以方程 f(c)-f(c)=0 在(0，1)内有根【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)-f(x0)=f()(x-x0)，其中 介于 x0 与 x 之间，则f()=M，即 f(x0)=M【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 01xf(x)dx= 01(x)d(x3)= x3f(x) 01- 01x3f(x)dx【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 由 0xtf(x-t)dt x0(x-u)f(u)(-du)=0x(x-u)f(u
13、)du=x0xf(u)du-0xuf(u)du，得 x0xf(u)du-0xuf(u)du=1-cosx，两边求导得 0xf(u)du=sinx，令 x= f(x)dx=1【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 由 1=f(1)-f(0)=01f(x)dx， 得 12=1=(01f(x)dx)20112dx01f2(x)dx=01f2(x)dx，即 01f2(x)dx1【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 当 x0 时，令 f(x)=(x-x2)sin2nx=0 得 x=1，x=k(k=1，2，)，当 0x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0( 除 x=k(k=1，2，)外 f(
14、x)0)，于是 x=1 为 f(x)的最大值点，f(x)的最大值为 f(1)因为当 x0 时，sinxx，所以当x0，1时，(x-x 2)sin2nx(x-x2)x2n=x2n+1-x2n+2，于是 f(x)f(1)=01(x-x2)sin2nxdx01(x2n+1-x2n+2)dx=【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 (1)因为所以 u 是不含 r 的函数，即 u 仅为 与 的函数(2)因为从而=t(r2cos2cossin)+t(r2sin2cossin)+t(-r2sincos)=0，故 u 仅是 r 的函数，即u 不含 与 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 D：x 2+y
15、22x+2y-1 可化为 D：(x-1) 2+(y-1)21，令0t2，0r1，则 (x+y2)dxdy=02dt01(1+rcost+1+2rsint+r2sin2t)rdr=02(1+ sin2t)dt=2+ sin2tdt=2+【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由 =2 得 f(1)=0，f(1)=2 ，令 =r，则由对称性得 由 f(r)=0 或 rf(r)+f(r)=0，解得 rf(r)=C1，由 f(1)=2 得 C1=2，于是 f(r)= f(r)=lnr2+C2，由 f(1)=0 得 C2=0，所以 f(x)=lnx2【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设从 2000 年初开始，第 t 年湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度为 ，任取时间元素t，t+dt，排入湖中污染物 A 的含量为，流出湖的污染物 A 的含量为 ，则在此时间元素内污染物 A 的改变量为又由 m(0)=5m0，得 C= ，于是 ，令 m=m0，得 t=6ln3，即至多经过 7 年，湖中污染物 A的含量不超过 m0【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 根据题意得 0xf(t)dt=0x 所以，积分得由 y(0)=1，得C=1，所以 =chx【知识模块】 高等数学
