1、考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2002 年) 考虑二元函数 f(x，y)的下面四条性质： f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续， f(x，y) 在点 (x0，y 0)处的两个偏导数连续， f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微， f(x，y) 在点 (x0，y 0)处的两个偏导数存在。 若用“P Q”表示可由性质，P 推出Q，则有( ) 2 (2012 年) 如果 f(x，y)在点 (0，0)处连续，那么下列命题正确的是( )（A）若极限 存在，则 f(x，y)在点(0，0)处可微（B）若
2、极限 存在，则 f(x，y)在点(0，0)处可微（C）若 f(x，y) 在点(0，0) 处可微，则极限 存在（D）若 f(x， y)在点(0，0)处可微，则极限 存在3 (2005 年) 设函数 u(x，y)=(x+y)+(xy)+ 其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有( ) 4 (2005 年) 设有三元方程 xyzlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程( )（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z=z(x，y)（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数和 y=y(x，z)和 z=z(x，y)（C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数
3、x=x(y，z)和 z=z(x，y)（D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z) 和 y=y(x，z)5 (2010 年) 设函数 z=z(x， y)由方程 确定，其中 F 为可微函数，且F20，则（A）x（B） z（C）一 x（D）一 z6 (2008 年) 函数 f(x，y)=arctan 在点(0，1)处的梯度等于( )（A）i（B）一 i（C） j（D）一 j7 (2017 年) 函数 f(x，y，z)=x 2y+z2 在点(1，2，0)处沿向量 u=(1，2，2)的方向导数为( )（A）12（B） 6（C） 4（D）28 (2003 年) 已知函数 f(x， y)在点(0
4、，0)的某个邻域内连续，且则( )（A）点(0 ，0) 不是 f(x，y)的极值点（B）点 (0，0)是 f(x，y)的极大值点（C）点 (0，0)是 f(x，y)的极小值点（D）根据所给条件无法判断点(0，0)是否为 f(x，y)的极值点9 (2011 年) 设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(x)0，f(0)=0，则函数 z=f(x)lnf(y)在点(0 ，0) 处取得极小值的一个充分条件是( )（A）f(0)1，f“(0)0（B） f(0)1 ，f“(0)0（C） f(0)1 ，f“(0)0（D）f(0)1，f“(0)010 (2006 年) 设 f(x，y)与 (x，y)均为可微
5、函数，且 y(x，y)0。已知(x 0，y 0)是f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是( )（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0（B）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0（C）若 fy(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0（D）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)011 (2001 年) 设函数 f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且 fx(0，0)=3，f y(0，0)=1，则( )（A）（B）曲面 z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0) 的法向量为 3，1，1（C）曲线 在点
6、(0，0，f(0，0) 的切向量为1 ，0，3（D）曲线 在点(0，0，f(0，0) 的切向量为3，0，112 (2013 年) 曲面 x2+cos(xy)+yz+x=0 在点(0，1，一 1)处的切平面方程为( )（A）xy+z=一 2（B） x+y+z=0（C） x 一 2y+z=一 3（D）xyz=0二、填空题13 (1998 年) 设 z= f(xy)+y(x+y)，f， 具有二阶连续导数，则14 (2007 年) 设 f(u，v)为二元可微函数， z=f(xy，y x)，则15 (2009 年) 设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数， z=f(x，xy)，则=_。16 (2011
7、年) 设函数17 (2015 年) 若函数 z=z(x，y)由方程 ez+xyz+x+cosx=2 确定，则 dz|(0,1)=_。18 (2016 年) 设函数 f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)zy 2=x2f(xz，y)确定，则dz|(0,1)=_。19 (2001 年) 设20 (2005 年) 设函数 单位向量 则21 (2012 年)22 (2016 年)向量场 A(x， y，z)=(x+y+z)i+xyj+zk 的旋度 rotA=_。23 (2000 年) 曲面 x2+2y2+3z2=21 在点(1，一 2，2)的法线方程为_。24 (2003 年) 曲面 z=z
8、2+y2 与平面 2x+4yz=0 平行的切平面的方程是_。25 (2014 年) 曲面 z=x2(1 一 siny)+y2(1 一 sinx)在点(1 ，0，1)处的切平面方程为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。26 (1999 年) 设 y=y(x)，z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求27 (2000 年) 设 其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求28 (2001 年) 设函数 z=f(x，y)在点(1，1) 处可微，且 f(1，1)=1 ，(x)=
9、f(x，f(x，x)。求29 (2011 年) 设函数 z=fxy，yg(x) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在 x=1 处取得极值 g(1)=1，求30 (2017 年) 设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数， y=f(ex，cosx)，求31 (2004 年) 设 z=z(x，y)是由 x2 一 6xy+10y2 一 2yzz2+18=0 确定的函数，求z=z(x，y) 的极值点和极值。32 (2009 年) 求二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值。33 (2012 年) 求 的极值。34 (2013 年) 求函数 的极值。35 (200
10、2 年) 设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy 面，其底部所占的区域为D=(x，y)|x 2+y2 一 xy75，小山的高度函数为 h(x，y)=75 一 x2 一 y2+xy。 (I)设M(x0，y 0)为区域 D 上一点，问 h(x，y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为 g(x0，y 0)，写出 g(x0，y 0)的表达式； ()现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说，要在 D 的边界线 x2+y2 一 xy=75 上找出使(I)中 g(x，y)达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。36 (2008 年)
11、已知曲线 C： 求曲线 C 距离 xOy 面最远的点和最近的点。 37 (2015 年) 已知函数 f(x， y)=x+y+xy，曲线 C：x 2+y2+xy=3，求 f(x，y)在曲线 C上的最大方向导数。38 (2007 年) 求函数 f(x，y)=x 2+2y2 一 x2y2 在区域 D=(x，y)|x 2+y24，y0上的最大值和最小值。考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 下述重要因果关系应记住，其中 A B 表示由 A 可推出 B。无箭头者无因果关系，箭头的逆向不成
12、立。 其中均指在同一点处。记住上述关系，不难回答本选择题，故应选 A。【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x，y) 在(0 ，0)处连续，可知如果 存在，则必有 这样， 就可以写成形式也即极限 可知 也即 由可微的定义可知f(x，y)在(0，0)处可微。【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 于是 通过观察可知应选 B。【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 令 F(x，y， z)=xyzlny+exz 一 1，则 F x=y+exzz，F y=x 一 ，F z=一 lny+exzx，所以 Fx(0， 1，1
13、)=20，F y(0，1，1)=一 10，F z(0，1，1)=0 。 所以可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 y=y(x，z) ，故应选 D。【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 等式两边求全微分得 所以有 【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 所以 于是 gradf(x，y)| (0,1)=i。故应选 A。【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 gradf=(2xy，x 2，2z) ，将点(1，2，0)代入得 gradsf|(1,2,0)=(4，1，0)，则【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答
14、案】 A【试题解析】 由其中 由 f(x，y)在点(0，0)连续可知， f(0，0)=0。 取 y=x,|x|充分小，x0 ，有 f(x，y)=x2+(1+)(2x2)20； 取 y=一 x，|x| 充分小，x0 ，有 f(x，y)= 一 x2+(1+)(2x2)20，故点(0，0) 不是 f(x，y)的极值点，应选 A。【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 A【试题解析】 由 z=f(x)lnf(y)知 所以 要使得函数 z=f(x)lnf(y)在点(0 ，0) 处取得极小值，仅需 f“(0)lnf(0)0，f“(0)lnf(0)f“(0)0，所以有 f(0)1，f“(0)0。【知识
15、模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 D【试题解析】 构造拉格朗日函数 F(x，y，)=f(x，y)+(x，y)，并记对应 x0，y 0的参数 的值为 0，则 即 可知，如果 hx(x0，y 0)0，则可以得到00，又由于 y(x0，y 0)0，从而有 fy(x0，y 0)0，故选 D。【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 C【试题解析】 题目仅设函数 f(x，y)在点(0 ，0)附近有定义及 fx(0，0)=3 ，f y(0，0)=1，未设 f(x，y) 在点(0， 0)可微，也没设 z=f(x，y)，所以谈不上 dz，因此可立即排除 A； 令 F(x，y，z)=zf(x，y)
16、，则有 Fx=一 fx，F y=一 fy，F z=1。因此过点(0，0， f(0，0) 的法向量为 Fx，F y，F z=一 fx，一 fy，1=( 一 3，一 1，1，可排除 B； 曲线 可表示为参数形式： 故曲线在点(0，0， f(0，0) 的切向量为 1，0，f x(0，0)=1，0，3。故正确选项为 C。【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 A【试题解析】 令 F(x，y， z)=x2+cos(xy)+yz+x=0，曲面在点 (0，1，一 1)处的法向量 故曲面在点(0，1，一 1)处的切平面方程为 1(x0)一(y 一 1)+(z+1)=0， 即 xy+z=一 2。故选 A
17、。【知识模块】 多元函数微分学二、填空题13 【正确答案】 yf“(xy)+(x+y)+y“(x+y)【试题解析】 方法一：先求 方法二：先求 【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 f 1yxy-1+f2yxlny【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 xf“ 12+f2+xyf“22【试题解析】 由 z=f(x，xy) ，得 则 【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 4【试题解析】 把 y=2 代入可得 则 故【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 一 dx【试题解析】 令 F(x，y， z)=ez+xyz+x+cosx 一 2，则 F x(
18、x，y，z)=yz+1 一sinx，F y(x，y，z)=xz，F z(x，y，z)=e z+xy。 又当 x=0，y=1 时 ez=1，即 z=0。 所以 因而 dz|(0,1)=一dx。【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 2dydx【试题解析】 当 x=0，y=1 时，z=1。由一阶微分形式不变性可得 zdx+(x+1)dz 一2ydy=2xf(xz，y)dx+x 2f1(xz，y)(dxdz)+x 2f2(xz，y)dy，将 x=0，y=1，z=1代入上式得 dx+dz 一 2dy=0，所以 dz|(0,1) =2dy 一 dx。【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】
19、 【试题解析】 本题实际上是计算 类似可得 根据定义有 于是 【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 【试题解析】 因为 故所求方向导数为 【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 1，1， 1【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 j+(y 一 1)k【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 【试题解析】 令 F(x，y， z)=x2+2y2+3z2=21，则有 F x(1,-2,2)=2x|(1,-2,2)=2, Fy(1,-2,2)=2y|(1,-2,2)=-8, Fz(1,-2,2)=2z|(1,-2,2)=12,所以曲面在点 (
20、1，一 2，2)处的法线方程为：【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 2x+4yz=5【试题解析】 令 F(x，y， z)=zx2 一 y2，则 Fx=一 2x，F y=一 2y，F z=1。 设切点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则切平面的法向量为一 2x0，一 2y0，1，已知其与平面2x+4yz=0 平行，因此有 可解得 x0=1，y 0=2，相应地有z0=x02+y02=5。 故所求的切平面方程为 2(x 一 1)+4(y 一 2)一(z 一 5)=0，即 2x+4yz=5。【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 2xyz 一 1=0【试题解析】 曲面 z=x2(1
21、 一 siny)+y2(1 一 sinx)在点 (1，0，1)处的法向量为(zx，z y，一 1)|(1,0,1)=(2，一 1，一 1)，所以切平面方程为 2(x 一 1)+(一 1)(y 一 0)+(一 1)(z 一 1)=0，即 2xyz 一 1=0。【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。26 【正确答案】 分别在 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 的两端对 x 求导数，得 整理后得 解此方程组，得 【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 根据复合函数的求导公式，有 于是 【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 由题设，(
22、1)=f(1 ，f(1，1)=f(1，1)=1， 【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 由题意可知， 因 g(x)可导且在x=1 处取极值，因此可得 g(1)=0。 又因为 g(1)=1， 因此进一步可以得出 【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 由复合函数求导法则可得 【知识模块】 多元函数微分学31 【正确答案】 由 x2 一 6xy+10y2 一 2yzz2+18=0，得 将上式代入 x2 一 6xy+10y2 一 2yz 一 z2+18=0，可得 又因为 所以故所以点(9，3)是 z(x，y)的极小值点，极小值为z(9， 3)=3。 类似地，由可知 所以点(一 9，
23、一 3)是 z(x，y)的极大值点，极大值为 z(一 9，一 3)=一 3。【知识模块】 多元函数微分学32 【正确答案】 由 得驻点(0，e -1)，计算二阶偏导数 f xx“(x，y)=2(2+y 2)，f xy“(x，y)=4xy，f yy“(x，y)=2x 2+ 则得 A=f xx“(0，e -1“)=2(2+ )，B=f xy“(0，e -1)=0，C=f yy“(0 e-1)=e，故 ACB20，A 0，故在(0，e -1)处 f(x，y)取得极小值，极小值为【知识模块】 多元函数微分学33 【正确答案】 先求函数 的驻点：令 解得驻点为(1，0)，(一 1，0)。又 所以 A1C
24、1 一 B120，A 10，故 f(x，y) 在点(1，0) 处取得极大值 对点(一 1，0) ，有 A2=fxx“(一 1，0)= B2=fxy“(一 1，0)=0，C 2=fyy“(一 1，0)=所以 A2C2 一 B22 0，A 20，故 f(x，y)在点(1，0)处取得极小值【知识模块】 多元函数微分学34 【正确答案】 先求驻点，根据已知 为了判断这两个驻点是否为极值点，求二阶导数 因为 ACB20，所以 不是极值点。 因为 A0, 所以 是极小值点，极小值为 【知识模块】 多元函数微分学35 【正确答案】 (I)由梯度向量的重要性质：函数 h(x，y)在点 M 处沿该点的梯度方向
25、方向导数取最大值即 ()根据题意，即求 g(x，y) 在条件 x2+y2 一 xy 一 75=0 下的最大值点，即 g2(x，y)=(y-2x) 2+(x一 2y)2=5x2+5y2 一 8xy 在条件 x2+y2 一 xy 一 75=0 下的最大值点。 这是求解条件最值问题，用拉格朗日乘数法。令 L(x，y，)=5x 2+5y2 一 8xy+(x2+y2 一 xy 一 75)，则有 解此方程组得可能的条件极值点为 现比较 f(x，y)=g2(x，y)=5x 2+5y2 一 8xy 在这些点的函数值： f(M 1)=f(M2)=450，f(M 3)=f(M4)=150。 因为实际问题存在最大值
26、，且只可能在 M1，M 2，M 3，M 4 中取到。因此g2(x，y)在 M1，M 2 取在 D 的边界上的最大值，即 M1(5，一 5)，M 2(一 5，5)可作为攀登的起点。【知识模块】 多元函数微分学36 【正确答案】 方法一：点(x，y，z) 到 xOy 面的距离为|z| ，故求 C 上距离 xOy面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数 H=z2 在条件 x2+y2 一 2z2=0，x+y+3z=5下的最大值点和最小值点。 构造拉格朗日函数 L(x，y，z ，)=z 2+(x2+y2 一2z2)+(x+y+3z 一 5)，由 得 x=y，从而解得 根据几何意义，曲线 C 上存在距离xO
27、y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(一 5，一 5，5)和(1，1，1)。 方法二：点(x ，y，z)到 xOy 面的距离为 |x|，故求 C 上距离 xOy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数 H=x2+y2 在条件 下的最大值点和最小值点。 构造拉格朗日函数 得 x=y，从而 根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为 (一 5，一5，5)和 (1，1 ，1)。【知识模块】 多元函数微分学37 【正确答案】 因为 f(x，y)沿着梯度的方向导数最大，且最大值为梯度的模， fx(x，y)=1+y ，f y(x，y)=1+x ，故 gradf(x
28、，y)=1+y，1+x)，模为因此题目转化为求函数在约束条件 C：x 2+y2+xy=3 下的最大值，即为条件极值问题。 为了计算简单，可以转化为求 d(x，y)=(1+y) 2+(1+x)2 在约束条件C：x 2+y2+xy=3 下的最大值。 构造拉格朗日函数：F(x ，y，)=(1+y) 2+(1+x)2+(x2+y2+xy 一 3)， 得到 M1(1，1)，M2(一 1，一 1)，M 3(2，一 1)，M 4(一 1，2) 。 d(M 1)=8，d(M 2)=0，d(M 3)=9，d(M 4)=9，所以最大值为【知识模块】 多元函数微分学38 【正确答案】 因为 解方程 得开区域内的极值点为 其对应函数值为又当 y=0 时，f(x ，y)=x 2 在一 2x2 上的最大值为 4，最小值为0。 当 x2+y2=4，y0 时，一 2x2，构造拉格朗日函数 F(x ，y，)=x 2+2y2 一x2y2+(x2+y2 一 4)，解方程组 得可能极值点(0，2)， 其对应函数值为 比较函数值 2，0，4，8， 知 f(x，y)在区域 D 上的最大值为 8，最小值为 0。【知识模块】 多元函数微分学
