1、考研数学（数学三）模拟试卷 430 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 f(x)在(0，2)上连续， 则( )（A）点(1 ，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点（B） f(1)是函数 y=f(x)的极小值（C） f(1)是函数 y=f(x)的极大值（D）点(1 ，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点，f(1)也不是函数 y=f(x)的极值2 的根的个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 f(x)连续，且满足 ，则关于 f(x)的极值问题有( )（A）存在极小值（B）存在极大值（C）存在极小值（D）存在极小值4 设 0，f(x)在(一
2、 ，)内恒有 f(x)0，且f(x)x 2，记 I=f(x)dx，则有( )（A）I=0（B） I0（C） I0（D）不能确定5 已知四维列向量 1,2,3 线性无关，若向量 i(i=1，2，3，4)是非零向量且与向量1,2,3 均正交，则向量组 1， 2， 3， 4 的秩为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 A 一( 1,2,3,4)为四阶方阵，且 1,2,3,4 为非零向量组，设 AX=0 的一个基础解系为(1 ，0，一 4，0) T，则方程组 A*X=0 的基础解系为( )（A） 1,2,3（B） 2， 3， 2+3（C） 1， 3， 4（D） 1+2， 2+24， 47
3、设 XN(1 ，4) ，yN(3，16)，PY=aX+b)=1 ，且 XY=一 1，则( )（A）a=2 ，b 一 5（B） a=一 2，b=一 5（C） a=一 2，b=5（D）a=2 ，b=一 58 设总体 x 服从标准正态分布，(X 1，X 2，X n)为总体的简单样本，则( )（A）（B）（C）（D）二、填空题9 =_.10 设 F(u，v)一阶连续可偏导，且由 确定 z 为 x，y 的隐函数，则=_。11 =_。12 设 z=z(x，y)由 F(az 一 by，bx-cz ，cy-ax)=0 确定，其中函数 F 连续可偏导且aF1一 cF20，则 =_。13 设 若 AB ，则 y=
4、_14 设随机变量 则(X，Y) 的联合分布律为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)二阶可导，且 f(0)=0，令 (I)确定 a 的取值，使得 g(x)为连续函数； (II)求 g(x)并讨论函数 g(x)的连续性15 设某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 q1(吨)与 q2(吨)时，总收入函数为 R(q1，q 2)=15q1+34q2q12 一 4q22 一 2q1q236(万元) ，设生产 1 吨甲产品要支付排污费 1 万元，生产 1 吨乙产品要支付排污费 2 万元。16 如不限制排污费支出，这两种产品产量分别为多少时总利润最大?最大利润
5、多少?17 当排污费总量为 6 万元时，这两种产品产量各为多少时总利润最大?最大利润多少?18 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导 证明：存在， (a，b)，使得19 求级数 的和20 设 二阶连续可导，又 求f(x)21 设 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3=xTAx，其中 AT=A求正交矩阵 Q，使得 XTAX 在正交变换 X=QY下化为标准二次型21 设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 为三维列向量且 10，若A1=1，A 2=1+2，A 3=2+322 证明：向量组 1， 2， 3 线性无关23 证明：A 不
6、可相似对角化23 设随机变量 X 的概率密度为 对 X 作两次独立观察，设两次的观察值为 X1，X 2，令24 求常数 a 及 PX10，X 21)；25 求(Y 1，Y 2)的联合分布26 设总体 X 的密度函数为 其中 0 为未知参数，(X 1，X 2，X n)为来自总体 X 的简单随机样本，求参数 的矩估计量和极大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 430 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 得 f(1)=0，且存在 0，当 0x 一 1 时，当 x(1-，1)时，f(x)0；当 x(1，1+) 时，f(x)0，
7、从而 x=1 为f(x)的极大点；由 从而f(x)0，即 f(x)0,即(1,f(1) 不是 y=f(x)的拐点，应选 C2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 等式两边求导，得 f(x)+2f(x)=2x，其通解为因为令 f(x)=一 2e-2x+1=0，得唯一驻点为 因为 f(z)一 4e-2sx0，故 是极小值点，极小值为，选 A4 【正确答案】 B【试题解析】 因为f(x)x 2，所以 f(0)=0，由f(x)x 2，得由夹逼定理得 f(0)=0由泰勒公式得，其中 介于 0 与 x 之间，因为在(一 ，)内恒有 f(x)0，所以 ，选 B5 【正确答案】 A
8、【试题解析】 设 i=(i1,i2,i3,i4)T(i=1，2，3) ，由已知条件有iTi=0(i=1，2，3，4；j=1 ，2，3) 即 (i=l，2，3，4)为方程组的非零解由于 1,2,3 线性无关，所以方程组系数矩阵的秩为 3，所以其基础解系含 1 个解向量，从而向量组 1， 2， 3， 4 的秩为 1，选 A6 【正确答案】 D【试题解析】 由 r(A)=3 得 r(A*)=1，则 A*X=0 的基础解系由 3 个线性无关的解向量构成由 143=0 得 1， 3 成比例，显然 A、B、C 不对，选 D7 【正确答案】 C【试题解析】 由 EY=aEX+b 得 a+b=3，再由 DY=
9、a2DX 得 4a2=16，因为 pXY=一1，所以 a0，于是 a=一 2，b=5 ，选 C8 【正确答案】 D【试题解析】 因为 X1，X 2，X n 与总体服从相同的分布，所以 ，A 不对；显然 ，所以 B 不对；由且 X 与(n 一 1)S2 相互独立，则，选 D二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 z【试题解析】 两边对 x 求偏导得11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 b【试题解析】 F(az 一 by，bx 一 cz，cy 一 ax)=0 两边对 x 求偏导得13 【正确答案】 6【试题解析】 由 AB 得 tr(A)=tr(B)，即 x
10、一 3=0，于是 x=3显然 A，B 的特征值为 1=2=1， 3=一 2，因为 AB 且 B 为对角矩阵，所以 A 可对角化，从而 r(E-A)=1，14 【正确答案】 得 ，因为 XY 的可能取值为 0，1，所以 由 PX=1)=PX=1，Y=0+PX=1，Y=1)，得 再 PY=0)=PX=0，Y=0)+PX=1，Y=0)= ，则(X，Y) 的联合分布律为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (I) 当 a=f(0)时，g(x)在 x=0 处连续16 【正确答案】 利润函数为 L(q1，q 2)=R(q1，q 2)一 q1 一 2q2=14q1+32q2q
11、12 一4q22 一 2q1q2 一 36令 得 q1=4，q 2=3，因为驻点唯一，且该实际问题存在最大值，故当 q1=4，q 2=3 时 L(q1，q 2)达到最大，最大值为 L(4，3)=40(万)17 【正确答案】 令 F(q1，q 2，)一 L(q1，q 2)+(q1+2q26)，令得 q1=2，q 2=2，于是在 q1+2q2=6 下，当 q1=2，q 2=2时，L(q 1，q 2)取到最大值，最大值为 L(2，2)=28(万)18 【正确答案】 令 g(x)=一 cosx，g(x)=sinx0(axb)，19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 由 AB=O 得
12、 B 的列为 AX=O 的解，令由 A1=01，A 1=02 得 1=2=0 为 A 的特征值， 1， 2 为1=2=0 对应的线性无关的特征向量，又由 1+2+3=tr(A)=6 得 3=4令为 3=4 对应的特征向量，由 AT=A 得 3=4 对应的线性无关的特征向量为 令单位化得22 【正确答案】 由 A1=1 得(AE) 1=0，由 A2=1+2 得(AE) 2=1，由A3=2+3 得(A E)3=2令 k11+k22+k33=0，两边左乘以 (AE)得k21+k32=0，两边再左乘(AE)得 k31=0，由 30 得 k3=0，代入 2)得 k21=0，则k2=0，再代入 1)得 k
13、1=10，从而 k1=0，于是 1,2,3 线性无关23 【正确答案】 令 P=(1,2,3)，由(A 1,A2,A3)=(1， 1+2， 2+3)得从而 由E 一 A=E 一 B=( 一1)3=0 得 A 的特征值为 =1， ，因为 r(EB)=2，所以B 只有一个线性无关的特征向量，即 B 不可相似对角化，而 AB，故 A 不可相似对角化24 【正确答案】 由 因为 X1，X 2 相互独立，所以PX10，X 21)=PX 10PX 21) ，注意到 f(x)为偶函数，所以 ，于是25 【正确答案】 (Y 1，Y 2)可能的取值为(0，0) ，(0 ，1)，(1 ，0)，(1，1)PY1=0，Y 2=0)=PX11 ，X 21)=PX 11)PX 2 1)= PY1=0，Y 2=1)=PX11，X 21)=PX 11)PX21)P(Y1=1，Y 2=1)=PX11，X 21)=PX11)PX21)=26 【正确答案】 E(X)=0，
