1、考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x， y)在点(0， 0)附近有定义，且 fx(0，0)=3，f y(0，0)=1，则( )（A）dz (0,0)=3dx+dy（B）曲面 z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0) 处的法向量为 3，1，1（C）曲线 ，在点(0，0，f(0，0) 处的切向量为1 ，0，3（D）曲线 ，在点(0，0，f(0，0) 处的切向量为3，0，1 2 已知 fx(x0， y0)存在，则 =( )（A）f x(x0， y0)（B） 0（C） 2fx(x0，y 0)（D） fx
2、(x0，y 0)3 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在点(0，0)处( )（A）两个偏导数都不存在（B）两个偏导数存在但不可微（C）偏导数连续（D）可微但偏导数不连续4 已知 为某二元函数 u(x，y)的全微分，则 a 等于( )（A）0（B） 2（C） 1（D）一 15 函数 f(x，y)在(0，0)点可微的充分条件是 ( )6 设 z= 则该函数在点(0，0)处( )（A）不连续（B）连续但偏导数不存在（C）连续且偏导数存在但不可微（D）可微二、填空题7 设 f(x，y， z)=ex+y2z，其中 z=Z(x，y)是由方程 x+y+z+xyz=0 所确定的隐函数，则 fx(0，1，一
3、1)=_8 设 f(x，y)= 在点(0，0)处连续，则 a=_9 设 z= =_10 设 f(x，y)= ，则 fx(1，0)=_11 设 z=z(x，y)由方程 z+e2=xy2 所确定，则 dz=_12 设函数 f(u)可微，则 f(2)=2，则 z=f(x2+y2)在点 (1，1) 处的全微分 dz (1,1)=_13 设 f(u，v)为二元可微函数，z=f(x y，y x)，则 =_14 设 z= =_15 设 z=xg(x+y)+y(xy)，其中 g、具有二阶连续导数，则 =_。16 设函数 F(x，y)= =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 u=f(x
4、， y，z)，(x 2，e y，z)=0，y=sinx,其中 f， 都具有一阶连续偏导数，且18 设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(exsiny)满足方程 =e2xz，求 f(u)19 设 y=y(x)， z=z(x)是由方程 Z=xf(x+y)和 F(x，y ，z)=0 所确定的函数，其中 f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 20 设 z= ，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求 。21 设函数 z=f(x，y)在点(1，1)可微，且 f(1，1)=1，f x(1，1)=2 ，f y(1，1)=3 ，(x)=f(x),f(xx)，求 22 设有一
5、小山，取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面，其底部所占的区域为D=(x，y) x 2+y2 一 xy75，小山的高度函数为 h(x，y)=75 一 x2 一 y2+xy (1)设M(x0，y 0)为区域 D 上一点，问 h(x，y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为 g(x0，y 0)，写出 g(x0，y 0)的表达式 (2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点也就是说，要在 D 的边界线 x2+y2 一 xy=75 上找出使(1)中 g(x，y)达到最大值的点试确定攀登起点的位置23 设 z=z(x，y)是由 x2 一 6xy+
6、10y2 一 2yz 一 z2+18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值24 设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且z= =0(1)验证 f“(u)+ =0(2)若 f(1)=0，f(1)=1，求函数 f(u)的表达式25 已知曲线 C： 求曲线 C 距离 xOy 面最远的点和最近的点26 设 z=f(xy，yg(x)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 x=1处取得极值 g(1)=1，求 。27 求 f(x，y)=xe 一 上的极值28 求函数 f(x，y)=(y+ )ex+y 的极值29 求z在约束条件 ，下的最大值与最小值30 试确定常数
7、a 与 b，使得绎变换 u=z+ay，v=x+by可将方程=0，并求 Z=z(x+ay，x+by) 考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 化曲线 则该曲线在点(0 ，0，f(0，0) 处的切向量为 1，0，f x(0，0)=1，0，3，故选 C【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 故选 C【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由偏导数定义，有故f(x，y)在(0，0)点不可微应选 B【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解
8、析】 【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 可知，f(x，y)的两个一阶偏导数 fx(x，y)和 fy(x，y)在(0，0)点可微，故选 D【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 存在，即 x(x，y) 在点(0，0) 不可微，故选 C【知识模块】 多元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 1【试题解析】 已知 f(x，y，z)=e x+y2z，那么有 fx(x，y，z)=e x+y2zx在等式x+y+z+xyz=0 两端对 x 求偏导可得 1+zx+yz+xyzx=0 由 z=0，y=1，z=一 1，可得zx=0 故 fx(0，1，一 1)=e0
9、=1【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 0【试题解析】 因为【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 2【试题解析】 由题干可知 f(x，0)=x 2，那么 fx(x， 0)=2x故 fx(1，0)=2x x=1=2【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 (y2dx+2xydy)【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 4(dx+dy)【试题解析】 由题干可知，dz=f(x 2+y2)(2xdx+2ydy)， 则 dz (1,1)=f(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)【知识模块】 多
10、元函数微分学13 【正确答案】 f 1.yxy1+f2.yxlny【试题解析】 利用复合函数求偏导的公式，有 =f1.yxy1+f2.yxlny。【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 yf“(xy)+(x+y)+y“(x+y)【试题解析】 由题干可得【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 g(x+y)+xg“(x+y)+2y(xy)+xy 2“(xy)【试题解析】 由题干可知，【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 4【试题解析】 由题干可知，【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 在等式 u=f(x，y，z)
11、的两端同时对 x 求导数，得到如下等式【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 导到 f“(u)一 f(u)=0，解得 f(u)=C2eu+C2eu(其中 C1，C 2 为任意常数)【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 分别在 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=O 的两端对 x 求导，得【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 根据复合函数的求导公式，有【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 由已知得 (1)=f(1，f(1，1)=f(1，1)=1，【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 (1)由梯度向量的性质：函数 h(x，y)在点 M 处沿该点的
12、梯度方向(2)求 g(x，y)在条件 x2+y2 一 xy 一 75=0 下的最大值点，即 g2(x，y)=(y 一 2x)2+(x一 2y)2=5x2+5y2 一 8xy 在条件 x2+y2 一 xy 一 75=0 下的最大值点 这是求解条件最值问题，用拉格朗日乘数法构造拉格朗日函数 L(x，y，)=5x 2+5y2 一8xy+(x2+y2 一 xy 一 75)，则有解此方程组得 x=一 y 或 =一 2 若 y=一 x，则由(3)式得 3x2=75，即 x=5，y=5 若 =一2，由(1)或(2)均得 y=x，代入(3)式得 x2=75，即 x= 于是得可能的条件极值点 M 1(5，一 5
13、)，M 2(一 5，5)，M 3 现比较 f(x， y)=g2(x，y)=5x 2+5y2 一 8xy 在这些点的函数值，有 f(M 1)=f(M2)=450， f(M3)=f(M4)=150 因为实际问题存在最大值，而最大值又只可能在M1，M 2，M 3，M 4 中取到因此 g2(x，y)在 M1，M 2 取得边界线 D 上的最大值，即M1，M 2 可作为攀登的起点【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 在方程 x2 一 6xy+10y2 一 2yz 一 z2+18=0 的两端分别对 x，y 求编导数，于是有【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 f(u)=lnu+C2， 由
14、 f(1)=0 可得 C2=O，故 f(u)=lnu【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 点(x，y，z) 到 xOy 面的距离为z，故求 C 上距离 xOy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数 H=z2 在条件 x2+y2 一 2z2=0，x+y+3z=5 下的最大值点和最小值点 构造拉格朗日函数 L(x，y，z ，) =z 2+A(x2+y2 一 2z2)+(x+y+3z 一 5)，根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为 (一 5，一 5，5)和(1， 1，1) 【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 =f1(xy，yg(x)
15、y+f 2(xy，yg(x)yg(x)， =f“11(xy，yg(x)xy+f“12(xy，yg(x)yg(x)+f 1(xy，yg(x) +f“ 21(xy，yg(x)xyg(x)+f“ 22(xy，yg(x)yg(x)g(x)+f2(xy， yg(x)g(x) 由 g(x)在 x=1 处取得极值 g(1)=1，可知 g(1)=0故 =f“11(1，g(1)+f“ 12(1，g(1)g(1)+f 1(1，g(1) +f“ 21(1，g(1)g(1)+f“22(1，g(1)g(1)g(1)+f 2(1，g(1)g(1) =f“ 11(1，1)+f“ 12(1，1)+f 1(1，1)【知识模块】
16、 多元函数微分学27 【正确答案】 先求函数 f(x，y)=xe 一 的驻点，f x(x，y)=e 一x=0，f y(x，y)= 一 y=0，解得函数 f(x，y)的驻点为 (e，0) 又 A=f“xx(e，0)=一1，B=f“ xy(e，0)=0，C=f“ yy(e，0)=一 1，所以 B2 一 AC0，A0故 f(x，y)在点(e， 0)处取得极大值 f(e，0)= e2【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 先求驻点，令【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 z 的最值点与 z2 的最值点一致，用拉格朗日乘数法，令 F(x，y，z， ，)=z 2+A(x2+9y2 一 2z2)+(x+3y+3z 一 5) 则【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 根据链式法则，有按题意，应取 14a+3a 2=014b+3b 2=0即 (13a)(1 一 a)=0，(13b)(1 一 b)=0其解分别为【知识模块】 多元函数微分学
