1、考研数学一（微分中值定理及其应用）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=a 处连续，且 =2，则 f(x)在 x=a 处（A）不可导（B）可导且 f(a)0（C）有极大值（D）有极小值2 若 xf(x)+3xf(x)2=1e x 且 f(0)=0，f(x)在 x=0 连续，则下列正确的是（A）(0 ，f(0) 是曲线 y=f(x)的拐点（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） f(0)不是 f(x)的极值， (0，f(0) 也不是 y=f(x)的拐点（D）f(0)是 f(x)的极大值3 设 f(x)在(a ，b)定义，
2、x 0(a，b)，则下列命题中正确的是（A）若 f(x)在(a，b)单调增加且可导，则 f(x)0(x (a，b)（B）若 (x0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点，则 f(x0)=0（C）若 f(x0)=0，f(x 0)=0， (x0)0，则 x0 一定不是 f(x)的极值点（D）若 f(x)在 x=x0 处取极值，则 f(x0)=04 设 f(x)可导，恒正，且 0a xb 时恒有 f(x)xf(x)，则（A）bf(a) af(b)（B） abf(x)x 2f(b)（C） af(a) xf(x)（D）abf(x) x2f(a)5 若函数 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，
3、且 f(0)0，f(x)k0，则在(0，+) 内 f(x)（A）没有零点（B）至少有一个零点（C）只有一个零点（D）有无零点不能确定6 曲线 y=arctan 渐近线的条数是（A）1（B） 2（C） 3（D）47 曲线 y=f(x)= (x1)lnx1的拐点有（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、填空题8 的极大值点是 x=_，极小值点是x=_9 曲线 y=3x+ +1 的渐近线方程为 _10 曲线 y= (x27)(x+)的拐点是_11 数列 1， ，的最大项为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求证：x0，1时， xp+(1x) p1，p1；1x p
4、+(1x) p ，0p113 设 f(x)在0，1连续，在 (0，1)可导，f(0)=0，0f(x)1(x(0，1)求证：f3(x)dx14 设 f(x)在(a，b)二阶可导， x1，x 2(a，b)，x 1x2 t(0，1)，则()若 f(x)0( x(a，b) ，有 ftx1+(1t)x 2tf(x 1)+(1t)f(x 2)， (46)特别有f(x1)+f(x2)；()若 f(x)0( x(a，b)，有 ftx1+(1t)x 2tf(x 1)+(1t)f(x 2)， (47) 特别有 f(x1)+f(x2)15 设 a0， b0，ab，证明下列不等式： ( )a p+bp2 1p (a+
5、b)p(p1)； ()ap+bp2 1p (a+b)p(0p1)16 设 f(x)在( ，a)内可导， f(x)=0 =0， 求证：f(x)在(， a)内至少有一个零点17 设 f(x)在a，b上可导，且 f+(a)与 f (b)反号，证明：存在 (a，b)使得 f()=018 设 f(x)在a，b上可导，且 f+(a)0，f (b)0，f(a)f(b)，求证：f(x)在 (a，b)至少有两个零点19 设 f(x)在(a，b)内可导，且 f(x)=A求证：存在 (a，b) 使得f()=020 设 f(x)在0，1三阶可导，且 f(0)=f(1)=0设 F(x)=x2f(x)，求证：在(0，1)
6、内存在 c，使得 (c)=021 设 a，b， c 为实数，求证：曲线 y=ex 与 y=ax2+bx+c 的交点不超过三个22 设 f(x)= (akcoskx+bksinkx)，其中 ak，b k(k=1，2，n)为常数证明：()f(x)在0，2)必有两个相异的零点；()f (m)(x)在0，2)也必有两个相异的零点23 设 f(x)在0，1上连续，且满足 f(x)dx=0， xf(x)dx=0，求证：f(x)在(0， 1) 内至少存在两个零点24 设 f(x)在x 1，x 2可导， 0x 1x 2，证明： (x1，x 2)使得=f()f() 25 设 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0
7、)=f(1)=0，试证： (0，1)使得26 设 f(x)在(a，b)内可导，且 x0(a，b)使得 又f(x0)0(0)， f(x)0(0)， f(x)0(0)(如图 413)，求证：f(x)在(a， b)恰有两个零点27 求证：方程 lnx= dx 在(0，+) 内只有两个不同的实根28 就 a 的不同取值情况，确定方程 lnx=xa(a0)实根的个数29 设 f(x)在a，b连续，在(a，b) 可导，又 ba0，求证： ， (a，b)使得 f()=f()30 设 讨论 f(x)与 g(x)的极值考研数学一（微分中值定理及其应用）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，
8、只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)在 x=a 连续 f(x)=f(a)又根据极限的保号性0，当 0xa 时 0，即 f(x)一 f(a)0因此 f(a)为极小值故选(D) 【知识模块】 微分中值定理及其应用2 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(0)=0 知 x=0 是 f(x)的驻点为求 f(0)，把方程改写为 f(x)+3f(x)2= 令 x0，得 f(0)= =1 0 f(0)为极大值故选(D)【知识模块】 微分中值定理及其应用3 【正确答案】 C【试题解析】 (A) ，(B)， (D)涉及到一些基本事实若 f(x)在(a，b)可导且单调增加f(x
9、)0(x(a，b)若(x 0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点，则 f(x0)可能不存在若x=x0 是 f(x)的极值点，则 f(x0)可能不存在因此(A)，(B)，(D) 均不正确(如图41 所示)选(C) 【知识模块】 微分中值定理及其应用4 【正确答案】 C【试题解析】 (A) ，(B)， (D)分别改写为因此要考察 的单调性因为或由正值函数.x2 在a，b单调上升 (C)对选(C)【知识模块】 微分中值定理及其应用5 【正确答案】 C【试题解析】 讨论函数的零点，一般要用连续函数在闭区间上的介值定理根据拉格朗日中值定理，f(x)=f(0)+f()x(0x)，得 f(x)f(0)+
10、kx显然当 x 足够大时f(x)0(事实上只需 x )，又 f(0)0，这就表明在 (0，x)内存在 f(x)的零点，又 f(x)0，即有 f(x)单调增加，从而零点唯一，故选(C)【知识模块】 微分中值定理及其应用6 【正确答案】 A【试题解析】 令 f(x)=arctan ，f(x)的定义域是(一 ，一 2)(一 2，1)(1，+)，因f(x) ，从而 x=1 与 x=2 不是曲线 y=f(x)的渐近线又因故 y= 是曲线 y=f(x)的水平渐近线综合知曲线 y=f(x)有且只有一条渐近线选 (A)【知识模块】 微分中值定理及其应用7 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)的定义域为( 一
11、，一 1)(一 1， 1)(1，+)，且在定义域内处处连续由 令 f(x)=0，解得 x1=0，x 2=2；f(x)不存在的点是 x3=1，x 4=1(也是 f(x)的不连续点)现列下表：由上表可知，f(x)在 x1=0 与 x2=2 的左右邻域内凹凸性不一致，因此它们都是曲线y=f(x)的拐点，故选 (B)【知识模块】 微分中值定理及其应用二、填空题8 【正确答案】 0 或【试题解析】 0x1 时 f(x)0，按定义 x=0 是极大值点，x0 时 f(x)=2xlnx+x=x(lnx2+1) 是极小值点由于 f(x)是偶函数，x= 也是极小值点【知识模块】 微分中值定理及其应用9 【正确答案
12、】 y=3x+1【试题解析】 只有间断点 x=0， x=0 为垂直渐近线又 有斜渐近线 y=3x+1【知识模块】 微分中值定理及其应用10 【正确答案】 (0，0)【试题解析】 这里 y(x)在(一，+)连续，(y(0)，y(0) 均不 )，y(x)在 x=0 两侧凹凸性相反， (0，0)是拐点【知识模块】 微分中值定理及其应用11 【正确答案】 【试题解析】 考察函数 f(x)= (x1)，求 f(x)在1，+)上的最大值由f(x)在1，e单调上升，在e， +)单调下降，f(x)= 在 x=e 取最大值，它的相邻两点是 x=2，3现比较 f(2)= ，因此，最大项是：【知识模块】 微分中值定
13、理及其应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 令 f(x)=xp+(1x) p，则 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且有 f(x)=pxp1 (1x) p1 令 f(x)=0 得 x= 易知 f(0)=f(1)=1， 当 p1 时，1 f(x)在0，1的最大值为 1，最小值为 f(x)1，x0，1当 0p1 时，1 f(x)在0，1的最大值为 ，最小值为 1 ，x0，1【知识模块】 微分中值定理及其应用13 【正确答案】 由条件知，f(x)0(x (0，1)，可转化为证不等式f3(x)dx1引进辅助函数 F(x)= f(t)dt2， G(x)= f
14、3(t)dt，又可转化为证不等式 这可用柯西中值定理易知 F(x)，G(x) 在0，1可导，G(x)=f 3(x)0(x(0，1)，于是由柯西中值定理知， (0，1)使得 对 f(t)dt 与 f2(x)还可在0，上用柯西中值定理， (0，)使得因此【知识模块】 微分中值定理及其应用14 【正确答案】 () 与() 的证法类似，下面只证()因 f(x)0(x(a，b)f(x)在(a ，b)为凹的 (45)相应的式子成立注意 tx1+(1t)x 2(a，b) f(x1)ftx 1+(1t)x 2+ftx1+(1t)x 2x1(tx 1+(1t)x 2) =ftx1+(1t)x 2+ftx1+(1
15、t)x 2(1t)(x 1x 2)，f(x 2)ftx 1+(1t)x 2+ftx1+(1t)x 2x2(tx 1+(1t)x 2) =ftx1+(1t)x 2ftx 1+(1t)x 2t(x1x 2)，两式分别乘 t 与(1t)后相加得 tf(x1)+(1t)f(x 2)ftx 1+(1t)x 2【知识模块】 微分中值定理及其应用15 【正确答案】 将 ap+bp2 1p (a+b)p 改写成 考察函数 f(x)=xp，x 0，则 f(x)=pxp1 ，f(x)=p(p1)x p2 ()若 P1，则 f(x)0( 0)，f(x)在(0，+)为凹函数，由已知不等式(410)，其中 t= 得：a
16、0，b0 ，ab，有 ()若 0P1，则 f(x)0( 0) ，f(x)在(0，+) 为凸函数，由不等式 (46)，其中t= (ap+bp)【知识模块】 微分中值定理及其应用16 【正确答案】 由极限的不等式性质， 0，当 xa，a)时 0，即f(x)0，也就有 f(a)0 x0a，当 xx0 时 f(x) 0于是由微分中值定理知，当 xx 0， (x，x 0)使得 f(x)=f(x0)+f()(xx 0)f(x0)+ (xx 0)，由此可得 f(x)=+ x1a 使得 f(x1)0在x 1，a 上应用连续函数零点存在性定理，f(x)在(x 1，a) 上至少存在一个零点【试题解析】 只需由所给
17、条件证明： x1，x 2，使得 f(x1)0，f(x 2)0 即可由0 确定 xa，x 靠近 a 时 f(x)的符号，要根据极限的不等式性质来判断由 f(x)=0 确定 x0，x充分大时 f(x)的符号，要应用微分中值定理(联系函数和它的导数) 【知识模块】 微分中值定理及其应用17 【正确答案】 由极限的不等式性质和题设知，存在 0 使得 a+b 且于是 f(a+)f(a)，f(b)f(b)这表明 f(x)在a，b上的最大值必在(a，b) 内某点取到，即存在 (a，b)使得 f()=f(x)由费马定理知 f()=0 【试题解析】 因 f(x)在a，b 上可导，因而必连续，故存在最大值和最小值
18、如能证明最大值或最小值在(a，b)内取得，那么这些点的导数值必为零，从而证明了命题注意，由于题设条件中未假设 f(x)连续，所以不能用连续函数的介值定理来证明证明时不妨设 f+(a)0 且 f (b)0【知识模块】 微分中值定理及其应用18 【正确答案】 f(x)在a，b的连续性保证，在a，b上 f(x)至少达到最大值和最小值各一次由 f(a)f(b)得，若 f(x)的最大值在区间端点达到，则必在 x=a 达到由f(x)的可导性，必有 f+(a)0，条件 f+(a)0 表明 f(x)的最大值不能在端点达到同理可证 f(x)的最小值也不能在端点 x=a 或 x=b 达到因此，f(x)在a，b的最
19、大值与最小值必在开区间(a，b)达到，于是最大值点与最小值点均为极值点又 f(x)在a， b可导，在最大(小) 值点处 f(x)=0，所以 f(x)在 (a，b)至少有两个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用19 【正确答案】 设 g(x)= 则 g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g(a)=g(b)，把罗尔定理用于 g(x)即知存在 (a，b)使得 g()=f()=0【试题解析】 这是罗尔定理的推广与罗尔定理比较，两者的不同在于本题中没有假设 f(x)在a，b上连续是利用 f(x)在 a 和 b 单侧极限存在，补充定义 f(x)在a 和 b 两点的函数值就可转化为闭区间的情形【
20、知识模块】 微分中值定理及其应用20 【正确答案】 由于 F(0)=F(1)=0，F(x)在0，1 可导，则 1(0，1)，F( 1)=0又 F(x) =x2f(x)+2xf(x)，及由 F(0)=0，F( 1)=0，F(x) 在0，1可导，则2(0， 1)使得 F(2)=0又 F(x)=x2f(x)+4xf(x)+2f(x)，及由 F(0)=F(2)=0，F(x)在0，1可导，则 c(0， 2)使得 (c)=0【知识模块】 微分中值定理及其应用21 【正确答案】 令 f(x)=exax 2bxc ，那么问题等价于证明 f(x)的零点不超过三个假设结论不正确，则至少有四个点 x1x 2x 3x
21、 4，使得 f(xi)=0，i=1，2， 3，4由于 f(x)在x 1，x 4上可导，由罗尔定理可知 f(x)在(x 1，x 2)，(x2，x 3)，(x 3，x 4)内至少各有一个零点 1， 2， 3又由于 f(x)在 1， 3上可导，由罗尔定理可知 f(x)在( 1， 2)，( 2， 3)内至少各有一个零点 1， 2同样地，由于 f(x)在 1， 2上可导，由罗尔定理可知 (x)在 (1， 2)内至少有一个零点因此至少存在一点 (，+)使得 (x)=ex0(x( ，+)，这就产生了矛盾故 f(x)的零点不超过三个【试题解析】 问题等价于 f(x)=exax 2bx c 的零点不超过三个根据
22、罗尔定理，可导函数的任何两个零点之间至少存在一个导函数的零点因此本题需要用反证法【知识模块】 微分中值定理及其应用22 【正确答案】 () 令 F(x)= aksinkx coskx)显然，F(x)=f(x) 由于F(x)以 2 为周期且 F(0)=F(2)，故 F(x)在0，2上连续，从而必有最大值与最小值设 F(x)分别在 x1，x 2 达到最大值与最小值，且 x1x2，x 1，x 20，2)，则F(x1)，F(x 2)也是 F(x)在( ，+)上的最大值，最小值，因此 x1，x 2 必是极值点又 F(x)可导，由费马定理知 F(x1)=f(x1)=0，F(x 2)=f(x2)=0()f
23、(m)(x)同样为()中类型的函数即可写成 f(m)(x)= (kcoskx+ksinkx)，其中 k， k (k=1，2，n)为常数，利用 ()的结论，f (m)(x)在0，2) 必有两个相异的零点【试题解析】 即证：f(x)= aksinkx bkcoskx)在0，2)存在两个相异零点只要证 F(x)= aksinkx bkcoskx)在0，2)有两个极值点注意：F(x)是周期为 2 的周期函数，F(x) 在0，2)的最大与最小值点也是 F(x)在(，+)上的最大与最小值点，因而必是极值点【知识模块】 微分中值定理及其应用23 【正确答案】 令 F(x)= f(t)dt，G(x)= F(s
24、)ds，显然 G(x)在0，1可导，G(0)=0，又 G(1)= sf(s)ds=00=0对 G(x)在0，1上用罗尔定理知， c(0，1)使得 G(c)=F(c)=0现由F(x)在0 ，1可导，F(0)=F(c)=F(1)=0，分别在0，c，c，1对 F(x)用罗尔定理知，1(0，c)， 2(c，1)，使得 F(1)=f(1)=0，F( 2)=f(2)=0，即 f(x)在(0，1)内至少存在两个零点【试题解析】 为证 f(x)在(0 ，1)内存在两个零点，只需证 f(x)的原函数 F(x)= f(t)dt 在0，1 区间上有三点的函数值相等由于 F(0)=0，F(1)=0，故只需再考察F(x
25、)的原函数 G(x)= F(s)ds，证明 G(x)的导数在(0，1)内存在零点【知识模块】 微分中值定理及其应用24 【正确答案】 令 F(x)= 则 f(x)在x1，x 2可导，又 F(x1)= f(x1)l，F(x 2)= f(x2)l ，F(x 1)F(x 2)= f(x1)x2f(x 2)x1l(x 2x 1)=0因此，由罗尔定理， (x1，x 2)，使得 F()=f()f()+l=0 ，即 f()f()=l【试题解析】 令 ，证明 (x1，x 2)使得 l=f()f()xf(x)f(x)+l 在(x 1，x 2)存在零点 在(x 1，x 2)存在零点在(x 1，x 2)存在零点在(
26、x 1，x 2)存在零点【知识模块】 微分中值定理及其应用25 【正确答案】 令 由于因此 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导由于 f(0)=f(1)=0，由罗尔定理知， (0，1)使 f()=0因此，F()=F(1)=0，对 F(x)在，1 上利用罗尔定理得， (，1)，使得 F()=f()=0，即【试题解析】 即证 f(x)在(0 ，1)存在零点在(0，1)存在零点【知识模块】 微分中值定理及其应用26 【正确答案】 由 x1(a，x 0)使 f(x1)0， x2(x0，b)便 f(x2)0，则 f(x)在(x 1，x 0)与(x 0，x 2)内各存在一个零点因f(x)0( x(a
27、，x 0)，从而 f(x)在(a，x 0)单调增加；f(x)0( x(x0，b)，从而f(x)在(x 0，b)单调减少因此， f(x)在(a ，x 0)，(x 0， b)内分别存在唯一零点，即在(a， b)内恰有两个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用27 【正确答案】 即证 f(x)=lnx dx 在(0，+)只有两个零点先考察它的单调性： 由于 f(x)在(0，e)与(e， +)分别单调上升与下降，又 f(e)= dx0，故只需证明：x1(0，e)使 f(x1)0； x2(e，+)使 f(x2)0因则x1(0，e)使 f(x1)0； x2(e，+)使 f(x2)0，因此 f(x)在(0，
28、e)与(e，+) 内分别只有一个零点，即在(0，+)内只有两个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用28 【正确答案】 令 f(x)=lnxx a，即讨论 f(x)在(0，+)有几个零点用单调性分析方法求 f(x)的单调区间则当 0xx 0 时，f(x)单调上升；当 xx0 时，f(x) 单调下降；当 x=x0 时，f(x)取最大值f(x0)= (1+lna)从而 f(x)在(0，+)有几个零点，取决于y=f(x)属于图 414 中的哪种情形方程 f(x)=0 的买根个数确下列二种情形：() 当 f(x0)= 时，恒有 f(x)0 ( x(0，+) ，故 f(x)=0 没有根()当 f(x0)
29、= 时，由于x(0，+)，当 xx0=ee 时，f(x) 0，故 f(x)=0 只有一个根，即 x=x0=ee()当f(x0)= 时，因为 故方程 f(x)=0 在(0，x 0)，(x0，+) 各只有一个根因此 f(x)=0 在(0 ，+)恰有两个根【知识模块】 微分中值定理及其应用29 【正确答案】 把所证的结论改写成 由分别用拉格朗日中值定理与柯西中值定理，(a， b)使得 代入上式即得结论【知识模块】 微分中值定理及其应用30 【正确答案】 () 对于 f(x)：当 x0 时 f(x)=ex0，从而 f(x)在(0，+) 内无极值 当 x0 时 f(x)=(x+1)ex，令 f(x)=0，得 x=1当 x1 时 f(x)0，当1x0 时 f(x)0，故 f(1)= e 1 为极小值 再看间断点 x=0 处，当 x0时 f(x)=xex0=f(0)；当 x0 且 x 充分小时，f(x)=e x20，故 f(0)=0 为极大值 ()对于 g(x)：当 x0 时 g(x)=e x0，从而 g(x)在(0，+)内无极值 当 x0时与 f(x)同，g(1)=e 1 为极小值 在间断点 x=0 处 g(0)=1当 x0 时 g(x)1；当 x0 且x充分小时 g(x)为负值且g(x)1，从而有 g(x)1故g(0)非极值【知识模块】 微分中值定理及其应用
