1、考研数学（数学一）模拟试卷 281 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在(-，+) 内有定义，x 00是函数 f(x)的极大值点，则( )（A）x 0 必是函数 f(x)的驻点（B） -x0 必是函数-f(-x) 的最小值点（C） -x0 必是函数-f(-x) 的极小值点（D）对一切 x0 都有 f(x)f(x0)2 如下图，连续函数 y=f(x)在区间-3，-2、2 ，3上图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间-2，0，0 ，2上的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 F(x)=0xf(t)dt，则下列结论正确的是( )3
2、 设 ，则下列命题正确的是( )4 具有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )（A）y -y-y+y=0（B） y+yy-yy-y=0（C） y-6y+11y-6y=0（D）y -2y-y+2y=05 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分条件是( )（A）A 的列向量线性无关（B） A 的列向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的行向量线性相关6 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 为 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()AX=0 和()ATAX= 0 必有( )（A）() 的解是 ()的解，但()的解
3、不是()的解（B） ()的解是( )的解，( )的解也是()的解（C） ()的解不是( )的解，( )的解也不是()的解（D）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解7 设二维随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是( ) （A）X=Y（B） PX=Y=0（C） PX=Y=1/2（D）PX=Y=18 设二随机变量(X，Y) 服从二维正态分布，则随机变量 U=X+Y 与 V=X-Y 不相关的充分必要条件为( )（A）E(X)=E(Y)（B） E(X2)-E(X)2=E(Y2)-E(Y)2（C） E(X2)=E(Y2)（D）E(X 2)+E(Y2)2=E(Y2)+E(Y
4、)2二、填空题9 向量场 u(x，y，z)=xy 2i+yezj+xln(1+z2)k 在点 P(1，1，0)处的散度divu=_10 =_11 函数 f(u， v)由关系式 fxg(y)，Y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则 =_12 交换积分次序： =_13 设矩阵 ，则 A3 的秩为_ 14 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则PmaxX，Y1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 设函数 f(x)在0，+)上连续、单调不减且 f(0)0，试证函数在0，+)上连续且单调不减(其中 n0)17 18 19
5、 设曲线积分 Cxy2dx+y(x)dy与路径无关，其中 (x)具有连续的导数，具 (0)=0，计算 的值20 ()证明：若 a1，a 2，a 3，a 4 两两不相等，则此线性方程组无解；()设 a1=a3=k，a 2=a4=-k(k0)，且已知 1， 2 是该方程组的两个解，其中 ，写出此方程组的通解21 设 有三个线性无关的特征向量，求 x 和 y 应满足的条件22 设 A，B 是二随机事件；随机变量试证明随机变量 X 和 Y 不相关的充分必要条件是 A 与 B 相互独立23 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 X ，而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y
6、 的概率密度 g(u)考研数学（数学一）模拟试卷 281 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为“函数 f(x)的极值点不一定是函数 f(x)的驻点”，如 f(x)=3-x-1 在 x0=1 点处取得极大值 f(1)=3，但 x0=1 点还并不是函数 f(x)的驻点(A) 不对 又“函数 f(x)的极值点不一定是函数 f(x)的最值点”，如 f(x)=x3-6x2+9x-1，因为f(x)在(- ，+) 内没有最大值，但却在 x0=1 点处取得极大值 f(1)=3而当 x4 时，都有 f(x)f(x 0)(D)不对，至于(B
7、)，我们在否定(D)时，实际上已经得到结论了仍然可举(D) 中用过的例子为反例因此选 (C)2 【正确答案】 C【试题解析】 F(x)= 0xf(t)dt 的大小与曲线 f(x)与 x 轴所围面积的大小有关因为故应选(C)3 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查条件收敛与绝对收敛的定义，由题设，4 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件，可知该微分方程存在的特征根为 1=-l， 2=-1， 3=1，即 特征方程为(+1) 2(-1)=0，展开得 3+2-1=0，因此所求微分方程必为 y +y-y-y=0， 所以选(B)5 【正确答案】 A【试题解析】 由解的判定定理知 Ax=0 仅有零解
8、r(A)=r=n，即 A 的 n 个列向量线性无关，故应选(A) 6 【正确答案】 B【试题解析】 若 xi 是 AX=0 的解，即 Axi=0，显然 ATAxi=0； 若 xi 是 ATAX=0 的解，即 ATAxi=0，则 xiTATAxi=0，即(Axi i)T(Axi)=0 若 Axi0，不妨设Axi=(b1，b 2，b n)T，b0，则(Ax i)T(Axi)= ，与(Ax i)T(Axi)=0 矛盾，因而 Axi=0，即 ()、( )同解故应选(B)。7 【正确答案】 C【试题解析】 由 X 与 Y 相互独立知 PX=Y=PX=-1，Y=-1+PX=1，Y=1=PX=-1*PX=-
9、1+PX=1*PY=1= 故应选(C)8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 U 与 V 不相关的充要条件是 cov(U，V)=0 即 cov(X+Y，X-Y)=cov(X，X)-cov(X，Y)+cov(Y ，X)-cov(Y，Y)=D(X)-D(Y)=E(X 2)-E2(X)-E(Y2)-E2(Y)=0 故(B)正确二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 10 【正确答案】 ln3【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 由已知关系式 fxg(y)，y=x+g(y)两边对 x 求二次偏导，有 f ug(y)=1， (1) fuug(y)2=0 (2)由已知 g(y)0，所以 f”
10、。=0 ，在(1)式两边对 Y 求一次偏导，有 u*g(y)+fuu*x*g(y)+fuu*1g(y)=0将 fuu=0 代入上式，得 fu*g(y)+fuu*g(y)=0，12 【正确答案】 【试题解析】 由题设，设原积分中两部分的积分区域分别如图所示，则13 【正确答案】 1【试题解析】 14 【正确答案】 1/9【试题解析】 由题设有 Pmax(x，y)1=PX1，Y1=PX1PY1=1/9三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 由题设知 f(x)在0 ，+)上连续、单调不减且 f(0)0，此外 F(0)=0。而当 x 0 时， 所以当
11、x0 时，由积分中值定理知，存在一点 因此由前述知 f()f(x)，则 F(x)0，因此F(x)在0 +) 上单调不减综上， F(x)在0，+) 上连续且单调不减17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 先求出 (x)，设 P(x，y)，Q(x，y)有连续偏导数，在所给的单连通区域 D 上， LPdx+Qdy 与路径无关 用于此题即 y(x)=2xy即 (x)=2x，(x)=x 2+C 由 (0)=0得 C=0，即 (x)=x220 【正确答案】 21 【正确答案】 特征方程为E-A= 3-2-+1=(-1)(+1)=0，即特征值 1=1(二重)， 2=-1欲使 A，=l 有
12、两个线性无关的特征向量，矩阵 E-A=因为不同特征值所对应的特征向量线性无关，所以矩阵 A 要有三个线性无关的特征向量，必须满足条件 x+y=022 【正确答案】 由题设，记 P(A)=p1，则 P(x=1)=p1 从而 P(X=-1)=1-p1记 P(B)=p2，则 P(Y=1)=p2，且 P(Y=-1)=1-p2因此有 E(X)=p1-(1-p1)=2p1-1，E(Y)=p 2-(1-p2)=2p2-1由于 X，Y 的取值只能为 1 和-1，从而 P(XY=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=-1，Y=-1)=P(AB)=P =2P(AB)-P1-p2+1，P(XY=-1)=1-2P(AB
13、)-p 1-p2+1=1-2P(AB)+p1+p2-1=p1+p2-2P(AB)所以 E(XY)=2P(AB)-p1-p2+1-P1+p2-2P(AB) =2P(AB)-p1-p2+1-P1-p2+2P(AB)=4P(AB)-2p1-2p2+1，因此 cov(X，Y)=E(XY)-E(X)*E(Y)=4P(AB)-2p1+2p2+1-(2p1-1)(2p2-1)=4P(AB)-2p1-2p2+1-4p1p2+2p1+2p2-1=4P(AB)-4p1p2=4P(AB)-P(A)P(B)，显然 cov(XY)= P(AB)=P(A)P(B)，即 X 与 Y 不相关的充要条件是 A 与 B 相互独立23 【正确答案】 由题设，设 FY(y)是 Y 的分布函数，则由全概率公式，得 U=X+Y的分布函数为 G(u)=PX+Yu=03PX+Yu X=1+0 7PX+YuX=2 =03PYu-1X=1+0 7PYu-2X=2 由已知 X 与 Y 独立，则 PYu-1X=1=PYu-1 且 PYu-2X=2=PYu-2 所以 G(u)=03PYu-1+07PYu-2=03F(u-1)+07F(u-2)， 因此 U=X+Y 的概率密度为 g(u)=G(u)=03f(u-1)+07f(u-2)
