1、考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2006 年) 若 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 y(x，y)0已知(x 0，y 0)是f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0（B）若 f0(x0，y 0)=0则 f(x0，y 0)0（C）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0、)=0 （D）若 fx(x0，y 01)0，则 fy(x0，y 0)02 (2008 年) 函数 在点(0，1)处的
2、梯度等于（A）i（B）一 i（C） j（D）一 j3 (2010 年) 设函数 z=z(x， y)由方程 确定，其中 F 为可微函数，且 F20，则（A）x（B） z（C）一 x（D）一 z4 (2011 年) 设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(x)0，f(0)=0，则函数 z=f(x)lnf(y)在点(0 ，0) 处取得极小值的一个充分条件是（A）f(0)1，f“(0)0（B） f(0)1 ，f“(0)0（C） f(0)1 ，f“(0)0（D）f(0)1，f“(0)05 (2012 年) 如果 f(x，y)在 (0，0)处连续，那么下列命题正确的是（A）若极限 存在，则 f(x，y)
3、在(0，0)处可微（B）若极限 存在，则 f(x，y)在(0，0：)处可微（C）若 f(x，y) 在(0，0)处可微，则极限 存在（D）若 f(x， y)在(0，0)处可微，则极限 存在6 (2013 年) 曲面 x2+cos(xy)+yz+x=0 在点(0，1，一 1)处的切平面方程为（A）xy+z=一 2（B） x+y+z=0（C） x 一 2y+z=一 3（D）xy 一 z=07 (2017 年) 函数 f(x，y，z)=x 2y+z2 在点(1，2，0)处沿向量 n=(1，2，2)的方向导数为（A）12（B） 6（C） 4（D）2二、填空题8 (2003 年) 曲面 z=x2+y2 与
4、平面 2x+4y 一 z0 平行的切平面方程是_9 (2005 年) 设函数 单位向量则10 (2007 年) 设 f(u，v)为二元可微函数， z=f(xy，y x)，则11 (2009 年) 设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数， z=f(x，xy)，则12 (2011 年) 设函数 则13 (2012 年)14 (2014 年) 曲面 z=z2(1 一 siny)+y2(1 一 sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为_15 (2015 年) 若函数 z=z(x，y)由方程 ez+xyz+x+cosx=2 确定，则 dz|(0，1)=_16 (2016 年) 设函数 f(u，v)可
5、微，z=z(x，y)由方程(x+1)zy 2=x2f(x 一 z，y)确定，则 dz|(0，1) =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (2004 年) 设 z=z(x，y)是由 x2 一 6xy+10y2 一 2yz 一 z2+18=0 确定的函数，求z=z(x，y) 的极值点和极值18 (2005 年) 设函数 其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有18 (2006 年) 设函数 f(u)在 (0，+)内具有二阶导数，且 满足等式 19 验证20 若 f(1)=0，f(1)=1 ，求函数 f(u)的表达式21 (2007 年) 求函数 f(x，y)=x 2+
6、2y2 一 x2y2 在区域 D=(x，y)|x 2+y24，y0上的最大值和最小值22 (2008 年) 已知曲线 C： 求 C 上距离 xOy 面最远的点和最近的点23 (2009 年) 求二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值24 (2011 年) 设函数 z=f(xy，yg(x) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在 x=1 处取得极值 g(1)=1求25 (2012 年) 求函数 的极值26 (2013 年) 求函数 的极值27 (2014 年) 设函数 f(u)具有 2 阶连续导数，z=f(e xcosy)满足 若 f(0)=0，f(0)
7、=0，求 f(u)的表达式28 (2015 年) 已知函数 f(x， y)=x+y+xy，曲线 C：x 2+y2+xy=3，求 f(x，y)在曲线 C上的最大方向导数29 (2017 年) 设函数 f(u，v)具有 2 阶连续偏导数， y=f(ex，cosx)，求30 (2018 年) 过点 (1，0，0)，(0，1，0)，且与曲面 z=x2+y2 相切的平面为31 (2018 年)将长为 2 m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一
8、个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日乘数法知，若(x 0，y 0)是 f(xy)在约束条件 (x，y)=0 下的极值点。则必有 若fx(x0，y 0)0，由 式知， 0，加之原题设 y(x，y)0，由式知，(x 0，y 0)0，从而必有 fy(x0，y 0)0，故应选(D) 【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 解 1 由 知 则 fx(0，1)=1， f(0，1)=0，所以 gradf(0，1)=i 解 2 由 知 则 gradf(01)=i【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由隐函数求导公式得 则 解 2 等式
9、分别对x，y 求偏导得 (1)式乘 x2 加(2)式乘 xy 得 (一 z)F2+F2(xzx+yzy)=0 则 xz x+yzy=z (F20)【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 则ACB20 故应选(A)【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 解 l 由 f(x， y)在(0 ，0)处连续可知，如果 存在，则必有又极限 则由 存在知 即 由微分的定义知 f(x， y)在(0，0)处可微 解 2 排除法：取 f(x，y)=|x|+|y|，显然，存在，但 f(x，y)=|x|+|y| 在(0，0) 处不可微，这是由于 f(x，0)=|x|，而|x
10、|在 x=0 处不可导，则 fx(0，0) 不存在则排除(A)； 若取 f(x，y)=x ，显然，f(x，y)在(0，0)处可微，但 不存在，则 不存在，排除(C)又 则不存在，排除(D)故应选(B)【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 令 F(x，y， z)=x2+cos(xy)一 yz+x，则 则所求切平面方程为 x 一(y 一 1)+(z+1)=0 即 xy+z= 一 2【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 f x(1，2，0)=2xy| (1，2，0) =4 fy(1，2，0)=x 2|(1，2，0) =1 fz(1，2，0)=3z2|(
11、1，2，0) =0 向量 n=1，2，2的方向余弦为则 【知识模块】 多元函数微分学二、填空题8 【正确答案】 2x+4yz=5【试题解析】 曲面 z=x2+y2 在点(x 0，y 0，z 0)处切平面的法向量为 n 1=2x0，2y 0，一1)而平面 2x+4y 一 z=0 的法向量为 n2=2，4，一 1由题设知 n1n 2，则 从而有 x 0=1，y 0=2，代入 z=x2+y2 得 z0=5， n 1=2，4，一1则所求切平面方程为 2(x 一 1)+4(y 一 2)一(z 一 5)=0 即 2x+4yz=5【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 【试题解析】 u x(1，2，3
12、)= uy(1，2，3)= uz(1，2，3)= 则 【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 yx y-1f1+y2lnyf2【试题解析】 由复合函数求导法知【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 f 2+xf“12+xyf“22【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 4【试题解析】 解 1 解 2 由偏导数定义知 【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 (1，1，1)【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 2xy 一 z=1【试题解析】 由 z=x2(1 一 siny)+y2(1 一 sinx)得 z x=2x(1 一 si
13、ny)一 y2cosx， zx(1，0)=2 zy=一 x2cosy+2y(1 一 sinx)，z y(1，0)=一 1 所以，曲面 z=x2(1 一 siny)+y2(1 一 sinx)在点(1 01)处的法向量为=(2一 1，一 1)，该点处切平面方程为 2(x-1)一 y 一(z 一 1)=0 即 2xy 一 z=1【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 一 dx【试题解析】 将 x=0，y=1 代入 ez+xyz+x+cosx=2 中得 ez+1=2，则 z=0 方程ez+xyz+x+cosx=2 两端微分得 e zdz+yzdx+xzdy+xydz+dxsinxdx=0 将x
14、=0，y=1z=0 代入上式得 dx+dz=0 则 dz| (0,1)=一 dx【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 一 dz+2dy【试题解析】 解 1 由原方程知，当 x=0，y=1 时，z=1 方程(x+1)z 一 y2=xf(xz，y)两边求全微分 zdx+(x+1)dz 一 2ydy=2xf(x 一 z，y)dx+x 2f1(dx 一 dz)+f2dy 将 x=0，y=1，z=1 代入上式得 dz| (0，1) =-dx+2dy 解 2 由原方程知，当 x=0，y=1 时，z=1 方程两边分别对 x、y 求偏导数，有 把x=0，y=1，z=1 代入上式得 所以 dz|(0，
15、1) =-dx+2dy【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 因为 x2 一 6xy+10y2 一 2yzz2+18=0，所以 令 得 故 将上式代入 x2 一6xy+10y2 一 2yzz2+18=0，可得 由于 所以 故 又 从而点(9，3)是 z(x，y)的极小值点，极小值为 z(9，3)=3 类似地，由 可知 又 所以点(一 9，一 3)是 z(x，y)的极大值点，极大值为 z(一 9，一 3)=一 3【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 B【试题解析】 解 1 知解 2 排除法 令 (x)=x2，(x)0 ，则 u(
16、x，y)=(x+y) 2+(xy)2=2x2+2y2 从而 则(A)(C)(D)均不正确，故应选(B)【知识模块】 多元函数微分学【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 由 z=f(u)， 得 所以根据题设条件可得 即 【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 由上题及 f(1)=1，得 所以 f(u)=lnu+C 由 f(1)=0，得 C=0因此 f(u)=lnu【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 (1)求 f(x，y)在 D 内的驻点，由得 f(x，y)在 D 内的驻点为(2)考察边界 y=0(一 2x2) f(x，0)=x 2 (一 2x2)最大值 f(2，0)
17、=4，最小值 f(0，0)=0 (3)考察边界 x2+y2=4，y0 由 x2+y2=4 知，y2=4 一 x2 f(x，y)=x 2+2y2 一 x2y2=x2+2(4x2)一 x2(4 一 x2)=x4 一 5x2+8 (一 2x2) 令 (x)=x4 一 5x2+8，(x)=4x 3 一 10x=0 得 x=0，比较可知，f(x，y)在 D 上的最大值为 fmax(0，2)=8，最小值为 f(0，0)=0【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 点(x，y，z) 到 xOy 面的距离为|z|，故求 C 上距离 xOy 面最远点和最近点的坐标，等价于求函数 H=z2 在条件 x2+y
18、2 一 2z2=0 与 x+y+3z=5 下的最大值点和最小值点 令 L(x，y，z ， ，)=z 2+(x2+y2 一 2z2)+(x+y+3z 一 5)由 得 x=y，从而 解得或 根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(一 5，一 5，5)和(1，1，1)【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 由 得 x=0， 显然，ACB 20，而 A0 故二元函数 f(x，y)有极小值【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 由题意 g(1)=0因为 所以 【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 令 得驻点(1 ，0) 和 (一 1，0
19、) 记 在点(1，0)处，由于 B 2 一 AC=一 2e-10， 所以 是 f(x，y)的极大值 在点(一 1，0) 处，由于 B 2 一 AC=一 2e-10， 所以是 f(x，y)的极小值【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 因为 所以 当 时，因为所以 ACB20，从而点 不是 f(x，y)的极值点当 时，因为所以 A0，ACB2= 从而点 是 f(x，y) 的极小值点，极小值为【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 令 excony=u，则 将以上两个式子代入得 f“(u)=4f(u)+u 即 f“(u)-4f(u)=u 以上方程对应的齐次方程的特征方程为 r2 一
20、 4=0，特征根为 r=2，齐次方程的通解为 f(u)=C1e2u+C2e-2u 设非齐次方程的特解为 f*=au+b，代入非齐次方程得则原方程的通解为 由f(0)=0，f(0)=0 得 则 【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 因为函数在每一点沿梯度方向的方向导数最大，且最大值等于该点梯度向量的模，而 grad f(x ，y)=(1+x，1+y) 令 F(x，y，)=(1+x) 2+(1+y)2+(x2+y2+xy 一 3)，由 式(2)减式(1)得 (y 一 x)(2+)=0 若 y=x，代入式(3)得 若 =一2，代入式(1)和式(2) 得 x+y=1，将此代入式(3)得 将以
21、上四组值代入 grad f(x，y)=(1+x，1+y) 得 f(x，y)在曲线 C 上的最大方向导数为 3【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 因为 y=f(ex，cosx)，所以 当 x=0 时，u=e 0=1，v=cos0=1，所以 【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 B【试题解析】 解 1 排除法 选 B 显然点(1，0，0)不满足方程 x=y，则选项 C、D 都不正确 平面 x+y 一 z=1 的法线向量为 n1=(1，1，一 1) 曲面 z=x2+y2 在点(x，y， z)处的法线向量为 n2=(2x，2y，一 1) 则 代入 z=x2+y2得 但 不满足方程
22、 x+yz=1 则选项 A 不正确，故应选 B. 解 2 直接法 选 B 过点(1，0，0)，(0，1，0)的直线方程为即 过该直线的平面族方程为 (x+y 一1)+z=0 即 x+y+z=0 法线向量为 n 1=(，1) 曲面 z=x2+y2 在点(x，y，z) 处的法线向量为 n2=(2x，2y，一 1) 则 即 将其代入 z=x2+y2 及 x+y+z 一 =0 得 解得 1=0， 2=一 2，代入x+y+z 一 =0 得 z=0 ，2x+2yz=2【知识模块】 多元函数微分学31 【正确答案】 设圆的半径为 x，正方形与正三角形的边长分别为 y 和 z，则问题化为：函数 f(x，y，z)=x 2+y2+ z2 在条件 2x+4y+3z=2(x0y0，z0)下是否存在最小值 令 L(x， y，z ，)=x 2+y2+ z2+(2x+4y+3z 一 2) 考虑方程组 解得 又当2x+4y+3z=2 且 xyz=0 时，f(x，y，z) 的最小值为 所以三个图形的面积之和存在最小值，最小值为 【知识模块】 多元函数微分学
